通信原理习题答案
第一章
1. 如果连续信号x(t)在有限范围内均匀分布:
的平均信息量为:
H1(x)???a2a?2p(x)?1aa(??x?),a22则它
1?1?log2??dx?log2aa?a?
2. 一个由字母A、B、C、D组成的字，对于传输的每一个字母用二进制
脉冲编码，00代替A，01代替B，10代替C，11代替D，每个脉冲宽度为5ms：
（1）不同的字母是等可能出现时，试计算传输的平均信息速率。 （2）若每个字母出现的可能性分别为
PA=1/5， PB=1/4， PC=1/4， PD=3/10 试计算传输的平均信息速率。
解：（1）不同的字母是等可能出现，即再现概率均为1/4。
11H??4?log?2244每个字母的平均信息量为 比特/符号 因为每个脉冲宽度为5ms，所以每个字母所占用的时间为
?3?2 2?5?10?10s
1?100?210每秒传送符号为 符号/秒
b/s 平均信息速率为 2?100?200（2）平均信息量为
11111133H??log2?log2?log2?log2?1.9855544441010比特/符号
?100?198.5b/s 平均信息速率为 1.9853. 一个离散信号源每毫秒发出4种符号中的一个，各相互独立符叫出现
的概率分别为0.4、0.3、0.2、0.1。求该信号源的平均信息量和信息速率。
解：利用熵的计算公式，平均信息量为
H???Pilog2Pii?14 ??(0.4log20.4?0.3log20.3?0.2log20.2?0.1log20.1) ?1.85比特/符号 信息速率为
H?1Rb??3?1.85?103b/s10
4. 设一信息源的输出由128个不同符号组成，其中16个符号出现的概率
为1/32，其余112个出现概率为1/224。信息源每秒发出1000个符号，且每个符号彼此独立。试计算该信息的平均信息速率。
1111H??16?log2?112?log2?6.4053232224224解：平均信息量 比特/符号 ?1000?640b5/s 平均信息速率 Rb?6.4055. 设一数字传输系统传送二进制码元的速率为1200b/s，试求该系统的信
息速率；若该系统改成传送16进制信号码元，码元速率为2400b/s，则这时的系统信息速率为多少？
0/s 2N?RB2log22?120b解：传送二进制码元时 Rb?RB2log传送十六进制码元时 Rb?RB16log2N?RB16log216?2400?4?9600b/s
第二章
1. 随机过程由3条等概率的水平线构成,取值分别是1,2,3,求x(t)的均值、方差、
均方值、自相函数、自协方差和自相关系数，并说明x(t)是否广义平稳。 解
均值为：
111E[x(t)]?1??2??3??2?mx333
方差为：
111222E?x(t)?mx??(?1)2??0??1????x3333
均方值为：
11114Ex2(t)?12??22??32??3333
自相关函数为：
14Rx(?)?E?x(t)x(t??)??Ex2(t)?3
自协方差为：
1422Cx(?)?RX(?)?mx??22?33
自相关等系数为：
C(?)22?x(?)?x2???133?x x(t)是广义平稳的。
???????0?)?9。求x(t)的均值、2. 已知随机过程x(t)的自相关函数为：Rx(?)?4cos(方差、自协方差和自相关系数。 解
均值为
2(R x(?)中与?无关的部分即m为x mx?3 方差为：
222 ?x?4 (?R(0)??x?mx) 自协方差为：
2?(0?） Cx(?)?Rx(?)?mx?4cos自相关系数为：
C(?)4cos?(0?)?x(?)?x2??cos?(0?)4?x
3. 已知随机变量?在区间(????)均匀分布。求随机过程x(t)?2sin(?t??）的均值、方差、自相关函数和平均功率。 解
均值为：
E?x(t)??2E?sin?(t??)??22?????sin(?t??)d???1?cos?(t??)????0
（?的概率密度函数为
方差为：
p(?)?1,??????2?）
?11?D?x(t)??E[x2(t)]?4E[sin2(?t??)]?4E??co2s(?t??)??2?22?
自相关函数为：
?(t1??)sin?(t2??)? Rx(t1,t2)?Rx(?)?E?x(t1)x(t2)??4E?sin1?1???cos???cos?(t?t)?????2cos??2122? =4E?
平均功率为：
P?Rx(0)?2 （或者P?E?x2(t)??2)
4. A是均值为m，方差为?的高斯型随机变量，求随机过程x(t)?Acos?t的均
值、方差、自相关函数和平均功率。 解
均值为：
st?mco?st m(t)?E[x(t)]?E(A)co?方差为：
11?2(t)?E[(Acos?t?mcos?t)2]?E[(A?m)2]co2s?t??2??2co2s?t22
自相关函数为：
?cos?(t2?t1)cow?(t2?t1)?Rx(t1,t2)?E(Acos?t1?Acos?t2)?E(A2)???22??
22
平均功率为：
??2?m2co?st??2?m22?co?s(t2?t1)
2
讨论：
x(t)不是广义平稳过程，但有固定的平均功率P
P?Rx(t1,t2)___________?2?m2??0或P?m(t)??(t)
5. 设随机过程?(t)可表示成?(t)?2cos(2?t??)，式中?是一个离散随机变量，
且P(??0)?1/2,P(???)?1/2，试求E?(1)及R?(0,1)。 P?Rx(t1,t2)??0____________________2_________2?1?1E?(1)?E[2cos(2??1??)]?E[2ccos?]?2?cos?]??0?cos???12?????2解：
2R(0,1)?E[2cos(0??)?2cos(2???)]?4E[cos?]?2 ?
6. 一正弦波加窄带高斯过程
?(ct??)?n(t) z(t)?Acos（1）求z(t)通过能够理想的提取包络的平方律检波器后的一维分布密度函数；
（2）若A=0，重做（1）。
解：已知正弦波加窄带高斯过程的包络的一维概率密度函数为
Az1f(z)?2exp[?2(z2?A2)]I0(z) z?02?2??
22（1）为求z(t)的包络平方z(t)的概率密度函数，令u?z 而 f(u)?du?f(z)dz
dz11?f(z)?f(z)dudu/dz2z 所以
A1z1f(u)??2exp[?2(z2?A2)]I0(z) 2z?2??2
Az1122f(z2)?exp[?(z?A)]I() z?002222?2??即
f(u)?f(z)z2f(z)exp[2] z?0 22?2? （2）当时A=0时，
7. 一波形为s(t)?Acos?tcos?0t的信号，通过衰减为固定常数值并存在相移的
21网络。试证明：若?0???且?0??的附近的相频特性曲线可近似为线性，
则该网络对s(t)的迟延等于该网络对它的包络的迟延（这一原理常用于测量群迟延特性）。
证明：由已知得
因为?0???,所以Acos?t可以视为s(t)的包络，其最大值出现在t?t1?0时刻。s(t)又可视为双频信号，通过衰减为固定常数值并存在相移的网络后，网络对不同频率有不同相移。
设：（?0??）频率分量的相移为?1，（?0??）频率分量的相移为?1???，因为衰减为固定常数，不妨设防B，于是通过网络后输出信号为
ABs0(t)?{cos[(?0??)t??1]?cos[(?0??)t??1???]}22?t????? ?ABcoscos(?0t??1?)22
2?t???ABcos2从该式可以看出为输出信号包络，最大值出现在
2?t??????0t2?22?时刻。 ，即
因为t1和t2对应于包络最大值时刻，所以t2?t1就是包络的迟延时间
t2?t1???2?。又因为两频率的差值为????0???(?0??)?2?，且若?0??s(t)?Acos?tcos?0t?A[cos(?0??)t?cos(?0??)t]2