46 P{Y?Y?400?0.8340?400?0.8??340}?P???400?0.8?0.2??400?0.8?0.2??(340?400?0.8400?0.8?0.2)??(2.5)?0.9938
即只有1个孩子的夫妻数不多于340的概率为0.9938． （B）
?xm?xme,x?0，1. 设随机变量X的概率密度为f(x)??m为正整数，证明：P{0?X?2(m?1)}?（提?m!m?1?其它?0,示：利用Chebyshev不等式）．
证明：E（X）=?E(X)?2??0xf(x)dx=???xm?10m!ex?xdx?e?(m?2)m!dx?2?(m?1)!m!?m?1，
???0xf(x)dx?22???x2m?20m!e?xdx??m!1??(m?3)?1?x?(m?3)m!0?(m?2)(m?1)
D(X)?E(X)??E(X)??(m?2)(m?1)?(m?1)?m?1
由切比雪夫不等式
P?0?X?2(m?1)?=P?X?(m?1)?m?1??1?m?1(m?1)2=
mm?1
2. 设{Xn:n?1}为独立同分布的随机变量序列，其共同的分布如下表所示，证明{Xn}服从Chebyshev大数定律．
Xn pk 证明：???i????2?2?2 0 1/2 2 1/4 ?0
1/4 ?14?0?2121?2?21412，
2D?Xi???Xi????Xi????2????2?4?0??(2)?14?0?1
又因为{Xn:n?1}独立且同分布，所以?Xn?服从切比雪夫大数定律.
23. 设随机变量序列{Xn:n?1}独立同分布，E(Xn)?0,D(Xn)??(0??2???)，又E(Xn)存在
4（n=1,2,…），证明：
1n?ni?1（提示：利用Chebyshev大数定律） Xi????．
2P22证明：因为随机变量序列{Xn:n?1}独立同分布，所以{Xi}也独立同分布
E(Xi)?D(Xi)?E(Xi)??22242244，D(Xi)?E(Xi)?[E(Xi)]?E(Xi)??存在
由Chebyshev大数定律，
1n?ni?1Xi????
2P2第六章 （A）
三、解答题
1. 已知总体X～B(1，p)，X1，X2，…，Xn是X的一个样本，求 (1) X1，X2，…，Xn的联合分布律;
46
47 (2)
n?i?1Xi的分布律;
(3) E(X),D(X),E(S2). 解：因为X的分布律为
P{X?k}?(1?p)1?kkp,k?0,1(0?p?1)
且X1，X2，…，Xn均于X独立同分布，所以 （1）X1，X2，…，Xn的联合分布律为
nP{X1?x1,X2?x2,...,Xn?xn}?nn?P{Xi?1i?xi}
?p?xii?1n?(1?p)?xii?1,xi?0,1,i?1,2,...,nyyn?y （2）因为Y?n?i?1Xi~B(n,p)，所以P{Y?y}?Cnp(1?p),y?0,1,2,3,...,n.
（3）因为，所以
E(X)?E(X)?p,D(X)?D(X)n?p(1?p)n,E(S)?D(X)?p(1?p).
2
2. 从总体N(52，6.3)中随机抽取一个容量为36的样本，计算样本均值X落在50.8到53.8之间的概率．
2?6.3 解：因为X~N(52，6.3)，所以 X~N?52,?36?2
2
??， ??)??(50.8?526.32
P{50.8?X?53.8}??(53.8?526.336)?0.8293
36 3. 某种灯管寿命X（以小时计）服从正态分布X ～ N(?，? )，X为来自总体X的样本均值． (1) 求X与?的偏差大于
2
2?n的概率．
(2) 若?未知，? = 100，现随机取100只这种灯管，求X与?的偏差小于1的概率．
2?? 解：因为X～N(?，? )，X~N??,?n?2
?X???，~N(0,1),所以 ??n????????2??X???X????X?????P?X????P?2?1?P?2?1?P?2??2??????? (1) ??n?n?n?n?????????????1?[?(2)??(?2)]?2?2?(2)?2?2?0.9772?0.0456. (2) 因为? = 100，n=100，?2
n?1，所以
???1??X????X???PX???1?P???P?1????n?n?n??????????
