专题5——应用型问题
【备考点睛】
数学的高度抽象性决定了数学应用的广泛性，因而应用性问题成为中考必考、频考考点之一。因应用性问题的非数学背景是多种多样的，解决这类问题往往需要在陌生的情景中去理解、分析给出的有关问题，并舍弃与数学无关的非本质因素，通过抽象转化相应的数学问题，因此应用性问题成为每位学生的一道难题。
根据应用的数学模型不同，应用性问题可分为方程的应用问题、不等式的应用问题、函数的应用问题、三角函数的应用问题、几何知识的应用问题??，解决这类问题的能力要求较高：能阅读、理解对问题进行陈述的材料，能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中的数学问题，并能用数学语言正确地加以表述。
应用性问题思考与解答的过程，最主要的特点就是：①由现实情意（非数学），抽象概括出数学问题，②进而解决数学问题，使原问题获解。其中的“由非数学到数学”是最为关键的一步。
【经典例题】
类型一、化归到方程模型解决问题
例题1 （2010浙江绍兴）某公司投资新建了一商场,共有商铺30间.据预测,当每间的年租金定为10万元时,可全部租出.每间的年租金每增加5 000元,少租出商铺1间.该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元,未租出的商铺每间每年交各种费用5 000元.
（1）当每间商铺的年租金定为13万元时,能租出多少间？ （2）当每间商铺的年租金定为多少万元时,该公司的年收益（收益＝租金－各种费用）为275万元？
解答：（1）∵ 30 000÷5 000＝6, ∴ 能租出24间. （2）设每间商铺的年租金增加x万元,则 （30－
xxx）×（10＋x）－（30－）×1－×0.5＝275， 0.50.50.52
2 x －11x＋5＝0， ∴ x＝5或0.5，
∴ 每间商铺的年租金定为10.5万元或15万元.
例题2 （2010江苏盐城）某校九年级两个班各为玉树地震灾区捐款1800元．已知2班比1
班人均捐款多4元，2班的人数比1班的人数少10%．请你根据上述信息，就这两个班级的“人数”或“人均捐款”提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程． ．．．．解答：解法一：求两个班人均捐款各多少元？
设1班人均捐款x元，则2班人均捐款（x+4）元，根据题意得
18001800 ·90%=
xx+4
解得x=36 经检验x=36是原方程的根 ∴x+4=40
答：1班人均捐36元，2班人均捐40元
1
解法二：求两个班人数各多少人？ 设1班有x人，则根据题意得
18001800
+4= x90x%
解得x=50 ，经检验x=50是原方程的根 ∴90x % =45 答：1班有50人，2班有45人
例题3（2010山东烟台）去冬今春，我国西南地区遭遇历史上罕见的旱灾，解放军某部接到了限期打30口水井大的作业任务，部队官兵到达灾区后，目睹灾情心急如焚，他们增派机械车辆，争分夺秒，每天比原计划多打3口井，结果提前5天完成任务，求原计划每天打多少口井？
解答：：设原计划每天打x口井， 由题意可列方程30/x-30/(x+3)=5, 去分母得，30（x+3）-30x=5x(x+3),
2
整理得，x+3x-18=0
解得x1=3，x2=-6（不合题意舍去） 经检验，x2=3是方程的根， 答：原计划每天打3口井
例题4 近年来，由于受国际石油市场的影响，汽油价格不断上涨．请你根据下面的信息，帮小明计算今年5月份汽油的价格．
解答：从对话内容中找出量与量之间的相等关系（即：同样的钱加的油量不同），是列方程解应用题的关键.
解：设今年5月份汽油价格为x元／升，则去年5月份的汽油价格为（x-1.8）元／升．根据题意，得
150150??18.75
x?1.8x整理，得 x2 - l.8x - 14.4 = 0
解这个方程，得x1=4.8，x2=-3分
经检验两根都为原方程的根，但x2＝-3 不符合实际意义，故舍去．分 答：今年5月份的汽油价格为4.8元／升．
列分式方程解应用题应注意两点，一是要验根；二是要看结果是否符合题意.
例题5 某高速公路收费站，有m(m?0)辆汽车等候收费通过，假设通过收费站的车流量（每分钟通过的汽车量数）保持不变，每个收费窗口的收费速度也是不变的。若开放一个收费窗口，则需要20分钟才能将原来来排队等候汽车及后来接上来的汽车全部收费通过；
2
若同时开放两个收费窗口，则需8分钟也可将原来排队等候的汽车已及后来接上来的汽车全部收费通过，若要求三分钟内将排队等候收费的汽车全部通过，并使后来到站的汽车也随到随时收费通过，请问：至少同时开放几个收费窗口？
解答：分析：第一，关键是要求出每分钟新来的汽车为多少辆，以及每个窗口每分钟可收费通过多少辆汽车，就是要求这些“未知数量的值”，当然考虑去构造方程。
第二，题目中开放一个收费窗口和开放两个收费窗口情况的斜述就是两个构造方程可依据的等量关系。
解：设每分钟新来的汽车x辆，每个窗口每分钟收费通过y辆汽车，则
设需开放z个窗口，使在3分钟内将排队等候收费的汽车全部通过，并使后来到站的汽车也随到随时收费通过，则
z?3mm43?3??3?m ， 解得z?。 40409因为窗口个数为正整数，所以需开窗口5个。
例题6 有一个只许单向通过的窄道口，通常情况下，每分钟可以通过9人．一天，王老师到达道口时，发现由于拥挤，每分钟只能3人通过道口，此时，自己前面还有36个人等待通过（假定先到的先过，王老师过道口的时间忽略不计），通过道口后，还需7分钟到达学校．
（1）此时，若绕道而行，要15分钟到达学校，从节省时考虑，王老师应选择绕道去学校，还是选择通过拥挤的道口去学校？
（2）若在王老师等人的维持下，几分钟后，秩序恢复正常（维持秩序期间，每分钟仍有3人通过道口），结果王老师比拥挤的情况下提前了6分钟通过道口，问维持秩序的时间是多少？ 解答：（1）∵
36＋7＝19＞15， 3∴ 王老师应选择绕道而行去学校． （2）设维持秩序时间为t 则
3636?3t－（t＋）＝6，
93解之得t＝3（分）．
答：维持好秩序的时间是3分钟．
类型二、化归到不等式模型解决问题
例题7（2010山东青岛）某学校组织八年级学生参加社会实践活动，若单独租用35座客车
若干辆，则刚好坐满；若单独租用55座客车，则可以少租一辆，且余45个空座位．
3
（1）求该校八年级学生参加社会实践活动的人数；
（2）已知35座客车的租金为每辆320元，55座客车的租金为每辆400元．根据租车资金不超过1500元的预算，学校决定同时租用这两种客车共4辆（可以坐不满）．请你计算本次社会实践活动所需车辆的租金．
解答：（1）设单独租用35座客车需x辆，由题意得：
35x?55(x?1)?45,
解得：x?5.
