5. 某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为φ(x)＝1
·e2π·10
-(x-80)2002
(x∈R)，则下列命题中不正确的是( )
A．该市这次考试的数学平均成绩为80分
B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同 C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同 D．该市这次考试的数学成绩标准差为10
B [μ＝80，故A正确；σ＝10，故D正确；∵P(X>110)＝P(X>μ＋3σ)，P(X<50)＝P(X<μ－3σ)， ∴P(X>110)＝P(X<50)，故C正确. ]
6. 甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分（即得-1分）；若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分（分数高者胜），则X的所有可能取值是 。 -1，0，1，2，3．
7．设l为平面上过点(0，1)的直线，l的斜率等可能地取－22，－3，－表示坐标原点到l的距离，则随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝________．
1
解析 当l的斜率k为±22时，直线l的方程为±22x－y＋1＝0，此时坐标原点到l的距离d＝；当k
3152
为±3时，d＝；当k为±时，d＝；当k为0时，d＝1，由古典概型的概率公式可得分布列如下：
223
ξ P 1 32 71 22 72 32 71 1 755
，0，，3，22，用ξ22
121222144
所以E(ξ)＝×＋×＋×＋1×＝.答案
372737777
8.(2012新课标)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈N)的函数解析式．(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：
日需求量n 频数 14 10 15 20 16 16 17 16 18 15 19 13 20 10 以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
①若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差． ②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．
[审题视点] (1)根据日需求量分类求出函数解析式．(2)①根据当天的需求量，写出相应的利润，列出分布列，求出数学期望和方差，②比较两种情况的数学期望或方差即可． 解 (1)当日需求量n≥16时，利润y＝80. 当日需求量n<16时，利润y＝10n－80.
21
??10n－80，n<16，
所以y关于n的函数解析式为y＝?(n∈N)．
?80，n≥16?
(2)①X可能的取值为60，70，80，并且P(X＝60)＝0.1，P(X＝70)＝0.2，P(X＝80)＝0.7. X的分布列为
X P 60 0.1 70 0.2 80 0.7 X的数学期望为E(X)＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76.
X的方差为D(X)＝(60－76)2×0.1＋(70－76)2×0.2＋(80－76)2×0.7＝44. ②答案一：花店一天应购进16枝玫瑰花．理由如下：
若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为
Y P 55 0.1 65 0.2 75 0.16 85 0.54 Y的数学期望为E(Y)＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4.
Y的方差为D(Y)＝(55－76.4)2×0.1＋(65－76.4)2×0.2＋(75－76.4)2×0.16＋(85－76.4)2×0.54＝112.04. 由以上的计算结果可以看出，D(X) 若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为 Y P 55 0.1 65 0.2 75 0.16 85 0.54 Y的数学期望为E(Y)＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4. 由以上的计算结果可以看出，E(X) 9．(2013天津)一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号 分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同). (Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率. (Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X, 求随机变量X的分布列和数学期望. 22 10．在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似服从正态分布N(60,100)，已知成绩在90分以上(含90分)的学生有13人．(1)求此次参加竞赛的学生总数共有多少人？(2)若计划奖励竞赛成绩排在前228名的学生，问受奖学生的分数线是多少？其中P(μ－2σ 13 解：(1)设参加竞赛的学生人数共n人．则P(X≥90)＝，(2分) n 1－P?30 而P(X≥90)＝＝＝＝0.001 3.