解答：（1）①丙种柴油发电机的数量为10-x-y ② ∵4x+3y+2(10-x-y)=32
∴y=12-2x
(2)丙种柴油发电机为10-x-y=(x-2)台
W=130x+120(12-2x)+100(x-2) =-10x+1240
x?1依题意解不等式组 12?2x?1 得：3≤x≤5.5
x?2?1∵x为正整数 ∴x=3,4,5 ∵W随x的增大而减少 ∴当x=5时 ，W最少为-10×5+1240=1190（元）
例题12． 王师傅有两块板材边角料，其中一块是边长为60cm的正方形板子，另一块是上底为30cm，下底为120cm高为60cm的直角梯形板子（如图（1），王师傅想将这两块板子裁成两块全等的矩形板材，他将两块板子叠放在一起，使梯形的两个直角顶点分别与正方形的两个顶点重合，两块板子的重叠部分为五边形ABCFE所围成的区域（如图（2），由于受材料纹理的限制，要求裁处的矩形要以点B为一个顶点。
（1）利用图（2）求出矩形顶点B所对的顶点到BC边的距离x(cm)为多少时，矩形的面积y(cm2)最大？最大面积是多少？
（2）若想裁出的矩形为正方形，试求出面积最大的正方形的边长。
E D A
F
G B C
解答：在搞清背景图形各有关数量的情况下，对于问题（1），需对三类矩形的面积做比较（如图2`），而其中的矩形BPQR的面积显然是x的函数，因此，本题的核心是建立出这个函数并求其最大值。
对于（2），从变动的矩形BPQR中确定出正方形，自然也要借助上述函数。
解：（1）在图（2）中，易知Rt?EFD∽Rt?GFC，且ED?30,GC?60,DC?60 ，
?DF?12DC?20,FC?DC?40。 332①当点B所对的顶点到BC的距离为60时（即该顶点在线段AE上，），这些矩形中面积最大的就是矩形BMEA，其面积等于S矩形BMEA?30?60?1800（cm） ②当点B所对的顶点到BC的距离等于或小于40时，且该顶点在FC上，
显然，在这些矩形中，面积最大的就是矩形BCFN，
S矩形BCFN?40?60?2400(cm2)
③当点B所对的顶点Q在线段EF上时， 矩形为BPQR，QP?x(cm)。
A R N
6
E
Q D
?Rt?QGP∽Rt?FGC，
F B
M P
C
G
PG603PGGC?,PG?x(40?x?60), ，即?x402QPFC3?BP?120?x。
2333?S矩形BPQR?x(120?x)??x2?120x??(x?40)2?2400。
222可知当x?40时，S矩形BPQR的面积最大为2400(cm2)。此时的点Q即为点F。
?（2`）
综上可知： 当x?40时，也即矩形为BCFN时，面积最大为2400(cm2)。 （2）面积最大的正方形应当在（1）中③的矩形中，这时应有
3x2??x2?120x，解得x1?0（舍去），x2?48(cm)。
2面积最大的正方形的边长为48cm。 在本题，及时地认识到并正确地建立出矩形BPQR的面积关于x的函数，是获解的关键。
例题13 小杰到学校食堂买饭，看到A，B两个窗口前排队的人一相样多（设为a人，a?8），就站到A窗口队伍的后面，过了2分钟，他发现A窗口每分钟有4人买了饭离开队伍，B窗口每分钟有6人买了饭离开队伍，且B窗口队伍后面每分钟增加5人。 （1） 此时，若小杰继续在A窗口排队，则他到达窗口所需
A B 的时间是多少（用含a的代数式表示）？
（2） 此时，若小杰迅速从A窗口队伍转移到B窗口队伍后面 重新排队，且到达B窗口的所花的时间比继续在A窗口排队到达 A窗口所花的时间少，求a的取值范围（ 不考虑其它因素）。 解答：首先认识到：小杰无论是在A窗口还是在B窗口排队， 他到达窗口所需的时间都决定于已排队的人数a，因此，
本题实际上是个“函数”问题；其次， 这两个函数都好求出， 即表示成a的代数式；最后，借助于两个函数（即两个代数式） 的关系，求出自变量a的取值范围。 解：（1）(a?4?2)?4?… … a?2； 4… （2）若此时转到B窗口，则到窗口时共用时间：?(a?5?2)?6?2??6?a1?； 63a1a???2，解得a?20。a的取值范围为a?20。 634当a?20时，小杰到B窗口比在A窗口用的时间少。
令
本题中两个代数式的建立，是“函数思想”的一种体现。
例题14．（2010江苏泰州）保护生态环境，建设绿色社会已经从理念变为人们的行动．某化工厂2009年1 月的利润为200万元．设2009年1 月为第1个月，第x个月的利润为y万元．由于排污超标，该厂决定从2009年1 月底起适当限产，并投入资金进行治污改造，导致月利润明显下降，从1月到5月，y与x成反比例．到5月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加20万元（如图）．
⑴分别求该化工厂治污期间及治污改造工程完工后y与x之间对应的函数关系式． ⑵治污改造工程完工后经过几个月，该厂月利润才能达到2009年1月的水平？ ⑶当月利润少于100万元时为该厂资金紧张期，问该厂资金紧张期共有几个月？
7
解答：⑴①当1≤x≤5时，设y?k200，把（1，200）代入，得k?200，即y?；②当xxx?5时，y?40，所以当x＞5时，y?40?20(x?5)?20x?60；
⑵当y=200时，20x-60=200，x=13，所以治污改造工程顺利完工后经过13-5=8个月后，该厂利润达到200万元；
⑶对于y?200，当y=100时，x=2；对于y=20x-60，当y=100时，x=8，所以资金紧张的x时间为8-2=6个月．