??(1)??(?1)?2?(1)?1?2?2?(1)?2?0.8413?1?0.6826. 4. 在天平上反复称量重量为w的物体，每次称量结果独立同服从N(w，0.04)，若以X表示n次称重的算术平均，则为使P{X?w?0.1}?0.95，n至少应该是多少？
解：X1，X2，…，Xn为称重的结果，则X1，X2，…，Xn相互对立且均服从N(w，0.04)，于是
X?w0.2n~N?0,1?，欲
47
48 ?X?w使P{X?w?0.1}?0.95，须使P?????0.2n0.10.2????0.95，即 n?????X?w?P??0.5n??2?(0.5n)?1?0.95, ???0.2n?解得?(0.5n)?0.975,查表得?(1.96)?0.975,
由于?(x)是递增函数，须使0.5n?1.96,解得n>15.366,故n至少为16. 5. 从正态总体N(?,0.52)中抽取样本X1，X2，…，X10
?2 (1) 已知? = 0，求P?X?4??i?；
?i?1??10 (2) ?未知，求P??(Xi?X)2?0.675??．
?i?1?10 解：（1）因为Xi～N(0，0.5 2)，令
Xi?00.5~N?0,1?，即2Xi~N?0,1?,
2???(2Xi)，则??22i?11010?(2Xi?1i22)~?(10)
由于
?10??10?22P??Xi?4??P??(2Xi)?16??P??i?1??i?1??2?16
?
查表知?02.1(10)?16，所以P??Xi2?4??P??2?16??0.1.
?i?1??10? (2) ）因为Xi～N(?，0.5 2)，即X~N???,?Xi?X~N?0,0.275?,
0.25??，所以 10?Xi?X0.275~N?0,1?,
10?(i?1Xi?X0.275)~?(10)
22?10Xi?X20.675??10Xi?X2??10?2)?)?2.4545?， P??(Xi?X)?0.675?=P??(??P??(0.275?0.2750.275?i?1??i?1?i?1?查表知?02.992(10)?2.45，所以
?10?2P??(Xi?X)?0.675??0.992 ?i?1? 6. 已知X ~ t (n)，求证X ~ F(1，n)．
证明：因为X ~ t (n)，存在Y ～ N(0，1)，Z ～ ?2(n)，Y与Z独立，使
X?YZn2
，
由于Y2~?2(1)，Z~?2(n)，且Y2与Z独立，所以
X2?Y2Zn~F(1,n).
48
49 第七章 7（A）
三、解答题
1. 设总体X服从几何分布，分布律为P?X?k??(1?p)k?1p,k?1,2,....，(0?p?1)求p的矩估计量． 解：因为P?X?k??(1?p)k?1p,k?1,2,....，所以X的一阶矩
nnnE(X)??kP{X?k}??k(1?p)k?1p??p(?(1?p)k)'k?1k?1k?1//
??p?1?p??1?p?11??1?(1?p)???p???p???p(?)?.?p2p用样本的一阶A1=X代替总体X的一阶矩E(X)得到X?1p,
所以p的矩估计量为p??1X.
2. 求均匀分布X~U(a,b)中参数a,b的矩估计量．
解：设X1，X2，…，Xn为总体X的一个样本，总体X的一阶、二阶矩分别为
?a?b1?E(X)?
2 22?2 = E(X) = D(X) + [E(X)] 2
=
(b?a)a?b2?b2
12?(a?ab2)2?3用样本的一阶、二阶矩A1和A2分别代替总体的一阶、二阶矩?1和?2，得到
??Aa?b1??2 ?a2?2?Aab?b2?3解得a,b的矩估计量为
a??A3n21?3A3n2?3A21?A1?n?X22i?3X?X?i?1n?(Xi?X)2
i?1nnb??A1?3A2?3A21?A1?3n?X2i?3X2?X?32)2
i?1n?(Xi?Xi?1 3. 设总体X的概率密度为
f(x;?)?12e?|x??|，???x??
X1,?,Xn是来自X的简单随机样本，求参数?的矩估计量．
解：总体X的一阶为
49
50 ???1?E(X)??121????x12?e?|x??|dx????x12??e(x??)dx???x12e?(x??)dx???xde(x??)?121?????xde?(x??)?xe(x??)|?????e(x??)dx?1xe?(x??)|????1??
?(x??)?edx22??22?1????1(x??)?11??22?de??2??2?de?(x??)???用样本的一阶A1=X代替总体X的一阶矩E(X)得到???X.
4. 设总体X的概率密度为??1?(xf(x;?)??e??)/θ,x??，其中?(??0),?是未知参数，???0,其它自X的简单随机样本，求?和?的矩估计量． 解：总体X的一阶为
???1?E(X)??x1e?(x??)/θdx??????xde?(x??)/θ?????xe?(x??)/θ|?????e?(x??)/θdx
????????de?(x??)/θ????.?总体X的二阶为
???(X22?E)??x21e?(x??)/θdx??????x2de?(x??)/θ?????x2e?(x??)/θ|??θ???2xe?(x??)/dx???2?2?(???)??2?2???2?2?(???)2??2用样本的一阶、二阶矩A1和A2分别代替总体的一阶、二阶矩?1和?2，得到
?A?1?????A?(???)2??2
2 50
X1,?,Xn是来