1994年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(1)lim1x?0cot?(sinx?1x)= _____________.
(2)曲面z?ex?2xy?3在点(1,2,0)处的切平面方程为_____________.
(3)设u?e?xsinx?2u1y,则?x?y在点(2,?)处的值为_____________.
(4)设区域D为x2?y2?R2,则??(x2y22?2)dxdyDab=_____________.
(5)已知α?[1,2,3],β?[1,1,123],设A?α?β,其中α?是α的转置,则An=_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
?(1)设M??2sinx??4234234??cosxdx,N?21?x2???(sinx?cosx)dx,P?2?2??(xsinx?cosx)dx,则有 2(A)N?P?M (B)M?P?N (C)N?M?P
(D)P?M?N
(2)二元函数f(x,y)在点(x0,y0)处两个偏导数fx?(x0,y0)、fy?(x0,y0)存在是f(x,y)在该点连续的 (A)充分条件而非必要条件 (B)必要条件而非充分条件
(C)充分必要条件
(D)既非充分条件又非必要条件
(3)设常数??0,且级数??a2?n收敛,则级数?(?1)nann?1n2??
n?1(A)发散
(B)条件收敛 (C)绝对收敛
(D)收敛性与?有关
(4)limatanx?b(1?cosx)22x?0cln(1?2x)?d(1?e?x2)?2,其中a?c?0,则必有
(A)b?4d (B)b??4d (C)a?4c
(D)a??4c
(5)已知向量组α1,α2,α3,α4线性无关,则向量组 (A)α1?α2,α2?α3,α3?α4,α4?α1线性无关 (B)α1?α2,α2?α3,α3?α4,α4?α1线性无关 (C)α1?α2,α2?α3,α3?α4,α4?α1线性无关 (D)α1?α2,α2?α3,α3?α4,α4?α1线性无关
三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)
x?cos(t2)(1)设dyd2
yy?tcos(t2)??t21,求12ucosududx、dx2在t??2的值.
(2)将函数f(x)?11?x14ln1?x?2arctanx?x展开成x的幂级数.
(3)求
?dxsin(2x)?2sinx.
四、(本题满分6分)
计算曲面积分??xdydz?z2dxdy,其中S是由曲面x2?y2?R2及z?R,z??R(Sx2?y2?z2R?0)两平面所围成立体表面的外侧.
五、(本题满分9分)
设f(x)具有二阶连续函数,f(0)?0,f?(0)?1,且[xy(x?y)?f(x)y]dx?[f?(x)?x2y]dy?0为一全微分方
程,求f(x)及此全微分方程的通解.
六、(本题满分8分)
设f(x)在点x?0的某一邻域内具有二阶连续导数,且limf(x)?x?0x?0,证明级数?f(1)绝对收敛. n?1n 七、（本题满分6分）
已知点A与B的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段AB绕x轴旋转一周所成的旋转曲面为S.求由S及两平面z?0,z?1所围成的立体体积.
八、（本题满分8分） 设四元线性齐次方程组(Ⅰ)为
x1?x2?0x2?x4?0,
又已知某线性齐次方程组(Ⅱ)的通解为k1(0,1,1,0)?k2(?1,2,2,1).
(1)求线性方程组(Ⅰ)的基础解析.
(2)问线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由. 九、（本题满分6分）
设A为n阶非零方阵,A*是A的伴随矩阵,A?是A的转置矩阵,当A*?A?时,证明A?0.
十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)
(1)已知A、B两个事件满足条件P(AB)?P(AB),且P(A)?p,则P(B)=____________. (2)设相互独立的两个随机变量X,Y具有同一分布率,且X的分布率为
X 0 1 P 1 122 则随机变量Z?max{X,Y}的分布率为____________.
十一、（本题满分6分）
设随机变量X和Y分别服从正态分布N(1,32)和N(0,42),且X与Y的相关系数?xy??12,设Z?XY3?2, (1)求Z的数学期望EZ和DZ方差.
(2)求X与Z的相关系数?xz. (3)问X与Y是否相互独立?为什么?
1995年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
2(1)lim(1?3sinxx?0x)=_____________.
(2)d0dx?x2xcost2dt= _____________.
(3)设(a?b)?c?2,则[(a?b)?(b?c)]?(c?a)=_____________. ?(4)幂级数
?nnnx2n?1的收敛半径R=_____________. n?12?(?3)??100??3?1?(5)设三阶方阵A,B满足关系式A?1BA?6A?BA,且A???0??40?,则B=_____________. ???001?7???
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设有直线L:x?3y?2z?1?02x?y?10z?3?0,及平面?:4x?2y?z?2?0,则直线L
(A)平行于? (B)在?上 (C)垂直于?
(D)与?斜交
(2)设在[0,1]上f??(x)?0,则f?(0),f?(1),f(1)?f(0)或f(0)?f(1)的大小顺序是 (A)f?(1)?f?(0)?f(1)?f(0) (B)f?(1)?f(1)?f(0)?f?(0) (C)f(1)?f(0)?f?(1)?f?(0)
(D)f?(1)?f(0)?f(1)?f?(0)
(3)设f(x)可导,F(x)?f(x)(1?sinx),则f(0)?0是F(x)在x?0处可导的 (A)充分必要条件 (B)充分条件但非必要条件
(C)必要条件但非充分条件 (D)既非充分条件又非必要条件
(4)设un1n?(?1)ln(1?n),则级数 ??(A)
?u2??
