（A）y?2cos(πt?πx?π)；（B）y?2cos(πt?πx?π)；
22022202πππ（C）y?2sin(πt?πx?π)；（D）y?2sin(t?x?)。
220222022??????解：(B)由图可知T?4s,x?0处质点振动方程y0?Acos?t??0??2cos?t?? ?2??T??2O??A(0)x=0处质点在t=0 时振幅矢量.
?2y?x?????x????x?? ??波的表达式y?2cos????t??t???2cos??t?t??2cost???????2??22u2102202????????????2．一个平面简谐波沿x轴正方向传播，波速为u?160m/s，t?0时刻的波形图如图所示，则该波的表达式(SI制)为 ( C )
?y(m)u（A）y?3cos(40πt?πx?π)；（B）y?3cos(40πt?πx?π)；
34242oππππ8x(m)4（C）y?3cos(40πt?x?)；（D）y?3cos(40πt?x?)。
4242?3解:(C)由图可知??8m,u?160m/s,??u/??20(1/s),??2???40?(1/s) O设x?0处质点振动方程为y0?Acos?40?t??0?,?t?0时x?0处质点位移为
???零且向y轴正向运动, 作旋转矢量图知?0??,y0?3cos??40?t??
22??x?????? ?波的表达式y?3cos?40??t???3cos40?t?x?????????A(0)x=0处质点在t=0 时振幅矢量.
?2y42??160?2????
3. 一平面简谐波以速度u沿x轴正方向传播，在t = t＇时波形曲线如图所示．则坐标原点O的振动方程y u 为 ( D ) a u?(A) y?acos[(t?t?)?]；(B) y?acos[2?u(t?t?)??]； O x b2b2u?u?b (C) y?acos[?(t?t?)?]；(D) y?acos[?(t?t?)?]。
b2b2解:(D) 由图可知??2b,??v/??v/2b,??2????v/b
?t?t?时x?0处质点位移为零且向y轴正向运动,?cos?0?0,?sin?0?0,?0???/2
4. 一个平面简谐波在弹性媒质中传播，媒质质元从最大位移处回到平衡位置的过程中 ( C )
（A）它的势能转化成动能； （B）它的动能转化成势能； （C）它从相邻的媒质质元获得能量，其能量逐渐增加；
（D）把自己的能量传给相邻的媒质质元，其能量逐渐减小。
解：(C)质元的动能dEk?v2,势能dEP???y/?x?2,质元由最大位移处回到平衡位置过程中,v和?y/?x由
0?到最大值.
5．一平面简谐波在弹性媒质中传播时，在传播方向上某质元在某一时刻处于最大位移处，则它的 ( B )
（A）动能为零，势能最大； （B）动能为零，势能也为零； （C）动能最大，势能也最大；（D）动能最大，势能为零。 解：(B)质元的动能dEk?v2,势能dEP???y/?x?2,质元在最大位移处,v和?y/?x均为0.
6．频率为 100 Hz，传播速度为300 m/s的平面简谐波，波线上距离小于波长的两点振动的相位差为π/3，则此两点相距 ( C ) (A) 2.86 m； (B) 2.19 m； (C) 0.5 m； (D) 0.25 m。
解:(C) 波长??u/??300/100?3m,??2?,x???，3/x?2?/(?/3),x?0.5m 7．在同一媒质中两列频率相同的平面简谐波强度之比是I1:I2?4，则两列波的振幅之比A1:A2为 （A）4； （B）2； （C）16； （D）0.25。 ( B )
21IA2211解：(B)波强I??A?u,??4 22I2A28．在下面几种说法中，正确的是： ( C )
（A）波源不动时，波源的振动周期与波动的周期在数值上是不同的； （B）波源振动的速度与波速相同；
（C）在波传播方向上，任一质点的振动位相总是比波源的位相滞后； （D）在波传播方向上，任一质点的振动位相总是比波源的位相超前。
21
解：(C)在波传播方向上,任一质点的振动位相总是比波源的位相滞后 二、填空题
1． 产生机械波的必要条件是 和 。解：波源,介质.
