n2(n+1)2x+2x+3x+4x+?+nx=
2n2(n+1)2合并同类项得(1+2+3+?+n)x=
2n(n+1)n2(n+1)2故有,所以 x=n(n+1)为原方程的解． x=2258例 12 已知关于 x 的方程x-a=x+142且a为某些自然数时，方程的解为自然数，试求自然数a的
25最小值．
9x-142 10799 因为a为自然数，所以x应是大于142的整数，所以x>142即x>157
101099 又因为x为自然数，要使用x为整数，x必须是10的倍数，而且为使用a 最小，所以 x 应取
109x=160．所以a=?160142=2
10解 由原方程可解得a=所以满足题设的自然数 a 的最小值为 2． 说明 本题实际上是求a=
练习四
1．解下列方程：*
9x-142的最小自然数解。 1011+(1-x)21-0.4x+0.9x-50.02x-0.033(1) (2)-==1
0.520.0341禳1轾1骣1镲(3)睚犏琪琪x-1-6+4=1
犏2镲345铪臌桫2．解下列关于 x 的方程： (1)a(x-2)-3a=x+1； (2)ax+b-3. a为何值时，方程
2
3x+2ab1x-bx-a = (3)=2-32abxx1+a=-(x-12)有无数多个解？无解？ 3264．当 k 取何值时，关于 x 的方程 3(x+1)=5-kx，分别有：(1)正数解；(2)负数解；(3)不大于 1 的解．
第五讲 方程组的解法
二元及多元(二元以上)一次方程组的求解，主要是通过同解变形进行消元，最终转化为一元一次方程来解决．所以，解方程组的基本思想是消元，主要的消元方法有代入消元和加减消元两种，下面结合例题予以介绍．
ì2x+3y-4z=7?例 1 解方程组íx-4y2y+3z
==2?2?3x-4y2y+z3x-4y2y+z3 分析 因为==2表示两个方程，即=2和=2，或者
3232x-4y2y+3zx-4yx-4y2y+3z2y+3z=和=2，或者=和=2，所以原方程组实际上是由三个方程组323322成的三元一次方程组。
11
解 将原方程组改写为
ì?2x+3y-4z=7 ①???x-4y í =2 ②3??2y+3z?=2 ③ ??2由方程②得 x=6+4y，代入①化简得11y-4z=-19． ④ 由③得2y+3z=4． ⑤
④33+⑤34 得 33y+8y=-57+16，所以 y=-1．
将 y=-1 代入⑤，得 z=2．将 y=-1 代入②，得 x=2．所以
ìx=2?? íy=-1 是原方程组的解。 ???z=2说明本题解法中，由①，②消x时，采用了代入消元法；解④，⑤组成的方程组时，若用代入法消元，无
论消y，还是消 z，都会出现分数系数，计算较繁，而利用两个方程中 z 的系数是一正一负，且系数的绝对值较小，采用加减消元法较简单．
解方程组消元时，是使用代入消元，还是使用加减消元，要根据方程的具体特点而定，灵活地采用各种方法与技巧，使解法简捷明快．
例 2 解方程组
ìx+2y=5 ①???y+2z=8 ② í
?z+2u=11 ③???u+2x=6 ④解法 1 由①，④消 x 得4y-u=4 ⑤
ìy+2z=8 ②??íz+2u=11 ③ ???4y-u=4 ⑤ 由③，⑤消元，得z+8y=19 ⑥
ì?y+2z=8 ② í
8y+z=19 ⑥?? 解之得y=2,z=3
ìx=1???y=2 将 y=2 代入①得 x=1．将 z=3 代入③得 u=4．所以 í 是原方程组的解.
?z=3???u=4 解法 2 由原方程组得
ìx=5-2y ⑤???y=8-2z ⑥ í ?z=11 -2u ⑦???u=6-2x ⑧ 所以 x=5-2y=5-2(8-2z)=-11+4z=-11+4(11-2u)=33-8u=33-8(6-2x)=-15+16x，
即 x=-15+16x，解之得 x=1．将 x=1 代入⑧得 u=4．将 u=4 代入⑦得 z=3．将 z=3 代入⑥得 y=2．所以
12
ìx=1???y=2 í 为原方程组的解．
z=3????u=4解法 3 ①+②+③+④得 x+y+z+u=10，⑤ 由⑤-(①+③)得y+u=6， ⑥ 由①32-④得 4y-u=4，⑦ ⑥+⑦得 y=2．以下略．
说明 解法 2 很好地利用了本题方程组的特点，解法简捷、流畅． 例 3 解方程组
ìx-y+z=1 ①??y-z+u=2 ②?? íz-u+v=3 ③ ??u-v+x=4 ④???v-x+y=5 ⑤分析与解 注意到各方程中同一未知数系数的关系，可以先得到下面四个二元方程： ①+②得x+u=3， ⑥ ②+③得y+v=5， ⑦ ③+④得z+x=7， ⑧ ④+⑤得u+y=9． ⑨
又①+②+③+④+⑤得 x+y+z+u+v=15．⑩
⑩-⑥-⑦得 z=7，把 z=7 代入⑧得 x=0，把 x=0 代入⑥得 u=3，把 u=3 代入⑨得 y=6，把 y=6 代入⑦得 v=-1．所以
ìx=0??y=6??íz=7 为原方程组的解． ??u=3???v=-1例 4 解方程组
ì???? í?????112+-=-4 ①xyz114-+=11 ② xyz12+=5 ③xy315解法 1 ①32+②得+=3 ④ 由④32-③得=1,所以x=5
xyx1125511213310把x=5代入④得=,所以y= 把=1和=代入②得, =,所以z=
y512xy5z1033ì?x=5??5? íy= 为原方程组的解．
12???z=10?33?
