五、(本题满分7分) 设f(x)?sinx??x0(x?t)f(t)dt,其中f为连续函数,求f(x).
六、（本题满分7分） 证明方程lnx?xe???01?cos2xdx在区间(0,??)内有且仅有两个不同实根.
七、（本题满分6分）
问?为何值时,线性方程组
x1?x3??
4x1?x2?2x3???2 6x1?x2?4x3?2??3
有解,并求出解的一般形式.
八、（本题满分8分）
假设?为n阶可逆矩阵A的一个特征值,证明 (1)
1?为A?1的特征值.
(2)
A*?为A的伴随矩阵A的特征值.
九、（本题满分9分）
设半径为R的球面?的球心在定球面x2?y2?z2?a2(a?0)上,问当R为何值时,球面?在定球面内部的那
部分的面积最大?
十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)
(1)已知随机事件A的概率P(A)?0.5,随机事件B的概率P(B)?0.6及条件概率P(B|A)?0.8,则和事件
A?B的概率P(A?B)=____________.
(2)甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为____________.
(3)若随机变量?在(1,6)上服从均匀分布,则方程x2??x?1?0有实根的概率是____________.
十一、（本题满分6分）
设随机变量X与Y独立,且X服从均值为1、标准差(均方差)为2的正态分布,而Y服从标准正态分布.试求随机变量Z?2X?Y?3的概率密度函数.
1990年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
x??t?2
(1)过点M(1,2?1)且与直线 y?3t?4垂直的平面方程是_____________.
z?t?1
(2)设a为非零常数,则lim(x?ax??x?a)x=_____________.
(3)设函数f(x)?
1x?10x?1,则f[f(x)]=_____________.
(4)积分
?22?y20dx?xedy的值等于_____________.
(5)已知向量组α1?(1,2,3,4),α2?(2,3,4,5),α3?(3,4,5,6),α4?(4,5,6,7),
则该向量组的秩是_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设f(x)是连续函数,且F(x)??e?xxf(t)dt,则F?(x)等于
(A)?e?xf(e?x)?f(x)
(B)?e?xf(e?x)?f(x)
(C)e?xf(e?x)?f(x)
(D)e?xf(e?x)?f(x)
(2)已知函数f(x)具有任意阶导数,且f?(x)?[f(x)]2,则当n为大于2的正整数时,f(x)的n阶导数f(n)(x)是
(A)n![f(x)]n?1 (B)n[f(x)]n?1
(C)[f(x)]2n
(D)n![f(x)]2n
?(3)设a为常数,则级数?[sin(na)1n?1n2?n] (A)绝对收敛
(B)条件收敛 (C)发散
(D)收敛性与a的取值有关
(4)已知f(x)在x?0的某个邻域内连续,且f(0)?0,limf(x)x?01?cosx?2,则在点x?0处f(x) (A)不可导
(B)可导,且f?(0)?0 (C)取得极大值
(D)取得极小值
(5)已知β1、β2是非齐次线性方程组AX?b的两个不同的解,α1、α2是对应其次线性方程组AX?0的基础
解析,k1、k2为任意常数,则方程组AX?b的通解(一般解)必是
(A)k1α1?k2(α1?αβ22)?β1?2
(B)k1α1?k2(αβ1?β21?α2)?2 (C)kβ1?β2β1?β21α1?k2(β1?β2)?2
(D)k1α1?k2(β1?β2)?2
三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)
(1)求
?1ln(1?x)0(2?x)2dx.
(2)设z?f(2x?y,ysinx),其中f(u,v)具有连续的二阶偏导数,求
?2z?x?y.
(3)求微分方程y???4y??4y?e?2x的通解(一般解).
四、(本题满分6分) 求幂级数??(2n?1)xn的收敛域,并求其和函数.
n?0
五、(本题满分8分) 求曲面积分
I???yzdzdx?2dxdy
S其中S是球面x2?y2?z2?4外侧在z?0的部分.
