P 3 72 76 353 351 3536122(3)甲取到白球的概率为P＝P(X＝1)＋P(X＝3)＋P(X＝5)＝＋＋＝.
7353535
探究点二 离散型随机变量的期望与方差:
【例2】袋中有同样的球5个，其中3个红色，2个黄色，现从中随机且不返回地摸球，每次摸1个，当
两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量?为此时已摸球的次数，求： (1)随机变量?的概率分布列；(2)随机变量?的数学期望与方差
111C2C3C23解:(1)随机变量?可取的值为2,3,4,P(??2)??; 11C5C45312121AA2C3?AC31323C2 P(??3)??P;(??4)??; 1111111C5C4C310C5C4C3C210 得随机变量?的概率分布列为：
x P(??x) (2)随机变量?的数学期望为：随机变量?的方差为：
2 3 4 3 53 101 10；
变式迁移2. 某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道：一年后可能获利10
﹪，可能损失10﹪，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为
111，，；如果投资乙项目，244一年后可能获利20﹪，也可能损失20﹪，这两种情况发生的概率分别为? 和?（????1. ）（Ⅰ）如果把10万元投资甲项目，用?表示投资收益（收益=回收资金－投资资金），求?的概率分布及E?；
（Ⅱ）若把10万元投资投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求?的取值范围. 解：（Ⅰ）依题意，ξ的可能取值为1，0，﹣1 当ξ=1时，P（ξ=1）=，当ξ=0时，P（ξ=0）=，当ξ=﹣1时，P（ξ=1）=
.
故?的分布列为
? p 1 0 ?1 1 216
1 41 4
111?= ??????????????6分 244（Ⅱ）设η表示10万元投资乙项目的收益，则?的分布列为
? 2 ?2 E?=
p
则Eη=2α﹣2β=4α﹣2．依题意要求
? ? ，又α＜1．即：≤α＜1，
探究点三 二项分布:
【例3】(2012·四川)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为
149和p.(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；(2)1050
设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布列及数学期望E(ξ)． [审题视点] (1)依据题意及相互对立事件间的概率关系列出相关方程，通过解方程得出结论；(2)根据独立重复试验的相关概率公式列出相应的分布列，进而求出期望值．
1491
解 (1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么1－P(C )＝1－·p＝，解得p＝.
10505
－
1?11?1??1－1?＝27， (2)由题意，P(ξ＝0)＝C03?＝，P(ξ＝1)＝C×3
?10?1 000?10??10?1 000P(ξ＝2)＝C23×
1?22431?37291?3?×1－＝，P(ξ＝3)＝C3?1－10?＝.
10?10?1 0001 000
32
所以，随机变量ξ的概率分布列为
ξ P 0 1 1 0001 27 1 0002 243 1 0003 729 1 00012724372927
故随机变量ξ的数学期望：E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
1 0001 0001 0001 00010变式迁移3.任意确定四个日期，设X表示取到四个日期中星期天的个数，则D(X)等于 Ａ．D
6 7 Ｂ．
48 49 Ｃ．
36 49 Ｄ．
24 49探究点四 正态分布的应用:
【例4】(2011湖北)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)＝( )． A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2
[教你审题] 由ξ服从正态分布N(2，σ2)可得出正态曲线关于直线x＝2对称，于是得到P(ξ<0)与P(ξ<4)的关系，进而求出解．
[一般解法] ∵P(ξ<4)＝0.8，∴P(ξ>4)＝0.2，因为随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)所以正态曲线关于
17
1
直线x＝2对称，P(ξ<0)＝P(ξ>4)＝0.2，∴P(0<ξ<4)＝1－P(ξ<0)－P(ξ>4)＝0.6，∴P(0<ξ<2)＝P(0<ξ<4)
2＝0.3.答案 C
[优美解法] 画出正态曲线如图，结合图象知：
111
P(ξ<0)＝P(ξ>4)＝1－P(ξ<4)＝1－0.8＝0.2，P(0<ξ<2)＝P(0<ξ<4)＝[1－P(ξ<0)－P(ξ>4)]＝(1－0.2－0.2)
222
＝0.3.
变式迁移4. 设随机变量?服从正态分布N（0，1），记?(x)?P(??x)，给出下列结论：①?(0)?0.5；
②?(1)?1??(?1)；③P(|?|?3)?2?(3)?1；④ P(|?|?3)?1??(3).其中正确的序号是 ①②③
当堂检测
a
1．已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝k，k＝1,2,3,4.则P(2<ξ≤4)等于( )
2
1111A. B. C. D. 16543
1616
1515211aaaa16
B [∵＋＋＋＝1，∴a＝.∴P(2<ξ≤4)＝P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＝＋＝＋＝.]