13
解法 2 令A=ì?? í???111,B=,C=，则原方程组化为 xyzA+B-2C=-4A-B+4C=11 A+2B=5ì?x=5??112335? 解这个方程组得，A=,B=,C=,即 íy= 为原方程组的解．
551012???z=10?33?说明 解法 1 称为整体处理法，即从整体上进行加减消元或代入消元（此时的“元”是一个含有未知数的代数式，如
11,等）；解法 2 称 换元法，也就是干脆引入一个新的辅助元来代替原方程组中的“整体元”，xy从而简化方程组的求解过程．
例 5 已知
ì?? í????123++=0 ①xyzxyz 试求++的值。
165yzx--=0 ②xyz分析与解一般想法是利用方程组求出 x，y，z 的值之后，代入所求的代数式计算．但本题中方程组是由三个未知数两个方程组成的，因此无法求出 x，y，z 的确定有限解，但我们可以利用加减消元法将原方程组变形．
88y+=0,即=-1 yzz44z ①33+②消去 y 得+=0,即=-1
xzx88x ①35+②33 消去 z 得-=0,即=1
xyyxyz 所以++=1-1-1=-1
yzx ①-②消去 x 得
例 6 已知关于 x，y 的方程组
ì?ax+2y=1+a ① í ??2x+2(a-1)y=3 ②分别求出当 a 为何值时，方程组(1)有唯一一组解；(2)无解；(3)有无穷多组解．
分析 与一元一次方程一样，含有字母系数的一次方程组求解时也要进行讨论，一般是通过消元，归结为一元一次方程ax=b的形式进行讨论．但必须特别注意，消元时，若用含有字母的式子去乘或者去除方程的两边时，这个式子的值不能等于零．
解 由①得2y=(1+a)-ax， ③
将③代入②得(a-2)(a+1)x=(a-2)(a+2)． ④ (1)当(a-2)(a+1)≠0，即 a≠2 且 a≠-1 时，
方程④有唯一解x=1a+2,将此x的值代入③得，y=，因而原方程组有唯一一组解．
2(a+1)a+1(2)当(a-2)(a+1)=0 且(a-2)(a+2)≠0 时，即 a=-1 时，方程④无解，因此原方程组无解．
(3)当(a-2)(a+1)=0 且(a-2)(a+2)=0 时，即 a=2 时，方程④有无穷多个解，因此原方程组有无穷多组解．
例 7 已知关于 x，y 的二元一次方程(a-1)x+(a+2)y+5-2a=0，当 a 每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，试求出这个公共解．
14
解法 1 根据题意，可分别令 a=1，a=-2 代入原方程得到一个方程组 íìì?3y+3=0?x=3解之得í
???y=-1?-3x+9=0 将 x=3，y=-1 代入原方程得(a-1)33+(a+2)3(-1)+5-2a=0．
ì?x=3所以对任何 a 值, í都是原方程的解．
y=-1??说明 取 a=1 为的是使方程中(a-1)x=0，方程无 x 项，可直接求出 y 值；取 a=-2 的道理类似．
解法 2 可将原方程变形为a(x+y-2)-(x-2y-5)=0． 由于公共解与 a 无关，故有
ìì?x+y-2=0?x=3 í 解之得公共解为í
x-2y-5=0y=-1????ìì?ax+5y=13 ①?x=-3例 8 甲、乙两人解方程组í 由于甲看错了方程①中的a而得到方程组的解为í,
y=-14x-by=-2 ②????ì?x=5乙看错了方程②中的b而得到的解为í,假如按正确的a、b计算，试求出原方程组的解。
y=4??ì?x=-3分析与解 因为甲只看错了方程①中的 a，所以甲所得到的解í应满足无a的正确的方程②，即
??y=-1 43(-3)-b3(-1)=-2． ③
ì?x=5 同理，乙所得到的解í应满足无b的正确的方程①，即a35+534=13． ④
y=4??ì2?a=1解由③，④联立的方程组得í5
??b=10ì2ìx=20?1x+5y=13?所以原方程组应为í5解之得 í1
y=8??5?4x-10y=-2?
练习五
1．解方程组
ììx-2y-3z+18=0????(1) íx+3y-2z-8=0(2)í??x+y+2z-24=0?????661+=xy2
833-=xy102．若 x1，x2，x3，x4，x5 满足方程组
ì2x1+x2+x3+x4+x5=6??x1+2x2+x3+x4+x5=12?? íx1+x2+2x3+x4+x5=24 试确定 3x4+2x5 的值． ??x1+x2+x3+2x4+x5=48???x1+x2+x3+x4+2x5=96a2+b2+(a+b)2+c的值。 3．将式子 3x+2x-5 写成 a(x+1)+b(x+1)+c 的形式，试求代数式
25ì1?kx-y=-4．k 为何值时，方程组í3 有唯一一组解；无解；无穷多解？
??3y=1-6x2
2
15