分析： （1）由于点A（8，1）、B（n，8）都在反比例函数y=的图象上，根据反比例函数的意义求出m，n，再由待定系数法求出直线AB的解析式； （2）①由题意知：OP=2t，OQ=t，由三角形的面积公式可求出解析式； ②通过三角形相似，用t的代数式表示出O′的坐标，根据反比例函数的意义可求出t值． 解答： 解：（1）∵点A（8，1）、B（n，8）都在反比例函数y=的图象上， ∴m=8×1=8， ∴y=， ∴8=，即n=1， 设AB的解析式为y=kx+b， 把（8，1）、B（1，8）代入上式得： ， 解得：． ∴直线AB的解析式为y=﹣x+9； （2）①由题意知：OP=2t，OQ=t， 当P在OD上运动时， S===t（0＜t≤4）， 2当P在DB上运动时， S==t×8=4t（4＜t≤4.5）； ②存在， 作PE⊥y轴，O′F⊥x轴于F，交PE于E， 则∠E=90°，PO′=PO=2t，QO′=QO=t， 由题意知：∠PO′Q=∠POQ=90°﹣∠PO′E， ∠EPO′=90′﹣∠PO′E ∴△PEO′∽△O′FQ， ∴==， 设QF=b，O′F=a， 则PE=OF=t+b，OE=2t﹣a， ∴解得：a=， ，b=， ∴O′（t，t）， 当Q′在反比例函数的图象上时， ， 解得：t=±， ∵反比例函数的图形在第一象限， ∴t＞0， ∴t=． 当t=个长度单位时，Q′恰好落在反比例函数的图象上． 点评： 本题主要考查了反比例函数的意义，利用图象和待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，熟练掌握反比例函数的意义和能数形结合是解决问题的关键． 27．（9分）（2015?济南）如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠EAC=90°，点M为射线AE上任意一点（不与A重合），连接CM，将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90°得到线段CN，直线NB分别交直线CM、射线AE于点F、D． （1）直接写出∠NDE的度数；
（2）如图2、图3，当∠EAC为锐角或钝角时，其他条件不变，（1）中的结论是否发生变化？如果不变，选取其中一种情况加以证明；如果变化，请说明理由；
（3）如图4，若∠EAC=15°，∠ACM=60°，直线CM与AB交于G，BD=
，其他条件不变，求线段AM的长．
考点： 分析： 几何变换综合题． （1）根据题意证明△MAC≌△NBC即可； （2）与（1）的证明方法相似，证明△MAC≌△NBC即可； （3）作GK⊥BC于K，证明AM=AG，根据△MAC≌△NBC，得到∠BDA=90°，根据直角三角形的性质和已知条件求出AG的长，得到答案． 解：（1）∵∠ACB=90°，∠MCN=90°， ∴∠ACM=∠BCN， 在△MAC和△NBC中， 解答： ， ∴△MAC≌△NBC， ∴∠NBC=∠MAC=90°， 又∵∠ACB=90°，∠EAC=90°， ∴∠NDE=90°； （2）不变， 在△MAC≌△NBC中， ， ∴△MAC≌△NBC， ∴∠N=∠AMC， 又∵∠MFD=∠NFC， ∠MDF=∠FCN=90°，即∠NDE=90°； （3）作GK⊥BC于K， ∵∠EAC=15°， ∴∠BAD=30°， ∵∠ACM=60°， ∴∠GCB=30°， ∴∠AGC=∠ABC+∠GCB=75°， ∠AMG=75°， ∴AM=AG， ∵△MAC≌△NBC， ∴∠MAC=∠NBC， ∴∠BDA=∠BCA=90°， ∵BD=， ∴AB=+， AC=BC=+1， 设BK=a，则GK=a，CK=∴a+a=+1， ∴a=1， ∴KB=KG=1，BG=， AG=， ∴AM=． a， 点评： 本题考查的是矩形的判定和性质以及三角形全等的判定和性质，正确作出辅助线、利用方程的思想是解题的关键，注意旋转的性质的灵活运用． 2
28．（9分）（2015?济南）抛物线y=ax+bx+4（a≠0）过点A（1，﹣1），B（5，﹣1），与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，连接CB，以CB为边作?CBPQ，若点P在直线BC上方的抛物线上，Q为坐标平面内的一点，且?CBPQ的面积为30，求点P的坐标；
（3）如图2，⊙O1过点A、B、C三点，AE为直径，点M为交于N，求线段BN长度的最大值．
上的一动点（不与点A，E重合），∠MBN为直角，边BN与ME的延长线
考点： 分析： 二次函数综合题． （1）将点A、B的坐标代入抛物线的解析式，得到关于a、b的方程，从而可求得a、b的值； （2）设点P的坐标为P（m，m﹣6m+4），由平行四边形的面积为30可知S△CBP=15，由S△CBP=S梯形CEDP﹣S△CEB﹣S△PBD，得到关于m的方程求得m的值，从而可求得点P的坐标； （3）首先证明△EAB∽△NMB，从而可得到NB=解答： 解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线的解析式得：， ，当MB为圆的直径时，NB有最大值． 2解得：． 2∴抛物线得解析式为y=x﹣6x+4． （2）如图所示： 2设点P的坐标为P（m，m﹣6m+4） ∵平行四边形的面积为30， ∴S△CBP=15，即：S△CBP=S梯形CEDP﹣S△CEB﹣S△PBD． ∴m（5+m﹣6m+4+1）﹣×5×5﹣（m﹣5）（m﹣6m+5）=15． 化简得：m﹣5m﹣6=0， 解得：m=6，或m=﹣1． ∵m＞0 ∴点P的坐标为（6，4）． （3）连接AB、EB． 222 ∵AE是圆的直径， ∴∠ABE=90°． ∴∠ABE=∠MBN． 又∵∠EAB=∠EMB， ∴△EAB∽△NMB． ∵A（1，﹣1），B（5，﹣1）， ∴点O1的横坐标为3， 将x=0代入抛物线的解析式得：y=4， ∴点C的坐标为（0，4）． 设点O1的坐标为（3，m）， ∵O1C=O1A， ∴解得：m=2， ∴点O1的坐标为（3，2）， ∴O1A=， ， 在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE=∴点E的坐标为（5，5）． ∴AB=4，BE=6． ∵△EAB∽△NMB， ∴∴∴NB=． ． ． ==6， ∴当MB为直径时，MB最大，此时NB最大． ∴MB=AE=2， ∴NB=点评： =3． 本题主要考查的是二次函数的综合应用，利用两点间的距离公式求得圆的半径是解题的关键．