248161581615155
2．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a、b、c∈(0，1))，21
已知他投篮一次得分的均值为2，则＋的最小值为( )．
a3b32281416A. B. C. D. 3333
2
解析 由已知得，3a＋2b＋0×c＝2，即3a＋2b＝2，其中0
3213a＋2b?21?12ba10
＋＝3＋＋＋≥＋2 又＋＝a3b2?a3b?3a2b3
2ba16
·＝， a2b3
2ba112116
当且仅当＝，即a＝2b时取“等号”，又3a＋2b＝2，即当a＝，b＝时，＋的最小值为，
a2b24a3b3故选D.答案 D
1
3．(2013·日照二模)已知随机变量ξ的分布列为：P(ξ＝k)＝，k＝1，2，3，则D(3ξ＋5)等于( )．
3A．6 B．9 C．3 D．4
1114
解析 E(ξ)＝(1＋2＋3)×＝2，E(ξ2)＝(12＋22＋32)×＝ 333142
∴D(ξ)＝E(ξ2)－(E(ξ))2＝－22＝.∴D(3ξ＋5)＝9D(ξ)＝6.答案 A
33
4．节日期间，某种鲜花进货价是每束2.5元，销售价每束5元；节日卖不出去的鲜花以每束1.6元价格
处理．根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量X服从如下表所示的分布： 若进这种鲜花500束，则利润的均值为（ ）
A．706元 B．690元 C．754元 D．720元
A.由分布列可以得到EX=200×0.2+300×0.35+400×0.3+500×
0.15=340，∴利润是（340×5+160×1.6）-500×2.5=706，故选A．
18
（x－μi）21
5．(2013·金华模拟)已知三个正态分布密度函数φi(x)＝·e－(x∈R，i＝1，2，3)的图象22σi2πσi
如图所示，则( )． A．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＞σ3 B．μ1＞μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3 C．μ1＝μ2＜μ3，σ1＜σ2＝σ3 D．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3
解析 正态分布密度函数φ2(x)和φ3(x)的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又φ2(x)的对称轴的横坐标值比φ1(x)的对称轴的横坐标
值大，故有μ1＜μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函数φ1(x)和φ2(x)的图象一样“瘦高”，φ3(x)明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2＜σ3.答案 D 6. 某市统考成绩大体上反映了全市学生的成绩状况，因此可以把统考成绩作为总体，设平均成绩μ=480，标准差σ=100，总体服从正态分布，若全市重点校录取率为40%，那么重点录取分数线可能划在 分（已知φ（0.25）=0.6）． 505
7. (2006山东20)袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等。用ξ表示取出的3个小球上的最大数字，求：（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；（2）随机变量ξ的概率分布和数学期望；（3）计分介于20分到40分之间的概率。
3111C5?CC22?C2?2解：（I）解法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，则P(A)? ?3C103解法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A”，“一次取出的3个小球上有两个数字
121C5?C2?C81相同”的事件记为B，则事件A和事件B是互斥事件，因为P(B)? ?3C10312所以P(A)?1?P(B)?1??.
33（II）由题意?有可能的取值为：2，3，4，5.
21122112C2?C2?C2?C2C4?C2?C4?C212P(??2)??;P(??3)??; 33C1030C10152112112C6?C2?C6?C2C82?C2?C8?C238P(??4)??;P(??5)??; 33C1010C1015所以随机变量?的概率分布为
因此?的数学期望为
123813E??2??3??4??5??
301510153（Ⅲ）“一次取球所得计分介于20分到40分之间”
的事件记为C，则
? P 2 3 4 5 1 302313?? 1510302 153 108 15P(C)?P(\??3\或\??4\?P(\??3\?P(\??4\?
A案
1. 设随机变量X等可能取值1，2，3，?，n，如果P（X＜4）=0.3，那么n=( ) A.3 B.4 C.9 D.10 D
19
2. 从一批含有13件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为ξ，则E(5ξ＋1)＝( )．
A．2 B．1 C．3 D．4
2313
A322C112C21132C13A32C13A3解析 ξ的可能取值为0，1，2.P(ξ＝0)＝3＝.P(ξ＝1)＝＝.P(ξ＝2)＝＝.所以，33A1535A1535A1535
ξ的分布列为
ξ P 0 22 351 12 352 1 352212122
于是E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.故E(5ξ＋1)＝5E(ξ)＋1＝5×＋1＝3.答案 C
35353555
3.如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割成125个同样大小的小正方体。经过搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的涂油漆面数为X，则X的均值为E?X?? A.
12661687 B. C. D. 12551255【解析与答案】三面涂有油漆的有8块，两面涂有油漆的有36块，一面涂有油漆的有54块，没有涂有油漆的有27块，所以
E?X??3?836546?2??1??。故选B。 12512512554. (2012上海)设10≤x1 变量ξ2取值、、、、的概率也均为0.2.若记D(ξ1)、D(ξ2)分别为ξ1、ξ2的方差， 22222则( )． A．D(ξ1)>D(ξ2) B．D(ξ1)＝D(ξ2) C．D(ξ1) 解：E(ξ1)＝0.2x1＋0.2x2＋0.2x3＋0.2x4＋0.2x5＝0.2(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)． x1＋x2x2＋x3x5＋x1 E(ξ2)＝0.2×＋0.2×＋?＋0.2×＝0.2(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)． 222 － ∴E(ξ1)＝E(ξ2)，记作x， － ∴D(ξ1)＝0.2[(x1－x)＋(x2－x)＋?＋(x5－x) 222 ＝0.2(x21＋x2＋?＋x5－5x)． － 2 － 2 － 2 222 ]＝0.2[x21＋x2＋?＋x5＋5x－2(x1＋x2＋?＋x5)x] －－ x1＋x2??x2＋x3?x5＋x1?同理D(ξ2)＝0.2[?＋＋?＋?＋5x2－2(x1＋x2＋?＋x5)x]． ?2??2??2?－ － 222 22 x1＋x2?2x2x5＋x1?2x21＋x25＋x1??∵ ?2?<2，?，?2?<2， ?x1＋x2?＋?x2＋x3?＋?＋?x5＋x1? ?2??2??? 20 222