2． 一平面简谐波的周期为2.0s，在波的传播路径上有相距为2.0cm的M、N两点，如果N点的位相比
π，那么该波的波长为 ，波速为 。 62?2?解：??2?,x???， ??2?,???x??2?24cm,u??/T?12cm/s ???/6?x??M点位相落后
3． 我们 （填能或不能）利用提高频率的方法来提高波在媒质中的传播速度。
解：不能.波速由媒质的性质决定. 4． 处于原点（x?0）的一波源所发出的平面简谐波的波动方程为y?Acos(Bt?Cx)，其中A、B、C皆为常数。此波的速度为 ；波的周期为 ；波长为 ；离波源距离为l处的质元振动相位比波源落后 ；此质元的初相位为 。 解：y?Acos(Bt?Cx)?AcosB(t???uT?2?/C,??/2?xx)?Acos?(t?),u?B/C,T?2?/??2?/B, B/cu?l/?,???2?l/??Cl,初相?Cl
xπ)?]，则x?L1处质点的振动方程u4为 ，x??L2处质点的振动和x?L1处质点的振动的位相差为?2??1? 。
5． 一平面简谐波沿x轴正向传播，波动方程为y?Acos[?(t?解：波方程中x用特定值表示后即表示特定质点振动方程y1?Acos[?(t?L1?)?]?Acos?1 u4y2?Acos[?(t?L2??(L2?L1) )?]?Acos?2,?2??1?u4u6．一平面简谐波（机械波）沿x轴正方向传播，波动表达式为y?0.2cos(?t?处媒质质点的振动加速度a的表达式为____________________________。
1?x)(SI制)，则x = -3 m23?2y122,a??0.2?cos(πt?π)??0.2?2sinπt ??0.2?cos(πt?πx)x??322?t2三、计算题
1．一平面简谐波，振动周期T?0.5s，波长? = 10m，振幅A = 0.1m。当 t = 0时，波源振动的位移恰好为正方向的最大值。若坐标原点和波源重合，且波沿x轴正方向传播，求：(1)波源的振动表达式；(2)简谐波的波动表达式；(3) x1 = ? /4处质点，在t2 = T /2时刻的位移和振动速度。 解:由题意可知??2?/T?4?(1/s),u??/T?10/0.5?20m/s
(1) 设波源的振动表达式为y?0.1cos(4?t??0),?t?0,y0?0.1m,?0.1?0.1cos?0,?0?0,y?0.1cos4?t (2) 波动表达式y?0.1cos4?(t?x/20)(SI制)
解：a?(3) 将x1?2.5m,t2?0.25s代入波动表达式得:y?0.1cos4?(0.25?2.5/20)?0.1cos0.5??0 振动速度v??y/?t??0.4?sin4?(t?x/20)
将x1?2.5m,t2?0.25s代入,v??0.4?sin4?(0.25?2.5/20)??0.4?sin0.5???0.4?(m/s)
2．一振幅为0.1m，波长为2 m的平面简谐波。沿x轴正向传播，波速为1m/s。t = 2s时，x=1m处的质点处于平衡位置且向正方向运动。求：(1)原点处质点的振动表达式；(2)波的表达式；(3)在x = 1.5m处质点的振动表达式.
u
解:由题意可知A?0.1m,??2m,u?1m/s, p p0 O 1m x T??/u?2(s),??2?/T??(1/s) x (2)设x=1m处的质点振动表达式y1?Acos(?t??0)?0.1cos(?t??0)
因为t = 2s时，该质点处于平衡位置且向正方向运动
所以0.1cos(2???0)?0,?0.1?sin(2???0)?0,?0???/2,y1?0.1cos(?t??/2)
?x?1??????波的表达式为y?0.1cos????t?????0.1cos???t?x???(SI制)
1?2?2?????t??/2)(SI制) (1) 令x?0得,y?0.1cos((3) 令x?1.5m得,y?0.1cos???t?1.5???/2??0.1cos(?t??)(SI制)
22
b?u5ma3． 一平面简谐波在介质中以速度u?20m/s沿x轴负方向传播，如图所示。已知a点的振动表式为
。 ya?3cos4πt（SI制）
（1）以a为坐标原点写出波动表达式。
（2）以距a点5m处的b点为坐标原点，写出波动表达式。
xx?x解:(1)y?3cos4?(t?)?3cos4?(t?)?3cos(4?t?)(SI制) b p u a
20205O (2)y?3cos[4?(t?5?x)]?3cos(4?t??x??)(SI制)
x 205b p u a 4．某质点作简谐振动，周期为2 s，振幅为0.06 m，t = 0 时刻，质点的位移为
0.03 m,且向正方向运动，求:(1) 该质点的振动表达式；(2) 此振动以速度u=2m/sO x 沿x轴负方向传播时，波的表达式； (3) 该波的波长。
解:(1) 由题意可知A?0.06m,??2?/T??(1/s),
设振动表达式为 y?0.06cos(?t??0),
x x ? t = 0 时刻，质点的位移为0.03 m,且向正方向运动,?cos?0?0.5,?sin?0?0,?0???/3
