五、(本题满分8分)
将函数f(x)?2?x(?1?x?1)展开成以2为周期的傅里叶级数,并由此求级数??12的和. n?1n 六、（本题满分7分）
设函数f(x)在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且3?12f(x)dx?f(0),证明在(0,1)内存在一点c,使f?(c)?0.3 七、（本题满分8分）
已知α1?(1,0,2,3),α2?(1,1,3,5),α3?(1,?1,a?2,1),α4?(1,2,4,a?8)及β?(1,1,b?3,5). (1)a、b为何值时,β不能表示成α1,α2,α3,α4的线性组合?
(2)a、b为何值时,β有α1,α2,α3,α4的唯一的线性表示式?写出该表示式
.
八、（本题满分6分）
设A是n阶正定阵,E是n阶单位阵,证明A?E的行列式大于1.
九、（本题满分8分）
在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点P(x,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x轴平行.
十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)
(1)若随机变量X服从均值为2、方差为?2
的正态分布,且P{2?X?4}?0.3,则P{X?0}=____________. (2)随机地向半圆0?y?2ax?x2(a为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,
则原点和该点的连线与x轴的夹角小于
?4的概率为____________.
十一、（本题满分6分）
设二维随机变量(X,Y)的密度函数为
f(x,y)?2e?(x?2y) x?0,y?00 其它
求随机变量Z?X?2Y的分布函数.
1992年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(1)设函数y?y(x)由方程ex?y?cos(xy)?0确定,则
dydx=_____________.
(2)函数u?ln(x2?y2?z2)在点M(1,2,?2)处的梯度graduM=_____________.
(3)设f(x)??1???x?01?x20?x??,则其以2?为周期的傅里叶级数在点x??处收敛于_____________.
(4)微分方程y??ytanx?cosx的通解为y=_____________.
?
?a1b1a1b2?a1bn?(5)设A??a2b1a2b?1?a2bn??????,其中ai?0,bi?0,(i?1,2,?,n).则矩阵A的秩r(A)=_____________.
???anb1a?a?nb2nbn?
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前
的字母填在题后的括号内)
x2(1)当x?1时,函数
?11x?1ex?1的极限 (A)等于2 (B)等于0
(C)为?
(D)不存在但不为?
?(2)级数
?(?1)n(1?cosa)(常数a?0) n?1n(A)发散
(B)条件收敛
(C)绝对收敛
(D)收敛性与a有关
(3)在曲线x?t,y??t2,z?t3的所有切线中,与平面x?2y?z?4平行的切线 (A)只有1条 (B)只有2条 (C)至少有3条
(D)不存在
(4)设f(x)?3x3?x2x,则使f(n)(0)存在的最高阶数n为
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
?(5)要使ξ?1??0??0??,ξ??1?2??1?都是线性方程组AX?0的解,只要系数矩阵A?为
?2?????1??(A)??212?
(B)??20?1??011?? ?01?1?(C)???102??01?1??
(D)??4?2?2??
??011??
三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分) (1)求limex?sinx?1x?01?1?x2.
(2)设z?f(exsiny,x2?y2),其中f具有二阶连续偏导数,求
?2z?x?y.
(3)设f(x)?1?x2x?03e?xx?0,求?1f(x?2)dx.
四、(本题满分6分) 求微分方程y???2y??3y?e?3x的通解.
五、(本题满分8分) 计算曲面积分
??(x3?az2)dydz?(y3?ax2)dzdx?(z3?ay2)dxdy,其中?为上半球面z?a2?x2?y2的
?上侧.
六、（本题满分7分）
设f??(x)?0,f(0)?0,证明对任何x1?0,x2?0,有f(x1?x2)?f(x1)?f(x2).
七、（本题满分8分）
????x2y2z2在变力F?yzi?zxj?xyk的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面a2?b2?c2?1上第一卦限的点
M(?,?,?),问当?、?、?取何值时,力F?所做的功W最大?并求出W的最大值.
八、（本题满分7分）
设向量组α1,α2,α3线性相关,向量组α2,α3,α4线性无关,问: (1)α1能否由α2,α3线性表出?证明你的结论.
(2)α4能否由α1,α2,α3线性表出?证明你的结论.
九、（本题满分7分）
设3阶矩阵A的特征值为?1?1,?2?2,?3?3,对应的特征向量依次为
?1??1ξ?1??,ξ?????1????1??1??2??2?,ξ3??3?,又向量β??????4????9??2???3?.
