1987年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)当x=_____________时,函数y?x?2x取得极小值.
(2)由曲线y?lnx与两直线y?e?1?x及y?0所围成的平面图形的面积是_____________.
x?1
(3)与两直线 y??1?t及x?11?y?21?z?11都平行且过原点的平面方程为_____________.
z?2?t
(4)设L为取正向的圆周x2?y2?9,则曲线积分
??L(2xy?2y)dx?(x2?4x)dy= _____________. (5)已知三维向量空间的基底为α1?(1,1,0),α2?(1,0,1),α3?(0,1,1),则向量β?(2,0,0)在此基底下的坐标是_____________.
二、(本题满分8分)
求正的常数a与b,使等式lim1xt2.
x?0bx?sinx?0a?t2dt?1成立
三、(本题满分7分)
(1)设f、g为连续可微函数,u?f(x,xy),v?g(x?xy),求?u??x,v?x.
?(2)设矩阵A和B满足关系式AB=A?2B,其中A??301??110???,求矩阵B.
?014??
四、(本题满分8分)
求微分方程y????6y???(9?a2)y??1的通解,其中常数a?0.
五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设limf(x)?f(a)x?a(x?a)2??1,则在x?a处 (A)f(x)的导数存在,且f?(a)?0 (B)f(x)取得极大值 (C)f(x)取得极小值
(D)f(x)的导数不存在
s(2)设f(x)为已知连续函数,I?t?t0f(tx)dx,其中t?0,s?0,则I的值
(A)依赖于s和t (B)依赖于s、t和x (C)依赖于t、x,不依赖于s
(D)依赖于s,不依赖于t
(3)设常数k?0,则级数??(?1)nk?nn?1n2 (A)发散
(B)绝对收敛
(C)条件收敛
(D)散敛性与k的取值有关
(4)设A为n阶方阵，且A的行列式|A|?a?0,而A*是A的伴随矩阵，则|A*|等于 (A)a
(B)
1a (C)an?1
(D)an
六、（本题满分10分） 求幂级数??1xn?1n?1n?2n的收敛域，并求其和函数.
七、（本题满分10分） 求曲面积分 I???x(8y?1)dydz?2(1?y2)dzdx?4yzdxdy,
??其中?是由曲线f(x)???z?y?1 1?y?3?绕y轴旋转一周而成的曲面,其法向量与?x?0y轴正向的夹角恒大于
?2.
八、（本题满分10分）
设函数f(x)在闭区间[0,1]上可微,对于[0,1]上的每一个x,函数f(x)的值都在开区间(0,1)内,且f?(x)?1,证明在(0,1)内有且仅有一个x,使得f(x)?x.
九、（本题满分8分）
问a,b为何值时,现线性方程组
x1?x2?x3?x4?0x2?2x3?2x4?1?x
2?(a?3)x3?2x4?b3x1?2x2?x3?ax4??1有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.
十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)
(1)设在一次实验中,事件A发生的概率为p,现进行n次独立试验,则A至少发生一次的概率为____________;而事件A至多发生一次的概率为____________.
(2)有两个箱子,第1个箱子有3个白球,2个红球, 第2个箱子有4个白球,4个红球.现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里,再从第2个箱子中取出1个球,此球是白球的概率为____________.已知上述从第2个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为____________.
(3)已知连续随机变量X的概率密度函数为f(x)?1x2?2x?1?e?,则X的数学期望为____________,X的方差
为____________.
十一、（本题满分6分）
设随机变量X,Y相互独立,其概率密度函数分别为
f10?x?1e?yyX(x)?0其它,f??0Y(y)0y?0, 求Z?2X?Y的概率密度函数.
1988年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)
?求幂级数?(x?3)n(1)n的收敛域. n?1n3(2)设f(x)?ex2,f[?(x)]?1?x且?(x)?0,求?(x)及其定义域. (3)设?为曲面x2?y2?z2?1的外侧,计算曲面积分I????x3dydz?y3dzdx?z3dxdy.
?
二、填空题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.把答案填在题中横线上)
(1)若f(t)?limt(1?12txx??x),则f?(t)= _____________.
3(2)设f(x)连续且
?x?10f(t)dt?x,则f(7)=_____________.
(3)设周期为2的周期函数,它在区间(?1,1]上定义为f(x)?2?1?x?0x20?x?1,则的傅里叶(Fourier)级数在x?1处收敛于_____________.
(4)设4阶矩阵A?[α,γ2,γ3,γ4],B?[β,γ2,γ3,γ4],其中α,β,γ2,γ3,γ4均为4维列向量,且已知行列式
A?4,B?1,则行列式A?B= _____________.