∴35x?35?5?175（人）.
答：该校八年级参加社会实践活动的人数为175人．
（2）设租35座客车y辆，则租55座客车（4?y）辆，由题意得：
?35y?55(4?y)≥175， ?320y?400(4?y)≤1500?11解这个不等式组，得1≤y≤2．
44∵y取正整数， ∴y = 2.
∴4－y = 4－2 = 2.
∴320×2＋400×2 = 1440（元）.
所以本次社会实践活动所需车辆的租金为1440元．
例题8（2010四川眉山）某渔场计划购买甲、乙两种鱼苗共6000尾，甲种鱼苗每尾0.5元，乙种鱼苗每尾0.8元．相关资料表明：甲、乙两种鱼苗的成活率分别为90%和95%． （1）若购买这批鱼苗共用了3600元，求甲、乙两种鱼苗各购买了多少尾？ （2）若购买这批鱼苗的钱不超过4200元，应如何选购鱼苗？ （3）若要使这批鱼苗的成活率不低于93%，且购买鱼苗的总费用最低，应如何选购鱼苗？ 解答：（1）设购买甲种鱼苗x尾，则购买乙种鱼苗(6000?x)尾，由题意得：
0.5x?0.8(6000?x)?3600
解这个方程，得：x?4000 ∴6000?x?2000
答：甲种鱼苗买4000尾，乙种鱼苗买2000尾． （2）由题意得：0.5x?0.8(6000?x)?4200
解这个不等式，得： x?2000
即购买甲种鱼苗应不少于2000尾．
（3）设购买鱼苗的总费用为y，则y?0.5x?0.8(6000?x)??0.3x?4800 由题意，有
909593 00x?(600?0x?)?60100100100 解得： x?2400
在y??0.3x?4800中
∵?0.3?0，∴y随x的增大而减少 ∴当x?2400时，y最小?4080．
即购买甲种鱼苗2400尾，乙种鱼苗3600尾时，总费用最低．
例题9（2010江苏泰州）近期以来，大蒜和绿豆的市场价格离奇攀升，网民戏称为“蒜你
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狠”、“豆你玩”．以绿豆为例，5月上旬某市绿豆的市场价已达16元/千克．市政府决定采取价格临时干预措施，调进绿豆以平抑市场价格．经市场调研预测，该市每调进100吨绿豆，市场价格就下降1元/千克．为了即能平抑绿豆的市场价格，又要保护豆农的生产积极性，绿豆的市场价格控制在8元/千克到10元/千克之间（含8元/千克和10元/千克）．问调进绿豆的吨数应在什么范围内为宜？ 解答：设调进绿豆x吨，根据题意，得
x?16??8，??100 解得 600≤x≤800. ??16?x?10.?100?答：调进绿豆的吨数应不少于600吨，并且不超过800吨． 类型三、化归到函数模型解决问题
例题10（2010 浙江台州市）A，B两城相距600千米，甲、乙两车同时从A城出发驶向B城，甲车到达B城后立即返回．如图是它们离A城的距离y（千米）与行驶时间 x（小时）之间的函数图象．
（1）求甲车行驶过程中y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （2）当它们行驶7了小时时，两车相遇，求乙车速度． 解答：（1）①当0≤x≤6时，
y?100x；
②当6＜x≤14时， 设y?kx?b，
∵图象过（6，600），（14，0）两点， ∴??6k?b?600,?14k?b?0.?k??75,
b?1050.? 解得?600 y/千米 C E F ∴y??75x?1050．
100x(0?x?6)?∴y??
?75x?1050(6?x?14).?（2）当x?7时，y??75?7?1050?525，
525v乙??75（千米/小时）．
7O
例题11．（2010 广东珠海）今年春季，我国云南、贵州等西南地区遇到多少不遇旱灾，“一方有难，八方支援”，为及时灌溉农田，丰收农机公司决定支援上坪村甲、乙、丙三种不同功率柴油发电机共10台（每种至少一台）及配套相同型号抽水机4台、3台、2台，每台抽水机每小时可抽水灌溉农田1亩.现要求所有柴油发电机及配套抽水机同时工作一小时，灌溉农田32亩.
(1)设甲种柴油发电机数量为x台，乙种柴油发电机数量为y台. ①用含x、y的式子表示丙种柴油发电机的数量； ②求出y与x的函数关系式；
(2)已知甲、乙、丙柴油发电机每台每小时费用分别为130元、120元、100元，应如何安排三种柴油发电机的数量，既能按要求抽水灌溉，同时柴油发电机总费用W最少？
6 D 14 x/小时
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