(B)
2n与
n与
n?1?un?1n都收敛?un?1?un?1n都发散
???(C)
?un收敛,而
(D)
n?1??u2n?1n发散 ?un收敛,而
n?1?u2n?1n发散?a12a13??aa12a13??010??1(5)设A??a11?a21a22a???,B??1123?a21a22a???00?23,P?100?,P?010?,?a31a32a33????a31a32a?1??2?01?则必有 33????001????1??(A)AP1P2=B (B)AP2P1=B (C)P1P2A=B
(D)P2P1A=B
三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分) (1)设u?f(x,y,z),?(x2,ey,z)?0,y?sinx,其中f,?都具有一阶连续偏导数,且
???z?0.求dudx.(2)设函数f(x)在区间[0,1]上连续,并设
?1110f(x)dx?A,求?0dx?xf(x)f(y)dy.
四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分) (1)计算曲面积分
???zdS,其中?为锥面z?x2?y2在柱体x2?y2?2x内的部分. (2)将函数f(x)?x?1(0?x?2)展开成周期为4的余弦函数.
五、(本题满分7分)
设曲线L位于平面xOy的第一象限内,L上任一点M处的切线与y轴总相交,交点记为A.已知MA?OA,且L过点(32,32),求L的方程.
六、(本题满分8分) 设函数Q(x,y)在平面xOy上具有一阶连续偏导数,曲线积分
?L2xydx?Q(x,y)dy与路径无关,并且对任意t恒
有?(t,1)(0,0)2xydx?Q(x,y)dy??(1,t)(0,0)2xydx?Q(x,y)dy,求Q(x,y).
七、（本题满分8分）
假设函数f(x)和g(x)在[a,b]上存在二阶导数,并且g??(x)?0,f(a)?f(b)?g(a)?g(b)?0,试证:
(1)在开区间(a,b)内g(x)?0.
(2)在开区间(a,b)内至少存在一点?,使
f(?)f?g(?)??(?)g??(?).
八、（本题满分7分）
?设三阶实对称矩阵A的特征值为??1,对应于??0??1??1,?2??31的特征向量为ξ1??1?,求A.
??1??
九、（本题满分6分）
设A为n阶矩阵,满足AA??I(I是n阶单位矩阵,A?是A的转置矩阵),A?0,求A?I.
十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上) (1)设X表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为0.4, 则X2的数学期望E(X2)=____________.
(2)设X和Y为两个随机变量,且
P{X?0,Y?0}?37,P{X?0}?P{Y?0}?47,
则P{max(X,Y)?0}?____________.
十一、（本题满分6分） 设随机变量X的概率密度为
e?xfx?0X(x)?0x?0, 求随机变量Y?eX的概率密度fY(y).
1996年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(1)设lim(x?2ax??x?a)x?8,则a=_____________.
(2)设一平面经过原点及点(6,?3,2),且与平面4x?y?2z?8垂直,则此平面方程为_____________. (3)微分方程y???2y??2y?ex的通解为_____________.
(4)函数u?ln(x?y2?z2)在点A(1,0,1)处沿点A指向点B(3,?2,2)方向的方向导数为_____________.
?(5)设A是4?3矩阵,且A的秩r(A)?2,而B??102??020?03?,则r(AB)=_____________.
???1??
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)已知(x?ay)dx?ydy(x?y)2为某函数的全微分,a则等于 (A)-1 (B)0 (C)1
(D)2
(2)设f(x)具有二阶连续导数,且
f?(0)?0,limf??(x)x?0x?1,则 (A)f(0)是f(x)的极大值 (B)f(0)是f(x)的极小值
(C)(0,f(0))是曲线y?f(x)的拐点
(D)f(0)不是f(x)的极值,(0,f(0))也不是曲线y?f(x)的拐点
(3)设an?0(n?1,2,?),且??a??n收敛,常数??(0,),则级数?(?1)n(ntan?)a2n n?12n?1n(A)绝对收敛 (B)条件收敛 (C)发散
(D)散敛性与?有关
(4)设有f(x)连续的导数,f(0)?0,f?(0)?0,F(x)??x(x2?t2)f(t)dt,且当x?0时,F?(x)与xk0是同阶无
穷小,则k等于
(A)1 (B)2 (C)3
(D)4
a100b1(5)四阶行列式
0a2b200a3b30的值等于 b400a4(A)a1a2a3a4?b1b2b3b4
(B)a1a2a3a4?b1b2b3b4 (C)(a1a2?bb12)(a3a4?b3b4)
(D)(a2a3?b2b3)(a1a4?bb14)
三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分) (1)求心形线r?a(1?cos?)的全长,其中a?0是常数.
(2)设x1?10,xn?1?6?xn(n?1,2,?),试证数列{xn}极限存在,并求此极限.
四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分)
(1)计算曲面积分
??(2x?z)dydz?zdxdy,其中S为有向曲面z?x2?y2(0?x?1),其法向量与z轴正向的夹S角为锐角. u?x?2y2
(2)设变换v?x?ay可把方程6?2z?2z?x2??x?y??z?2z?y2?0简化为?u?v?0,求常数a.