（2）当?=2时, P1=P(ABB?ABB)?P(ABB)?P(ABB)w.w.w..s.5.u.c.o.m
?P(A)P(B)P(B)?P(A)P(B)P(B)=0.75 q2( 1?q2)×2=1.5 q2( 1?q2)=0.24
当?=3时, P2 =P(ABB)?P(A)P(B)P(B)?0.25(1?q2)2=0.01, 当?=4时, P3=P(ABB)?P(A)P(B)P(B)?0.75q22=0.48, 当?=5时, P4=P(ABB?AB)?P(ABB)?P(AB)
?P(A)P(B)P(B)?P(A)P(B)?0.25q2(1?q2)?0.25q2=0.24
所以随机变量?的分布列为 ? 0 2 3 4 5 0.48 0.24
p 0.03 0.24 0.01 随机变量?的数学期望E??0?0.03?2?0.24?3?0.01?4?0.48?5?0.24?3.63 （3）该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率为P(BBB?BBB?BB)
?P(BBB)?P(BBB)?P(BB)?2(1?q2)q22?q22?0.896;
该同学选择（1）中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72. 由此看来该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大.
15. (2010山东20)某学校举行知识竞赛,第一轮选拔共设有A,B,C,D四个问题，规则如下：
① 每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A,B,C,D分别加1分、2分、3分、6分，答错任
一题减2分；
② 每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于
或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局，当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局；
③ 每位参加者按问题A,B,C,D顺序作答，直至答题结束. 假设甲同学对问题A,B,C,D回答正确的概率依次为
3111,,,，且各题回答正确与否相互之间没有影响. 4234(Ⅰ)求甲同学能进入下一轮的概率；（Ⅱ）用?表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求?的分布列和数学的E?.
26
解：设A、B、C、D分别为敌一、二、三、四个问题，用MI（I=1,2,3,4）表示甲同学第i个问题回答正确，用N（i=1,2,3,4)表示甲同学第i个问题回答错误，则Mi与Ni是对立事件（i=1,2,3,4）.由题意得P(MI)=
31111123,P(M2)= ，P(M3)= P(M4)=，所以 p（N1）=, P(N2)= , P(N3)=, P(N4)=. 42344234 (Ⅰ)记“甲同学能进入下一轮”为事件Q,则Q=M1M2M3+ N1M2M3M4+ M1N2M3M4+ M1M2N3M4+ N1M2N3M4
由于每题答题结果相互独立，因此
P（Q）=P（M1M2M3∪ N1M2M3M4∪ M1N2M3M4∪ M1M2N3M4∪N1M2N3M4）
=P（M1M2M3）+ P（N1M2M3M4）+ P（M1N2M3M4）+ P（M1M2N3M4）+ P（N1M2N3M4）
= P（M1）P（M2）P（M3）+ P（N1）P（M2）P（M3）P（M4）+ P（M1）P（N2）P（M3）P（M4）+ P（M1）P（M2）P（N3）P（M4）+ P（N1）P（M2）P（N3）P（M4） =
31111113111312111211??????????????+???= 423423442344234423441 8(Ⅱ)由题意，随机变量ξ的可能取值为：2,3,4。
由于每题答题结果互相独立，所以 P（ξ=2）= P（N1 N2）= P（N1）P（N2）=
P（ξ=3）= P（M1M2M3）+ P（M1N2N3）= P（M1） P（M2）P（M3）+ P（M1） P（N2）P（N3） =
3113123131?????=, P（ξ=4）=1- P（ξ=2）- P（ξ=3）=1--= 4234238882因此 随机变量?的分布列为
? P 2 3 4 1 83 81 213127所以 E??2??3??4??.
8828注意：本题可以列表法解决。
16.（2012山东19）现有甲乙两个靶，某射手向甲靶射击一次命中的概率为0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为
3，命中得1分，没有命中得42，每命中一次得2分，没有命中得0分。该射手每次射击的3结果相互独立，假设该射手完成以上三次射击。（Ⅰ）求该射手恰好命中一次的概率；（Ⅱ）求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX。 解：（Ⅰ）P?31211127?()??C2???； 4343336（Ⅱ）X?0,1,2,3,4,5
112131111121?()?.P(X?1)??()2?,P(X?2)?C2??, 43364312433931121121321P(X?3)?C2??,P(X?4)??()2?,P(X?5)??()2?
4333439433P(X?0)?X
0 1 2 27
3 4 5 11 91211114111EX=0×+1×+2×+3×+4×+5×=.
9393123612P 1 361 31 91 317.(2013山东19) 甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率是 .假设每局比赛结果互相独立. 23 （1）分别求甲队以3：0，3：1，3：2胜利的概率 （2）若比赛结果为3：0或3：1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为 3：2，则胜利方得2分、对方得1分，求乙队得分x的分布列及数学期望. 18.(2014山东18) 乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分.如图，甲上有两个不相交的区域A,B，乙被划分为两个不相交的区域C,D.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其它情况记0分。对落点在A上的来球，队员小明回球的落点在C上
DCAB11的概率为，在D上的概率为；对落点在B上的来球，队员小明
23
28
回球的落点在C上的概率为
13，在D上的概率为.假设共有两次来球且落在A,B上各一次，小明的两次55回球互不影响。求：（Ⅰ）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；（Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和?的分布列与数学期望.
解：（I）记Ai为事件“小明对落点在A上的来球回球的得分为i分”
?i?0,1,3?，则
P(A3)?11111,P(A?),P(A?)?1??； 1023236记Bi为事件“小明对落点在B上的来球回球的得分为i分”
?i?0,1,3?，则
P(B?3)13,P(1B?)55131,P0(B?)?1?. ?555记D为事件“小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上”， 由题意，D=A3B0+A1B0?A0B1?A0B3，由事件的独立性和互斥性，得
P(D)?P?A3B0+A1B0?A0B1?A0B3??P?A3B0)?P(A1B0)?P(A0B1)?P(A0B3?111113113?P?A3)P(B0)?P(A1)P(B0)?P(A0)P(B1)?P(A0)P(B3??????????.
2535656510所以，小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率为
3。 10（Ⅱ）由题意，随机变量?的可能取值为0，1，2，3，4，6，由事件的独立性和互斥性，得
11111131P(??0)?P(A0B0)???,P(??1)?P(A1B0+A0B1)=P(A1B0）+P(A0B1)?????,65303565613111112P(??2)?P(A1B1)???,P(??3)?P(A3B0+A0B3)=P(A3B0）+P(A0B3)?????,
355256515131111111P(??4)?P(A3B1+A1B3)=P(A3B1）+P(A1B3)?????,P(??6)?P(A3B3)???.2535302510?随机变量?的分布列为
? P 0 1 301 162 1 53 2 154 11 306 1 10 ?其数学期望为E(?)?0?
111211191?1??2??3??4??6?? 30651530103029
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