三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设f(x)可导且f?(x10)?2,则?x?0时,f(x)在x0处的微分dy是 (A)与?x等价的无穷小 (B)与?x同阶的无穷小
(C)比?x低阶的无穷小
(D)比?x高阶的无穷小
(2)设y?f(x)是方程y???2y??4y?0的一个解且f(x0)?0,f?(x0)?0,则函数f(x)在点x0处 (A)取得极大值 (B)取得极小值
(C)某邻域内单调增加
(D)某邻域内单调减少
(3)设空间区域?222?R2,z?0,?22221:x?y?z2:x?y?z?R,x?0,y?0,z?0,则 (A)
???xdv?4???dv
(B)
????ydv?4????ydv
1?21?2(C)
???zdv?4???zdv
(D)
????xyzdv?4???xyzdv
1?2?1?2?(4)设幂级数
?a(x?1)nn在x??1处收敛,则此级数在x?2处 n?1(A)条件收敛
(B)绝对收敛
(C)发散
(D)收敛性不能确定
(5)n维向量组α1,α2,?,αs(3?s?n)线性无关的充要条件是 (A)存在一组不全为零的数k1,k2,?,ks,使k1α1?k2α2???ksαs?0 (B)α1,α2,?,αs中任意两个向量均线性无关
(C)α1,α2,?,αs中存在一个向量不能用其余向量线性表示 (D)α1,α2,?,αs中存在一个向量都不能用其余向量线性表示
四、(本题满分6分) 设u?yf(xy?2u?2uy)?xg(x),其中函数f、g具有二阶连续导数,求x?x2?y?x?y.
五、(本题满分8分)
设函数y?y(x)满足微分方程y???3y??2y?2ex,其图形在点(0,1)处的切线与曲线y?x2?x?1在该点处
,求函数y?y(x).
的切线重合 六、（本题满分9分）
设位于点(0,1)的质点A对质点M的引力大小为
k(k?0为常数,r为A质点与M之间的距离),质点M沿直r2 九、（本题满分9分）
设函数f(x)在区间[a,b]上连续,且在(a,b)内有f?(x)?0,证明:在(a,b)内存在唯一的?,使曲线y?f(x)与
线y?2x?x2自B(2,0)运动到O(0,0),求在此运动过程中质点A对质点M的引力所作的功.
两直线y?f(?),x?a所围平面图形面积S1是曲线y?f(x)与两直线y?f(?),x?b所围平面图形面积S2的3 七、（本题满分6分）
?100??1已知AP?BP,其中B???000??,P??0?2?1??00?1????21八、（本题满分8分）
?200??200?已知矩阵A???001?1x?与B????0y0??相似.
??0???00?1??(1)求x与y.
(2)求一个满足P?1AP?B的可逆阵P.
0?0??,求A,A5.1?
?倍.
十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)
(1)设在三次独立试验中,事件A出现的概率相等,若已知A至少出现一次的概率等于1927,则事件A在一次试验中出现的概率是____________.
(2)若在区间(0,1)内任取两个数,则事件”两数之和小于
65”的概率为____________. (3)设随机变量X服从均值为10,均方差为0.02的正态分布,已知
2?(x)??x1?u2??2?edu,?(2.5)?0.9938,
则X落在区间(9.95,10.05)内的概率为____________.
十一、（本题满分6分）
设随机变量X的概率密度函数为fX(x)?1?(1?x2),求随机变量Y?1?3X的概率密度函数fY(y).
1989年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)已知f?(3)?2,则limf(3?h)?f(3)h?02h= _____________.
(2)设f(x)是连续函数,且f(x)?x?2?10f(t)dt,则f(x)=_____________.
(3)设平面曲线L为下半圆周y??1?x2,则曲线积分
?2L(x?y2)ds=_____________.
(4)向量场divu在点P(1,1,0)处的散度divu=_____________.
?300?(5)设矩阵A???140???,I??100??010??,则矩阵(A?2I)?1=_____________.
??003????001??
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)当x?0时,曲线y?xsin1x (A)有且仅有水平渐近线 (B)有且仅有铅直渐近线
(C)既有水平渐近线,又有铅直渐近线
(D)既无水平渐近线,又无铅直渐近线
(2)已知曲面z?4?x2?y2上点P处的切平面平行于平面2x?2y?z?1?0,则点的坐标是 (A)(1,?1,2) (B)(?1,1,2) (C)(1,1,2)
(D)(?1,?1,2)
(3)设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解是任意常数,则该非齐次方程的通解是 (A)c1y1?c2y2?y3
(B)c1y1?c2y2?(c1?c2)y3
(C)c1y1?c2y2?(1?c1?c2)y3
(D)c1y1?c2y2?(1?c1?c2)y3
?(4)设函数f(x)?x2,0?x?1,而S(x)??bnsinn?x,???x???,其中
n?1b11n?2?0f(x)sinn?xdx,n?1,2,3,?,则S(?2)等于
(A)?12
(B)?14 (C)
114 (D)
2 (5)设A是n阶矩阵,且A的行列式A?0,则A中 (A)必有一列元素全为0 (B)必有两列元素对应成比例 (C)必有一列向量是其余列向量的线性组合
(D)任一列向量是其余列向量的线性组合
三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)
设z?f(2x?y)?g(x,xy),其中函数f(t)二阶可导,g(u,v)具有连续二阶偏导数,求
?2(1)z?x?y.
(2)设曲线积分
?2cxydx?y?(x)dy与路径无关,其中?(x)具有连续的导数,且?(0)?0,计算
?(1,1)(0,0)xy2dx?y?(x)dy的值.
(3)计算三重积分
???(x?z)dv,其中?是由曲面z?x2?y2与z?1?x2?y2所围成的区域. ?
四、(本题满分6分) 将函数f(x)?arctan1?x1?x展为x的幂级数.