MA?MB?M
(b)解：此为静不定轴，可解除右端约束，代之以支反力偶矩MB，示如图4-21b。
变形协调条件为
利用叠加法，得到（x从左端向右取）
?B?0
(
?B??B,m??B,MB?? a 0MB(2a)ma22MBam(a?x)dx??? GIpGIp2GIpGIp(
变形协调条件为
利用叠加法，得
图4-21b
将式(d)代入式(c)，可得 进而求得
(a)
MB?ma 43ma 4?B?0
MA?ma?MB??B?MaM(2a)MB(3a)?? GIpGIpGIpM的转向亦与m相反。
(b) A将式(b)代入式(a)，可得 进而求得
4-22 图示轴，承受扭力偶矩M=400N?m与M=600N?m作用。已知许用
1
2
1MB?M
3切应力[?]=40MPa，单位长度的许用扭转角[?]=0.25(°) / m，切变模量G = 80GPa。试确定轴径。
1MA?M（转向与MB相反）
3(c)解：此为静不定轴，与(a)类似，利用左右对称条件，容易得到
MA?MB?ma 2解：1.内力分析
题4-22图
MA和MB的转向与m相反。
(d)解：此为静不定轴，可解除右端约束，代之以支反力偶矩MB，从变形趋势不难判断，MB的转向与m相反。
36
此为静不定轴，设B端支反力偶矩为MB，该轴的相当系统示如图4-22a。
图4-22
利用叠加法，得
?1B?GI[400?0.500?600?1.250?MB?2.500]
p将其代入变形协调条件?B?0，得
M(600?1.250?400?0.500)N?m2B?2.500m?220N?m该轴的扭矩图示如图4-22b。 2.由扭转强度条件求d 由扭矩图易见，
Tmax?380N?m
将其代入扭转强度条件，
?Tmax?maxW?16Tmax?[?pπd3] 由此得
d?316Tmax316?380m3π[?]?π?40?106?0.0364m?36.4mm 3.由扭转刚度条件求d
将最大扭矩值代入 TmaxGI?32TmaxGπd?[?] p4得
d?432Tmax32?380?180m4πG[?]?4π?80?109?0.25π?0.0577m?57.7mm
结论：最后确定该轴的直径d?57.7mm。
4-23 图示两端固定阶梯形圆轴AB，承受扭力偶矩M作用。已知许用切应
力为[?]，为使轴的重量最轻，试确定轴径d1与d2。
题4-23图
解：1. 求解静不定
设A与B端的支反力偶矩分别为MA与MB，则轴的平衡方程为
?Mx?0, MA?MB?M?0
AC与CB段的扭矩分别为
T1?MA， T2??MB
代入式（a），得
T1?T2?M?0
37
设AC与CB段的扭转角分别为?AC与?CB，则变形协调条件为
?AC??CB?0
， T2?? T1?99(c)
根据圆轴扭转强度条件，于是得轴的直径为
M8M利用扭转角与扭矩间的物理关系，分别有
代入式（c），得补充方程为
?AC?T1a2Ta， ?CB?2 GIp1GIp2d1?d2316T1316M?? 2π[?]9π[?]4-24 图示二平行圆轴，通过刚性摇臂承受载荷F作用。已知载荷F=750N，
轴1和轴2的直径分别为d1=12mm和d2=15mm，轴长均为l=500mm，摇臂长度a
(d)
=300mm，切变模量G = 80GPa，试求轴端的扭转角。
?d?T1?2?1?T2?0
?d2?4 最后，联立求解平衡方程（b）与补充方程（d），得
42d14Md2MT1?4T??， 24d2?2d14d2?2d14(e)
2. 最轻重量设计
从强度方面考虑，要使轴的重量最轻，应使AC与CB段的最大扭转切应力的数值相等，且当扭力偶矩M作用时，最大扭转切应力均等于许用切应力，即要求
由此得
将式（e）代入上式，得 并从而得
TT1?[?]， 2?[?] Wp1Wp2解：这是一度静不定问题。
变形协调条件为
题4-24图
T1Wp1?d1????? T2Wp2?d2?3Δ1?Δ2 或 ?1??2
(
这里，??和??分别为刚性摇臂1和2在接触点处的竖向位移。
d2?2d1
设二摇臂间的接触力为F2，则轴1和2承受的扭矩分别为
物理关系为
aT1?F()?F2a， T2?F2a
2(
38
?1?T1lTl， ?2＝2 GIp1GIp2
(c)
物理关系为
?1??2
(
将式(c)代入式(a)，并注意到式(b),得 由此得
F2?4d2F42(d14?d2)?1?
