由此得
τρ?C(?τmax?T(2??1)TδT (R0?)?(2R??)?02Ip2πR0?(4R0??2)π??3(4?2?1)d?1/m) dx(
(b) 由静力学可知，
比较式(a)与式(b)，得
?A??ρdA?C(d?1/m)?ρ(m?1)/mdA?T
Adx(
ττmaxπ??3(4?2?1)4?2?1???
T(2??1)2?(2??1)2π?2?3T取径向宽度为dρ的环形微面积作为dA，即
dA?2πρdρ 将式(d)代入式(c)，得
(
当??
R0??10时，
4?102?1??0.9548 ?max2?10?(2?10?1)2πC(d?1/md/2(2m?1)/m)?ρdρ?T
0dx?由此得
(可见，当R0/δ?10时，按薄壁圆管的扭转切应力公式计算τ的最大误差不超过4.53％。
d?1/m(3m?1)T)?
d(3m?1)/mdx2πCm()2(
将式(e)代入式(b)，并注意到T=M ，最后得扭转切应力公式为
4-8 图a所示受扭圆截面轴，材料的???曲线如图b所示，并可用??C?面上的切应力分布图。
1/m表示，式中的C与m为由试验测定的已知常数。试建立扭转切应力公式，并画横截
M?1/m ???2πmd(3m?1)/m()3m?12横截面上的切应力的径向分布图示如图4-8。
题4-8图
解：所研究的轴是圆截面轴，平面假设仍然成立。据此，从几何方面可以得到
(a)
图4-8
????d? dx4-9 在图a所示受扭圆截面轴内，用横截面ABC和DEF与径向纵截面ADFC
根据题设，轴横截面上距圆心为ρ处的切应力为
31
切出单元体ABCDEF（图b）。试绘各截面上的应力分布图，并说明该单元体是如何
平衡的。
根据图b，可算出单元体右端面上水平分布内力的合力为
同理，左端面上的合力为
题4-9图
方向亦示如图c。
设Fz2作用线到水平直径DF的距离为ey（见图b），由 得
Fz2??πd/2T00??π8Tcos(?θ)ρdρdθ? Ip23πd8T 3πdFz1?解：单元体ABCDEF各截面上的应力分布图如图4-9a所示。
Fz2ey?TIpd/23T2πcos(??)d??d?? ?0?024π
图4-9
根据图a，不难算出截面AOO1D上分布内力的合力为
ey?T3πd3πd???0.295d 48T32同理，Fz1作用线到水平直径AC的距离也同此值。
根据图b，还可算出半个右端面DO1E上竖向分布内力的合力为
1?d4TlFx1?τmax(l)?2
22πdFy3??π/2d/2Tρ0?0同理，得截面OCFO1上分布内力的合力为
方向示如图c。
设Fx1与Fx2作用线到x轴线的距离为ez1，容易求出
π4Tsin(?θ)ρdρdθ? Ip23πdFx2?4Tl πd2设Fy3作用线到竖向半径O1E的距离为ez2（见图b），由 得
Fy3ez2?d/23Tπ/22Tcos?d??d?? ?0Ip?082ddez1???
