学案10.5离散型随机变量及其分布列
学习目标：1. 理解离散型随机变量及其分布列的概念，掌握常见分布（二点分布、超几何分布、几何分布、二项分布）及其导出过程，并能进行简单的应用．
2.离散型随机变量期望、方差的概念并能正确计算，掌握常见分布的期望、方差，并能解决一些实际问题． 3.利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，并能解决有关问题． 【自主梳理】
1．离散型随机变量及其分布列：
（1）离散型随机变量的分布列的概念：如果随机试验的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化的，那么这样的变量X叫做随机变量；如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，这样的随机变量叫做离散型随机变量．设离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则称X x1 x2 … xi … xn 表为离散型随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量XP p1 p2 … pi … pn 的分布列，具有性质：（ⅰ）pi______0，i＝1,2，…，n；（ⅱ）p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝______.
X 1 0 （2）常见分布：①二点分布：如果随机变量X的分布列为
P p q 其中0 ②超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概 nkCkMCN－M 率为：P(X＝k)＝ (k＝0,1,2，…，m)，其中m CnN － X 0 0C0CnM·N－M nCN－1 n1C1MCN－M CnN－… m nmCmMCN－M nCN－P … ＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n、M、N∈N*，则称 分布列超几何分布． ③几何分布：“??k”表示在第k次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把k次试验时事件A发生记为Ak，事A不发生记为Ak，P(Ak)?q，那么P(ξ?k)?P(A1A2?Ak?1Ak).根据相互独立事件的概率乘法 k?1分式：P(ξ?k)?P(A1)P(A2)?P(Ak?1)P(Ak)?qp(k?1,2,3,?)于 ? 1 q 2 qp 3 q2p … … k qk?1p … … 是得到随机变量ξ的概率分布列.我们称ξ服从几何分布，并记g(k,p)?qk?1p，其中q?1?p.k?1,2,3? P ④二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k kn?k次的概率是：P(ξ?k)?Ck（其中k?0,1,?,n,q?1?p），于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我npqkn?k们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作?～B（n，p），其中n，p为参数，并记Ck?b(k;n?p).二npq项分布实际上是对n次独立重复试验而言的，关键是看某一事件是否是进行n次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布。当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列。 X x1 x2 … xi … xn 2.数学期望与方差： P p1 p2 … pi … pn （1）期望：一般地，若离散型随机变量X的概率分布列如右 图，则称E(X)＝ 为X的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平. （X）?0，故D（X）（2）方差、标准差的定义：D(X) ＝ 为X的方差. 显然D为ξ的根方差或标准差，随机变量X的方差与标准差都反映了随机变量X取值的稳定与波动，集中与离散 的程度. D(X)越小，稳定性越高，波动越小. （3）均值与方差的常用性质： 1 (ⅰ)常见分布的期望与方差：若X服从二点分布，则E(X)＝p，D(X)＝pq.一般地，若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)；若X服从超几何分布，则E(X)＝ n?M1；若X服从几何分布：E(X)＝，D(X)Np＝ q. 如能分析所给随机变量是服从常见分布，可直接利用公式求解． p2 (ⅱ) 运算性质：①E(C)＝C(C为常数)；② E(aX＋b)＝aE(X)＋b(a，b为常数)，特别的E(X?E?X?)?0；③E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)；④若X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)E(X2)；⑤D(X)＝E(X2)－(E(X))2；⑥D(aX＋b)＝a2·D(X)(a，b为常数)．若已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数Y＝aX＋b的均值、方差和标准差，可直接用上述运算性质求解. 3. 正态分布：（1）密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量ξ，位于x轴上方，ξ落在任一区间?a,b?内的概率等于它与x轴.直线x?a与直线x?b所围成的曲边梯形的面积（如图阴影部分）的曲线叫ξ的密度曲线，以其作为图像的函数f(x)叫做ξ的密度函数，由于“x∈(－∞，＋∞)”是必然事件，故密度曲线与x轴所夹部分面积等于1. （2）正态分布与正态曲线：如果随机变量ξ的概率密度函数为f(x)?1e2???(x??)22?2（x∈(－∞，＋∞)， 2实数μ和σ (σ>0)为参数），称ξ服从参数为μ、σ的正态分布，用?～N?,?表示. f(x)的表达式 ??22可简记为N?,?，它的密度曲线简称为正态曲线。正态分布的期望与方差：若?～N?,?，则ξ ????的期望与方差分别为：E???,D???2. 1?x2(3)标准正态分布：如果随机变量ξ的概率函数为f(x)?e，则称ξ服从标准正态分布. 即?～ 2?2N?0,1?。非标准正态分布与标准正态分布间的关系：若?～N??,?2?，则????x???～N?0,1?，据 此可以把非标准正态分布的概率转化为标准正态分布的概率：P???x0??P???x0???。 ???