?1??(1)将β用ξ1,ξ2,ξ3线性表出. (2)求Anβ(n为自然数).
十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上) (1)已知P(A)?P(B)?P(C)?14,P(AB)?0,P(AC)?P(BC)?16,则事件A、B、C全不发生的概率为____________.
(2)设随机变量X服从参数为1的指数分布,则数学期望E{X?e?2X}=____________.
十一、（本题满分6分）
设随机变量X与Y独立,X服从正态分布N(?,?2),Y服从[??,?]上的均匀分布,试求Z?X?Y的概率分布
t2密度(计算结果用标准正态分布函数?表示,其中?(x)?122??x??e?dt).
1993年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)函数F(x)??x1(2?1t)dt(x?0)的单调减少区间为_____________.
2(2)由曲线
3x?2y2?12z?0绕y轴旋转一周得到的旋转面在点(0,3,2)处的指向外侧的单位法向量为_____________.
(3)设函数f(x)??x?x2(???x??)的傅里叶级数展开式为
a02???(ancosnx?bnsinnx),则其中系数b3的n?1值为_____________.
(4)设数量场u?lnx2?y2?z2,则div(gradu)=_____________.
(5)设n阶矩阵A的各行元素之和均为零,且A的秩为n?1,则线性方程组AX?0的通解为_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设f(x)??sinx2340sin(t)dt,g(x)?x?x,则当x?0时,f(x)是g(x)的
(A)等价无穷小 (B)同价但非等价的无穷小 (C)高阶无穷小
(D)低价无穷小
(2)双纽线(x2?y2)2?x2?y2所围成的区域面积可用定积分表示为
??(A)2?40cos2?d? (B)4?40cos2?d?
??(C)2?4cos2?d?
(D)102?40(cos2?)2d?
(3)设有直线lx?11?y?5?2?z?81与l?61:x?y2:2y?z?3则l1与l2的夹角为
(A)?6
(B)?4
(C)
?3
(D)
?2 (4)设曲线积分
?L[f(t)?ex]sinydx?f(x)cosydy与路径无关,其中f(x)具有一阶连续导数,且f(0)?0,则f(x)等于
e?x?exx(A)2
(B)e?e?x2
ex?e?x(C)
2?1
ex?e?x(D)1?2
?(5)已知Q??123??24t??,P为三阶非零矩阵,且满足PQ?0,则
??369??(A)t?6时P的秩必为1
(B)t?6时P的秩必为2 (C)t?6时P的秩必为1
(D)t?6时P的秩必为2
三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分) (1)求lim(sin2x??x?cos1x)x.
(2)求?xexex?1dx.
(3)求微分方程x2y??xy?y2,满足初始条件yx?1?1的特解.
四、(本题满分6分) 计算???2xzdydz?yzdzdx?z2dxdy,其中?是由曲面z?x2?y2与z?2?x2?y2所围立体的表面外侧.
?
五、(本题满分7分)
?(?1)n求级数?(n2?n?1)n的和. n?02
六、(本题共2小题,每小题5分,满分10分) (1)设在[0,??)上函数f(x)有连续导数,且f?(x)?k?0,f(0)?0,证明f(x)在(0,??)内有且仅有一个零点.
(2)设b?a?e,证明ab?ba.
七、（本题满分8分）
已知二次型f(x2222221,x2,x3)?2x1?3x2?3x3?2ax2x3(a?0)通过正交变换化成标准形f?y1?2y2?5y3,求参数a及所用的正交变换矩阵. 八、（本题满分6分）
设A是n?m矩阵,B是m?n矩阵,其中n?m,I是n阶单位矩阵,若AB?I,证明B的列向量组线性无关.
九、（本题满分6分）
设物体A从点(0,1)出发,以速度大小为常数v沿y轴正向运动.物体B从点(?1,0)与A同时出发,其速度大小为2v,方向始终指向A,试建立物体B的运动轨迹所满足的微分方程,并写出初始条件.
十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)
(1)一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为____________.
(2)设随机变量X服从(0,2)上的均匀分布,则随机变量Y?X2在(0,4)内的概率分布密度fY(y)=____________.
十一、（本题满分6分）
设随机变量X的概率分布密度为f(x)?12e?x,???x???. (1)求X的数学期望EX和方差DX.
(2)求X与X的协方差,并问X与X是否不相关? (3)问X与X是否相互独立?为什么?