六、（本题满分7分）
设不恒为常数的函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且f(a)?f(b).证明在(a,b)内至少存在一点?,使得f?(?)?0.
七、（本题满分6分） 设四阶矩阵
??1?100??2134?B??01?10???,C??0213???001?1?021?? ?0001??0???0002??且矩阵A满足关系式
A(E?C?1B)?C??E
其中E为四阶单位矩阵,C?1表示C的逆矩阵,C?表示C的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵A.
八、（本题满分8分）
求一个正交变换化二次型f?x2221?4x2?4x3?4x1x2?4x1x3?8x2x3成标准型.
九、（本题满分8分）
质点P沿着以AB为直径的半圆周,从点A(1,2)运动到点B(3,4)的过程中受
变力F?作用(见图).F?的大小等于点P与原点O之间的距离,其方向垂直于线段OP且与y轴正向的夹角小于?2.求变力F?对质点P所作的功.
十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上) (1)已知随机变量X的概率密度函数
f(x)?12e?x,???x??? 则X的概率分布函数F(x)=____________.
(2)设随机事件A、B及其和事件的概率分别是0.4、0.3和0.6,若B表示B的对立事件,那么积事件AB的概率
P(AB)=____________.
(3)已知离散型随机变量X服从参数为2的泊松(Poisson)分布,即P{X?k}?2ke?2k!,k?0,1,2,?,则随机变量Z?3X?2的数学期望E(Z)=____________.
十一、（本题满分6分）
设二维随机变量(X,Y)在区域D:0?x?1,y?x内服从均匀分布,求关于X的边缘概率密度函数及随机变量
Z?2X?1的方差D(Z).
1991年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(1)设x?1?t2y?cost,则d2ydx2=_____________.
(2)由方程xyz?x2?y2?z2?2所确定的函数z?z(x,y)在点(1,0,?1)处的全微分dz=_____________.
(3)已知两条直线的方程是lx?11:1?y?20?z?3?1;lx?2y?1z2:2?1?1.则过l1且平行于l2的平面方程是_____________.
1(4)已知当x?0时,(1?ax2)3?1与cosx?1是等价无穷小,则常数a=_____________.
??5200?(5)设4阶方阵A??2100?1?1?2??,则A的逆阵A?=_____________. ?00?0011?? 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
?x2(1)曲线y?1?e1?e?x2 (A)没有渐近线 (B)仅有水平渐近线
(C)仅有铅直渐近线
(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线
(2)若连续函数f(x)满足关系式f(x)??2?0f(t2)dt?ln2,则f(x)等于
(A)exln2
(B)e2xln2
(C)ex?ln2
(D)e2x?ln2
?(3)已知级数?(?1)n?1?an?2,n?1?a2n?1?5,则级数??an等于
n?1n?1(A)3 (B)7
(C)8
(D)9
(4)设D是平面xoy上以(1,1)、(?1,1)和(?1,?1)为顶点的三角形区域,D1是D在第一象限的部分,则
??(xy?cosxsiny)dxdy等于
D(A)2??cosxsinydxdy
(B)2D??xydxdy
1D1(C)4??(xy?cosxsiny)dxdy
(D)0
D1(5)设n阶方阵A、B、C满足关系式ABC?E,其中E是n阶单位阵,则必有 (A)ACB?E
(B)CBA?E (C)BAC?E
(D)BCA?E
三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)
?(1)求xlim?0?(cosx)2.
(2)设n?是曲面2x2?3y2?z2?6在点P(1,1,1)处的指向外侧的法向量,求函数u?6x2?8y2n?z在点P处沿方
的方向导数. (3)
???(x2?y22?z)dv,其中?是由曲线 y?2z轴旋转一周而成的曲面与平面z?4所围城的立体.
?x?0绕z
四、(本题满分6分)
过点O(0,0)和A(?,0)的曲线族y?asinx(a?0)中,求一条曲线L,使沿该曲线O从到A的积分
?L(1?y3)dx?(2x?y)dy的值最小.
向