y?0.06cos(?t??/3)
(2) 波的表达式y?0.06cos[?(t?x/2)??/3]?0.06cos[?(t?x/2)??/3](SI制) (3) 波长??uT?4m
5．一列沿x正向传播的简谐波，已知t1?0和t2?0.25s时的波形
y(m)0.2P如图所示。（假设周期T?0.25s）试求 o（1）P点的振动表达式；（2）此波的波动表式；
?0.2（3）写出o点振动方程并画出o点的振动曲线。
解:由图可知
T?4?0.25?1s,??0.6m,v??/T?0.6m/s,??2?/T?2?(1/s) (1)P点振动表达式yP?Acos(?t??P0)?0.2cos(2?t??/2)(SI制)
t1?0x(m)0.45mt2?0.25sy(m)x?0.3?x?(2) 波动表式y?0.2cos[2?(t?)?]?0.2cos[2?(t?)?](SI制) 0.620.62(3)O点振动方程yO?0.2cos(2?t?Ot(s)?2)(SI制)
?3
2
6．一平面简谐声波，沿直径为0.14m的圆柱形管行进，波的强度为9.0?10W/m，频率为300Hz，波速
为300m/s。问：（1）波的平均能量密度和最大能量密度是多少？（2）每两个相邻的、相位差为2π的同相面间有多少能量？
122?5?3?A?u?wu,w?I/u?9.0?10?3/300?3.0?10?5J?m?3,wmax?2w?6.0?10J?m 21(2)V?s?,,w?wV??d2?w?4.62?10?7J
4解(1)I? 练习 十五 知识点：波的干涉、驻波、多普勒效应 一、选择题
1．如图所示，两列波长为? 的相干波在P点相遇．波在S1点振动的初相是??1，S1到P点的距离是r1；波在S2点的初相是??2，S2到P点的距离是r2，以k代表零或正、负整数，则P点是干涉极大的条件为： ( )
(A) r2?r1?k?； (B) ?2??1?2k?；
(C)
S1S2r1r2P
?2??1?2?(r2?r1)/??2k?； (D) ?2??1?2π(r1?r2)/??2kπ。
r??r??解:(D) y1p?A1cos?2?(t?1)??1??A1cos?1,y2p?A2cos?2?(t?2)??2??A2cos?2
uu????r?rr?r????2??1??2??1?2?21??2??1?2?12?2k?
??2．两个相干波源的相位相同，它们发出的波叠加后，在下列哪条线上总是加强的？ ( )
（A）两波源连线的垂直平分线上； （B）以两波源连线为直径的圆周上； （C）以两波源为焦点的任意一条椭圆上；（D）以两波源为焦点的任意一条双曲线上。
23
解: (A)????20??10?2?r2?r1?3．平面简谐波x?4sin(5πt?3πy)与下面哪列波干涉可形成驻波？ ( )
（A）y?4sin2π(2.5t?1.5x)； （B）y?4sin2π(2.5t?1.5x)； （C）x?4sin2π(2.5t?1.5y)； （D）x?4sin2π(2.5t?1.5y)。
解:(D)波方程x?4sin(5?t?3?y)中,x为各质点相对平衡位置的位移,y为质点平衡位置的坐标.
4．在驻波中，两个相邻波节间各质点的振动 ( ) (A) 振幅相同，相位相同； (B) 振幅不同，相位相同；
(C) 振幅相同，相位不同； (D) 振幅不同，相位不同。 解: (B) 相邻波节间各质点的振动振幅不同，相位相同。
5. 在波长为? 的驻波中，两个相邻波腹之间的距离为 ( ) (A) ??/4； (B) ??/2； (C) 3??/4； (D) ??。 解: (B) 两个相邻波腹（波节）之间的距离为??/2。
6?. 一机车汽笛频率为750 Hz，机车以时速90公里远离静止的观察者．观察者听到的声音的频率是（设空气中声速为340 m/s）． ( ) (A) 810 Hz； (B) 699 Hz； (C) 805 Hz； (D) 695 Hz。 解: (B)???,对相干波源,?20??10,在垂直平线上r2?r1,???0.
u?uu340?????750?699Hz ??(u?u源）Tu?u源340?257?. 设声波在媒质中的传播速度为u，声源的频率为vS，若声源S不动，而接收器R相对于媒质以速度?R沿S、R连线向着声源S运动，则接收器R接收到的信号频率为： ( )
uu??Ru??RvS。 vS； （C）vS； （D）
u??Ruuu?u?v观u?v观解: (B)观察者收到的信号频率=测得的波速与波长的比值??????
??uTu（A）vS； （B）
二、填空题
1．设S1和S2为两相干波源，相距0.25?，S1的相位比S2的相位超前0.5?。若两波在S1与S2连线方向上的强度相同均为I0，且不随距离变化。则S1与S2连线上在S1外侧各点合成波的强度为＿＿＿＿＿，在S2外侧各点合成波的强度为_______________。
r?r0.25?解: S1外侧????20??10?2?21??0.5??2????,波的强度为零
2．简谐驻波中，在同一个波节两侧距该波节的距离相同的两个媒质元的振动相位差为________。解: ?