例题15． 一园林设计师要使用长度为4L的材料建造如图（1）所示的花圃。该花辅是由四个形状、大小完全一样的扇环面组成，每个扇环面如图（2）所示。它是以 点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过O点的两条直线段围成，为使得绿化效果最佳，还须使得扇环面积最大。
（1）求使图（1）花圃面积为最大时R?r的值及此时花圃面积，其中R,r分别为大圆和小圆的半径。
（2）若L?160m,r?10m，求使图（2）面积为最大时?值。
解答：在图（2）中，扇环图形的周长是确定的，所以其圆心角?和扇形的面积S都随R?r值的确定而确定，因此，他们都是R?r的函数！认清楚了这一点，剩下的问题都可依几何计算和函数的性质来解决了。
R?r （1）
R?r （2）
? O
解：（1）若使形如图（1）花圃面积为最大，则必定要求图（2）扇环面积最大。 设图（2）扇环的圆心角为?，面积为S，根据题意得：
L???R180???r180?2(R?r)????(R?r)180?2(R?r)。 ???180?L?2(R?r)?。
?(R?r)?S?180?L?2(R?r)??(R2?r2)
360360360360?(R?r)11??L?2(R?r)??(R?r)??(R?r)2?L(R?r) 22??R2???r2?????(R2?r2)???L?L2?。 ???(R?r)???4?16?
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2L1L2?式中0?R?r?,?S在R?r?时为最大，最大值为。
2416LL2L2。 ?花圃面积最大时R?r的值为，最大面积为?4?4164L（2）?当R?r?时，S取值最大。
4L160?R?r???40(m),R?40?r?40?10?50(m)。
44180?L?2(R?r)?180?(160?2?40)240?????（度）。
?(R?r)??60?在本题，能否认识到S是R?r的函数，是解法能否启动的关键！我们年，用函数解决
实际问题，
例题16．（2010湖北荆州）国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某环保节能设备生产企业的产品供不应求．若该企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围，每套产品的生产成本不高于50万元，每套产品的售价不低于90万元．已知这种设备的月产量x（套）与每套的售价y1（万元）之间满足关系式y1?170?2x，月产量x（套）与生产总成本y2（万元）存在如图所示的函数关系. （1）直接写出．．．．y2与x之间的函数关系式； （2）求月产量x的范围；
（3）当月产量x（套）为多少时，
这种设备的利润W（万元）最大？最大利润是多少？ 解答：（1）y2?500?30x
?500?30x?50x（2）依题意得：?
170?2x?90?解得：25≤x≤40
（3）∵W?x?y1?y2?x(170?2x)?(500?30x)??2x2?140x?500 ∴W??2(x?35)2?1950
而25<35<40, ∴当x=35时，W最大?1950
即，月产量为35件时，利润最大，最大利润是1950万元．
类型三、化归到几何模型解决问题
例题17．（2010 内蒙古包头）如图，已知△ABC中，AB?AC?10厘米，BC?8厘米，
点D为AB的中点．
（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，
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都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？
解答：（1）①∵t?1秒， ∴BP?CQ?3?1?3厘米，
∵AB?10厘米，点D为AB的中点， ∴BD?5厘米．
又∵PC?BC?BP，BC?8厘米， ∴PC?8?3?5厘米， ∴PC?BD． 又∵AB?AC， ∴?B??C，
∴△BPD≌△CQP． ②∵vP?vQ， ∴BP?CQ，
又∵△BPD≌△CQP，?B??C，则BP?PC?4，CQ?BD?5， ∴点P，点Q运动的时间t?∴vQ?A D Q P C B BP4?秒， 33CQ515??厘米/秒． 44t3（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，
15x?3x?2?10， 由题意，得480解得x?秒．
380?3?80厘米． ∴点P共运动了3∵80?2?28?24，
∴点P、点Q在AB边上相遇，
80∴经过秒点P与点Q第一次在边AB上相遇．
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例题18．马戏团让狮子和公鸡表演跷跷板节目．跷跷板支柱AB的高度为1.2米． （1）若吊环高度为2米，支点A为跷跷板PQ的中点，狮子能否将公鸡送到吊环上？为什么？
（2）若吊环高度为3.6米，在不改变其他条件的前A提下移动支柱，当支点A移到跷跷板PQ的什么位置时，狮子刚好能将公鸡送到吊环上？
PB解答：
（1）由三角形的中位线性质可知，狮子能将公鸡送到吊环上；
（2）由相似三角形性质，通过对应边成比例，问题得解. 解：（1）狮子能将公鸡送到吊环上．
如图1，当狮子将跷跷板P端按到底时可得到Rt△PHQ， ∵AB为△PHQ的中位线，AB＝1.2（米）
P
∴QH＝2.4＞2（米）．
QCQABH图1
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