(4)正态分布密度曲线的特点：①曲线位于x轴________，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线 ________对称；③曲线在________处达到峰值____________；④曲线与x轴之间的面积为____；⑤当σ一定时，曲线随着____的变化而沿x轴移动；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ________，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；σ________，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散． （5）正态总体在三个特殊区间内取值的概率值：P(μ－σ 2结为如下三步：(ⅰ)提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布N?,?.(ⅱ)确定一次试验中的 ??取值a是否落入范围(μ－3σ，μ＋3σ).(ⅲ)做出判断：如果a?(μ－3σ，μ＋3σ)，接受统计假设. 如果a?(μ－3σ，μ＋3σ)，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设.“3?”原则的应用：若随机变量ξ服从正态分 2 2布N?,?则 ξ落在(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率为99.7％ 亦即落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.3％， ??此为小概率事件，如果此事件发生了，就说明此种产品不合格（即ξ不服从正态分布）. 探究点一 离散型随机变量的分布列: 【例1】设离散型随机变量X的分布列为 X P 0 0.2 1 0.1 2 0.1 3 0.3 4 m 求：(1)2X＋1的分布列；(2)|X－1|的分布列． 1 变式训练1. 袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为.现有甲、乙两人从袋中轮 7流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，??，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止．每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用X表示取球终止时所需要的取球次数．(1)求袋中原有白球的个数；(2)求随机变量X的分布列；(3)求甲取到白球的概率． 探究点二 离散型随机变量的期望与方差: 【例2】袋中有同样的球5个，其中3个红色，2个黄色，现从中随机且不返回地摸球，每次摸1个，当 两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量?为此时已摸球的次数，求：(1)随机变量?的概率分布列；(2)随机变量?的数学期望与方差 3 变式迁移2. 某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道：一年后可能获利10﹪，可能损失10﹪，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为 111，，；如果投资乙项目，一年244后可能获利20﹪，也可能损失20﹪，这两种情况发生的概率分别为? 和?（????1.（Ⅰ）如果把10）万元投资甲项目，用?表示投资收益（收益=回收资金－投资资金），求?的概率分布及E?；（Ⅱ）若把10万元投资投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求?的取值范围. 探究点三 二项分布: 【例3】(2012·四川)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为 149 和p.(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；(2)1050 设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布列及数学期望E(ξ)． 变式迁移3. 任意确定四个日期，设X表示取到四个日期中星期天的个数，则D(X)等于 Ａ． 6 7 Ｂ． 48 49 Ｃ． 36 49 Ｄ． 24 49探究点四 正态分布的应用: 【例4】(2011湖北)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)＝( )． A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2 4 变式迁移4. 设随机变量?服从正态分布N（0，1），记?(x)?P(??x)，给出下列结论：①?(0)?0.5；②?(1)?1??(?1)；③P(|?|?3)?2?(3)?1；④ P(|?|?3)?1??(3)其中正确的序号是 当堂检测 a 1．已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝k，k＝1,2,3,4.则P(2<ξ≤4)等于( ) 2 1111A. B. C. D. 16543 2．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a、b、c∈(0，1))，21 已知他投篮一次得分的均值为2，则＋的最小值为( )． a3b32281416A. B. C. D. 3333 13．(2013·日照二模)已知随机变量ξ的分布列为：P(ξ＝k)＝，k＝1，2，3，则D(3ξ＋5)等于( )． 3A．6 B．9 C．3 D．4 4．节日期间，某种鲜花进货价是每束2.5元，销售价每束5元；节日卖不出去的鲜花以每束1.6元价格处理．根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量X服从如下表所示的分布： 若进这种鲜花500束，则利润的均值为（ ） A．706元 B．690元 C．754元 D．720元 2 （x－μi）1 5．(2013·金华模拟)已知三个正态分布密度函数φi(x)＝·e－ 2σ2i2πσi (x∈R，i＝1，2，3)的图象如图所示，则( )． A．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＞σ3 B．μ1＞μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3 C．μ1＝μ2＜μ3，σ1＜σ2＝σ3 D．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3 6. 某市统考成绩大体上反映了全市学生的成绩状况，因此可以把统考成绩作为总体，设平均成绩μ=480，标准差σ=100，总体服从正态分布，若全市重点校录取率为40%，那么重点录取分数线可能划在 分（已知φ（0.25）=0.6）． 7. (2006山东20)袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等。用ξ表示取出的3个小球上的最大数字，求：（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；（2）随机变量ξ的概率分布和数学期望；（3）计分介于20分到40分之间的概率。 5