?23． 一驻波表式为y?4?10cos2πxcos400t（SI制），在x?1/6(m)处的一质元的振幅为 ，振动速度的表式为 。
解: A?4?10?2cos?2??1/6??2?10?2m,x?1/6m处质点振动方程为y?2?10?2cos400t,质点速度的表式v??8sin400t(SI制).
4． （a）一列平面简谐波沿x正方向传播，波长为?。若在x?0.5?处质点的振动方程为y?Acos?t，则该平面简谐波的表式为 。
（b）如果在上述波的波线上x?L（L?0.5?）处放一垂直波线的波密介质反射面，且假设反射波的振幅衰减为A?，则反射波的表式为 （x?L）。 解: (a)y?Acos??t??r?r?0.25?S2外侧????20??10?2?21??0.5??2??0，波的强度为4I0
???x??/2?? u??x???2?x????Acos??t????? ??Acos??t?u2u???????x ?/2 P x ?L??/2L?x?2?x4?L???????Acos????t??
uu??????5．一驻波方程为y?Acos2πxcos100πt(SI制)，位于x1?3/8m的质元与位于x2?5/8m处的质元的振
(b)y?A?cos???t?????动位相差为 。
24
解: yx1?Acos3?2cos100?t??Acos100?t, 425?2cos100?t??Acos100?t；位相差为0 x282?
6. 一汽笛发出频率为700Hz的声音，并且以15m/s的速度接近悬崖。由正前方反射回来的声波的波长为（已知空气中的声速为330m/s） 。 解:???(u?u源）T?(u?u源）/??315/700?0.45m
y?Acos三、计算题
1．波速为u?0.20m?s?1的两列平面简谐相干波在P点处相遇，两个波源S1和S2的振动表式分别为
。已知PS1?0.40m，PS2?0.50m，求： y10?0.1cos2?t（SI制）和y20?0.1cos(2?t?π)（SI制）
（1）两列波的波函数；（2）两列波传播到P点的位相差；（3）干涉后P点的振动是加强还是减弱，以及P
点合振幅。
解:（1）设r1为空间某点到波源S1的距离, r2为空间某点到波源S1的距离,则
， y1?0.1cos2?(t?r1/0.2)?0.1cos(2?t?10?r1)（SI制）
y2?0.1cos[2?(t?r2/0.2)??]?0.1cos(2?t?10?r2??)（SI制） （2）在两波相遇处????20??10?2?r2?r1（3）???0,P点的振动加强，合振幅为0.2m 2. 在弹性媒质中有一沿x轴正向传播的平面波，其表达式为y?0.01cos(4t?πx?π/2) (SI制)。若在x = 5.00 m处发生固定端反射，设反射波的强度不变，试写出反射波的表达式。 解: 入射波引起分界面处质点的振动方程
y?0.01cos(4t?5π?π/2)?0.01cos(4t?5.5π)
设反射波的表达式为y?0.01cos(4t?πx??0)
反射波引起分界面处质点的振动方程y?0.01cos(4t?5???0),反射波比入射波在分界面处引起质点的分振动相位落后?
4t?5???0?(4t?5.5?)??? ?0??11.5?
????2?0.50?0.40?0
0.2y?0.01cos(4t?πx?11.5?)?0.01cos(4t?πx??/2)
xt3．设入射波的表达式为 y1?Acos2?(?)，在x = 0处发生反射，反射点为一固定端。设反射时无
?T能量损失，求：(1) 反射波的表达式；(2) 合成的驻波的表达式；(3) 波腹和波节的位置。 解: （1）入射波引起分界面处(x=0)质点的振动方程y10?Acos2πt/T
反射波比入射波在x=0处引起质点的分振动相位落后? 反射波引起x=0处质点的振动方程y20?Acos?2πt/T???
??tx??????
??T???x???t???（2）y?y1?y2?2Acos?2???cos?2???
??2??T2?s2π?反射波的表达式为 y2?Aco?（3）波节x?k??2k?0,1,2?；波腹x?(2k?1)?4k?0,1,2?
4?． 一声源的频率为1080Hz，相对于地以30m/s的速率向右运动。在其右方有一反射面相对于地以
65m/s的速率向左运动。设空气中的声速为331m/s。求
（1）声源前方空气中声波的波长； （2）每秒钟到达反射面的波数； （3）反射波的速率。
/??301/1080?0.279m 解:（1）???(u?u源）T?(u?u源） （2）???u?v观u?331?65???1080?1421Hz ??(u?v源)T331?30 （3）反射波的速率为331m/s。 5?． 如图所示，试计算：
25