北京市第五届“京研杯”教育教学研究成果征文
题目：二项式定理中系数的探究
作者：金永涛 王 丽 区县：海淀区
单位名称：北京市第十九中学 手机：18611356669
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二项式定理中系数的探究
——问渠那得清如许，为有源头活水来
100089 北京市第十九中学 金永涛 王 丽
二项式定理的教学是数学原理教学，不仅要学生理解和掌握这一数学原理，而且要使学生理解该原理所蕴涵的数学方法，并在学习和应用这一原理的过程中发展自己的数学认知结构，形成自己的数学思想方法。数学教材为了叙述上的简洁，在表述数学成果时，有时不会详细叙述数学的发现过程，这就容易使学生的学习偏向于记忆而忽略理解，偏向于接受而忽视发现，使学生逐渐失去探究能力和创造意识。为了培养学生的数学思维能力，提高学生的自主探究能力，教师在数学原理教学中应精心设计，让学生亲历数学原理的形成与发展的过程，在获得原理的同时培养了学生的自主探究能力。下面以人民教育出版高中数学选修2-3教材中《1.3二项式定理》为例，谈谈自己具体的做法。
1．教学内容的定位
“二项式定理”是初中多项式乘法的继续，更是高中阶段重要的数学定理——起着承上启下的作用。其形成过程是对组合知识的应用，同时也是为后继课程打下铺垫。在应用二项式定理解决相关问题时，展开式中的二项式系数与项的系数的确定是解题的关键。
2．教学目标
(1)通过亲历二项式定理的形成过程，掌握二项式系数、展开式中项的系数的规律。使学生能够应用二项式定理解决与系数相关的问题。
(2)在应用二项式定理的探究过程中，培养学生分析问题、解决问题的能力，挖掘学生自主探究的意识和能力。
(3)通过学生自主探究的过程，使学生体会到数学内在的辩证统一。 3．教学重点
让学生切实参与应用二项式定理解决问题的探究过程。辨析二项式系数与项的系数，能够应用二项式定理对所给出的二项式进行合理展开。
4．教学过程 (1)导入
二项式定理
0n1n?12n?22rn?rrnn(a?b)n?Cna?Cnab?Cnab?????Cnab?????Cnb
rn?rr其中，Tr?1?Cnab(r?0,1,2,???,n)为二项展开式的通项。
①在二项展开式中，a?R，b?R，即a、b取任意的实数，二项展开式仍成立。若令a?b?1，则
012rnCn?Cn?Cn?????Cn?????Cn?2n
该式还可解释含n个元素的集合所有子集的个数问题，等式左边按分类计数原理考虑，等式右边是按分步计数原理解释。由此，巩固加深对计数原理的理解。
012345若令a?1，b??1，则Cn?Cn?Cn?Cn?Cn?Cn?????(1?1)n?0， 024135移项，得： Cn?Cn?Cn?????Cn?Cn?Cn?????2n?1
②二项式展开式中，二项式系数与项的系数的辨析 例：二项式(1?2x)7的展开式中，a?1，b?2x。
rr二项式系数为Cn(r?0,1,2,???,n)，而各项的系数为Cn?2r(r?0,1,2,???,n)。
导入是一节课的开始，这就要求教师创设一系列恰当的情景，诱发学生思维，把学生引导到教学过程中所需的正确思维上来，也是对二项式定理认识的逐步加深。在此过程中不仅巩固了已有的知识与方法，也为下面的探究活动做好了铺垫。 （2）探究
例1：已知(3?2x)7?a0?a1x?a2x2?????a7x7，分别求下列各式的值： （I）a0、a4的值；
（II）a0?a1?a2?????a7的值；
（III）a0?a2?a4?a6与a1?a3?a5?a7的值。
（I）分析：ai(i?0,1,2,???,7)是xi项的系数，而非二项式系数。
04解：a0?C7?37?37?2187；a4?C7?37?4?24?15120
（II）分析：求解二项式系数的和，对a、b分别进行了赋值。那求各项的系数和呢？
解：令x?1，得：a0?a1?a2?????a7?(3?2?1)7?57?71825
（III）分析：类比奇数项、偶数项的二项式系数和的推导方法——赋值分离。 解：分别令x?1，x??1，得：
?a0?a1?a2?a3?a4?a5?a6?a7?71825 ?a?a?a?a?a?a?a?a?11234567?0得：a0?a2?a4?a6?71825?1?39063；a1?a3?a5?a7?39062。 2例1的变式：探究[3?2(x?1)]7展开式 （I）原式化简[3?2(x?1)]7
[3?2(x?1)]7?(1?2x)7
（II）[3?2(x?1)]7展开式
记：[3?2(x?1)]7?a0?a1(x?1)?a2(x?1)2?????a7(x?1)7
（III）(1?2x)7展开式
记：(1?2x)7?b0?b1x?b2x?????bnxn
（IV）由（1）、（2）、（3）可知，
a0?a1(x?1)?a2(x?1)2?????a7(x?1)7?b0?b1x?b2x?????bnxn 即，通过恰当的构造，二项式可以有多种不同的展开式形式。再例如：
(1?2x)7?[7?2(x?3)]7?c0?c1(x?3)?c2(x?3)2?????c7(x?3)7等。
r（V）探究该展开式中，二项式系数Cn、与系数ar、br(r?0,1,2,???,7)间的
关系
rrrar?C7?37?r?2r，br?C7?17?r?2r?C7?2r(r?0,1,2,???,7)
（3）巩固与应用
例2：已知x7?a0?a1(x?1)?a2(x?1)2?????a7(x?1)7， （I）求a6的值；
（II）求a0?a1?a2?????a7的值。
分析：构造题设中的形式，进而确定所求系数。
解：x7?[1?(x?1)]7?a0?a1(x?1)?a2(x?1)2?????a7(x?1)7
6（I）a6?C7?17?6?16?7
（II）令x?1?1，即x?2，得：a0?a1?a2?????a7?27。
练习巩固：已知x2?x7?a0?a1(x?1)?a2(x?1)2?????a7(x?1)7，则
a1?，a6?。
解：x2?x7?[1?(x?1)]2?[1?(x?1)]7
?a0?a1(x?1)?a2(x?1)2?????a7(x?1)7
116则a1?C2?C7?9，a6?C7?7。
(4)归纳小结(师生共同完成)
在教学过程中，学生是一个积极的探索者．教师的作用是要形成一种能够独立探索的情境，而不是提供现成的知识与方法。在以往上课时，考虑到时间上限制，让学生阅读教材后，就直接把二项式定理的结果告诉学生，然后进行大量的练习。但是学生对定理的本质并没有真正的理解，学生对定理的记忆只是暂时的，并没得到很好的效果。通过自主探索与合作交流，可以使学生发现自己的学习潜能，容易将这一知识同化到自己已有的知识结构中。在交流中开阔自己的思维，激发学习的兴趣，挖掘了学生的学习潜能。因而通过本节课学生主动探索的学习过程，学生清晰地体会到了二项式定理形成的思考方式，为后继课程的学习打下了基础。数学原理教学是培养学生探究能力的很好素材，教师应重视原理教学课的设计，让学生亲历“发现”数学的过程，透过现象探究数学的本质，感受数学学习的辩证统一。