32332
ez2?T3πd3πd???0.295d 84T32题4-11图
解：由题图知，圆轴与套管的扭矩均等于M。
1.由圆轴AB求M的许用值
同理，可算出另半个右端面O1FE以及左端面AOB、OCB上的竖向分布内力的合力为
?max1?Fy4?Fy1?Fy2?4T 3πdM116M1??[?1] Wp1πd3由此得M的许用值为
方向均示如图c。它们的作用线到所在面竖向半径的距离均为ez2。
由图c可以看得很清楚，该单元体在四对力的作用下处于平衡状态，这四对力构成四个力偶，显然，这是一个空间力偶系的平衡问题。
πd3[?1]π?0.0563?80?106[M1]??N?m?2.76?103N?m?2.76kN?m
16162．由套管CD求M的许用值
?Mx?0，Fy?(2ez2)?Fz2?ey?Fy1?(2ez2)?Fz1?ey?4TT??0 22R0?D??80?6?mm?37mm， δ?6mm?R010 22此管不是薄壁圆管。
?My?0，Fz8Tl8Tl??0 3πd3πd4Tl4Tl?Mz?0，Fy4?l?Fy3?l?3πd?3πd?0
?l?Fx1?(2ez1)?2???max2?80－6?268??0.85 8080
由此得M的许用值为
既然是力偶系，力的平衡方程（共三个）自然满足，这是不言而喻的。
上述讨论中，所有的T在数值上均等于M。
M216M2??[?2] Wp2πD3(1??4)4-11 如图所示，圆轴AB与套管CD用刚性突缘E焊接成一体，并在截面A
承受扭力偶矩M作用。圆轴的直径d = 56mm，许用切应力[?1]=80MPa，套管的外径D = 80mm，壁厚?= 6mm，许用切应力[?2]= 40MPa。试求扭力偶矩M的许用值。
πD3(1??4)[?2]π?0.0803?(1?0.854)?40?106[M2]??N?m 1616 ?1.922?103N?m?1.922kN?m可见，扭力偶矩M的许用值为
[M]?[M2]?1.922kN?m
4-13 图示阶梯形轴，由AB与BC两段等截面圆轴组成，并承受集度为m
的均匀分布的扭力偶矩作用。为使轴的重量最轻，试确定AB与BC段的长度l1与l2
33
以及直径d1与d2。已知轴总长为l，许用切应力为[?]。
题4-13图
解：1.轴的强度条件
在截面A处的扭矩最大，其值为
Tmax1?ml
由该截面的扭转强度条件
?Tmax1?max1W?16ml?[τ] p1πd31得
d316ml1?π[τ] BC段上的最大扭矩在截面B处，其值为
Tmax2?ml2
由该截面的扭转强度条件得
d316ml2?2π[τ] 2．最轻重量设计 轴的总体积为 V?πd2π2π16ml2/316ml41(l?l2)?22/34d2l2?4[(π[τ])(l?l2)?(π[τ])l2]根据极值条件
dVdl?0 2得
?(16mlπ[?])2/3?(16mπ[?])2/3?52/33l2?0 由此得 l(32?5)3/2l?0.465l
从而得
l31?l?l2?[1?(5)3/2]l?0.535l
d2?(16m1/31/3π[?])?l31/22?(5)316mlπ[?]?0.775d1 该轴取式(a)~(d)所给尺寸，可使轴的体积最小，重量自然也最轻。
(a)
4-14 一圆柱形密圈螺旋弹簧，承受轴向压缩载荷F = 1kN作用。设弹簧的
平均直径D = 40mm，弹簧丝的直径d = 7mm，许用切应力[?]= 480MPa，试校核弹簧的强度。
解：由于
m?Dd?407?5.71?10 故需考虑曲率的影响，此时，
?8FD(4m＋2）8?1.00?103?0.040?(4?5.71?2)N
max?πd3(4m?3)?π?0.0073?(4?5.71?3)m2 ?3.72?108Pa?372MPa结论：?max?[?]，该弹簧满足强度要求。
34
(
(
(
4-20 图示圆锥形薄壁轴AB，两端承受扭力偶矩M作用。设壁厚为?，横截
面A与B的平均直径分别为dA与dB，轴长为l，切变模量为G。试证明截面A和B
4M?A/B?πG??
d(dA?cx)?2M?2l?(d?cx)| 0A 0c(d?cx)3πGδcA l间的扭转角为
?（dA/B?2MlA?dB)πG?d22 AdB
题4-20图
证明：自左端A向右取坐标x，轴在x处的平均半径为 R(x)?12(dd?dA?BA10lx)?2(dA?cx)
式中，
c?dB?dAl 截面x的极惯性矩为 I3p?2πR0??2π? [1(dcx)]3?πδA?(d324A?cx)
依据
d?T(x)dx?GI?4Mπ? (d pGA?cx)3得截面A和B间的扭转角为
??2Ml112Ml(dA?dBπGδ (d()?)2?22B ?dA)dBdAπGδd2AdB4-21 图示两端固定的圆截面轴，承受扭力偶矩作用。试求支反力偶矩。设
扭转刚度为已知常数。
题4-21图
(a)解：此为静不定轴，但有对称条件可以利用。
设A与B端的支反力偶矩分别为MA和MB，它们的转向与扭力偶矩M相反。由于左右对称，故知
MA?MB
由?Mx?0可得 MA?MB?2MA?2M
即
35