将式(c)代入式(b)，并注意到
T1l1Tl， ?2＝22 G1Ip1G2Ip2(
?2?T2l16Fal16?750?0.300?0.500m??4GIp2πG(d14?d2)π?80?109?(0.0124?0.0154)m
76?12πD4πd44 ???0.8421， Ip2?(1??)， Ip1?763232得
?0.1004 rad?5.75??|?1|4-26 如图所示，圆轴AB与套管CD借刚性突缘E焊接成一体，并在突缘
E承受扭力偶矩M作用。圆轴的直径d=38mm，许用切应力[?1]=80MPa，切变模量G1=80GPa；套管的外径D = 76mm，壁厚?= 6mm，许用切应力[?2]= 40MPa，切变模量G2 = 40GPa。试求扭力偶矩M的许用值。
2d424?384T1?T2?4?T2?T2?0.1676T2
G2Ip2l1D(1??4)33?764(1?0.84214)将方程(a)与(d)联解，得
G1Ip1l2(
T2?0.856M， T1?0.144M
2．由圆轴的强度条件定M的许用值
?1max?T116?0.144M??[?1] 3Wp1πd由此得扭力偶据的许用值为
πd3[?1]π?0.0383?80?106[M]1??N?m?5.99?103N?m?5.99kN?m
16?0.14416?0.1443.由套管的强度条件定M的许用值
题4-26图
解：1. 解静不定
此为静不定问题。静力学关系和变形协调条件分别为
?2max?T216?0.856M??[?2] Wp2πD3(1??4)由此得扭力偶据的许用值为 (a)
39
T1?T2?M
πD3(1??4)[?2]π?0.0763?(1?0.84214)?40?106[M]2??N?m
16?0.85616?0.856
?2.00?103N?m?2.00kN?m
结论：扭力偶矩的许用值为
两个未知扭力矩，一个平衡方程，故为一度静不定问题。
在横截面B处，钢轴与铜管的角位移相同，即
?s??c
(
[M]?[M]2?2.00kN?m
设轴段AB的长度为l，则
4-27 图示组合轴，由圆截面钢轴与铜圆管并借两端刚性平板连接成一体，
并承受扭力偶矩M=100N·m作用。试校核其强度。设钢与铜的许用切应力分别为[?s]=80MPa与[?c]=20MPa，切变模量分别为Gs=80GPa与Gc=40GPa，试校核组合轴强度。
?s?Tsl GsIps
?c?(M?Tc)lTl(M?2Tc)l ?c ?
GcIpc2GcIpc22GcIpc将上述关系式代入式（b），并注意到Gs/Gc=2，得补充方程为
Ts(M?2Tc)? IpsIpc联立求解平衡方程（a）与补充方程（c），于是得
2．强度校核
题4-27图
解：1. 求解静不定
如图b所示，在钢轴与刚性平板交接处（即横截面B），假想地将组合轴切开，并设钢轴与铜管的扭矩分别为Ts与Tc，则由平衡方程?Mx?0可知，
Ts?Tc?IpsMIpc?2Ips
π(0.020m)4Ips??1.571?10?8m4
32Ipcπ(0.040m)4?32??0.035m?4??741??1.040?10m ????0.040m????
将相关数据代入式（d），得 (a)
40
Ts?Tc?11.6N?m
对于钢轴，
Ts?Tc