(6分) 222 13 ∴＝0.001 3，n＝10 000(人)．∴参加竞赛的学生总数约有1万人．(7分) n 228 (2)设受奖学生的分数线为x0，则P(X≥x0)＝＝0.022 8，(9分)因为0.022 8<0.5，所以x0>60， 10 000 1－P?|X－60| 所以P(X≥x0)＝P(X－60≥x0－60)＝＝0.022 8，(12分) 2 所以P(|X－60| 标号分别为x、y，记ξ＝|x－2|＋|y－x|.(1)求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率； (2)求随机变量ξ的分布列． 解 (1)∵x，y可能的取值为1,2,3，∴|x－2|≤1，|y－x|≤2， ∴ξ≤3，且当x＝1，y＝3或x＝3，y＝1时，ξ＝3.因此，随机变量ξ的最大值为3. ∵有放回地抽两张卡片的所有情况有3×3＝9(种)， 22 ∴P(ξ＝3)＝.故随机变量ξ的最大值为3，事件“ξ取得最大值”的概率为. [5分] 99(2)ξ的所有取值为0,1,2,3. ∵ξ＝0时，只有x＝2，y＝2这一种情况， ξ＝1时，有x＝1，y＝1或x＝2，y＝1或x＝2，y＝3或x＝3，y＝3四种情况， ξ＝2时，有x＝1，y＝2或x＝3，y＝2两种情况． 23 [3分] [8分] 142 ∴P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝. 999则随机变量ξ的分布列为 ξ P 0 1 91 4 92 2 93 2 912. 某射击运动员每次射击击中目标的概率为p（0 解：射手射击次数的可能取值为1，2，?，9，10。 若??k(k?1,2,?,9)，则表明他前k?1次均没击中目标，而第k次击中目标；若k＝10，则表明他前9次都没击中目标，而第10次可能击中也可能没击中目标。因此?的分布列为 k?1??(1?p)p(k?1,2,?,9) P(??k)??9??(1?p)(k?10)E??1?(1?p)0p?2?(1?p)p???9?(1?p)8p?10?(1?p)9 ?[1?2(1?p)???9(1?p)8]p?10?(1?p)9 用倍差法，可求得 1?2(1?p)???9(1?p)8 1?(1?p)99(1?p)9??21?(1?p)[1?(1?p)]?1?(1?p)9(1?p)?pp299 1?(1?p)99(1?p)91?(1?p)109所以E??[ ?]p?10(1?p)?2ppp13.（2008山东18）甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分， 答错得零分。假设甲队中每人答对的概率均为 2221，乙队中3人答对的概率分别为,,且各人正确3332与否相互之间没有影响.用ε表示甲队的总得分.（Ⅰ）求随机变量ε分布列和数学期望； (Ⅱ)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB). 解法一：(Ⅰ)由题意知，ε的可能取值为0，1，2，3,且 2312222 01P(??0)?C3?(1?)?,P(??1)?C3??(1?)?,3273392242823P(??2)?C3?()2?(1?)3?,P(??3)?C3?()3?.339327 24 所以ε的分布列为 ε P 0 1 2 3 12 2791248?1??2??3??2. ε的数学期望为: Eε=0?2799272解法二：根据题设可知?～B(3,)因此ε的分布列为 34 98 272k2k22?kkP(??k)?C?()?(1?)?C3?3,k?0,1,2,3.333 22因为?～B(3,),所以E??3??233k3（Ⅱ）解法一：用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以AB=C∪D,且C、D互斥，又 2?211121211?102P(C)?C32?()2?(1?)????????????4,3?332332332?33 21114P(D)?C32?()2?(??)?5,33323由互斥事件的概率公式得P(AB)?P(C)?P(D)?1043434??? 453532433.解法二：用Ak表示“甲队得k分”这一事件，用Bk表示“已队得k分”这一事件，k=0,1,2,3由于事件A3B0,A2B1 为互斥事件，故P(AB)=P(A3B0∪A2B1)=P(A3B0)+P(A2B1). 22311111234221. =()?(2?)?C33?(?2??C2?2)?3232243323314. (2009山东19)在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3 分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在A处的命中率q1为0.25，在B处的命中率为q2，该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用?表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为 0 2 3 4 5 ? w.w.w.k.s.5.u.c.o.m p 0.03 P1 P2 P3 P4 (1)求q2的值； (2)求随机变量?的数学期望E?;(3)试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小。 解（:1）设该同学在A处投中为事件A,在B处投中为事件B,则事件A,B相互独立,且P(A)=0.25,P(A)?0.75, P(B)= q2,P(B)?1?q2. 根据分布列知: ?=0时P(ABB)?P(A)P(B)P(B)?0.75(1?q2)2=0.03,所以1?q2?0.2，q2=0.8. 25