x+y253-y-+x+2y=0，求 x+y． 2322x+y253分析 从绝对值的意义知-y-?0,x2y 0，两个非负实数和为零时，这两个实数必须都
2322例 5 设为零．
解 由题设有
ìx+y25-y-=0??232 解这个方程组得x=4,y=-3．故有x+y=4-3=1． í3??x+2y=0?2ì?|x-y|=1 ①例 6 解方程组í
??|x|+2|y|=3 ②分析与解 由①得 x-y=1 或 x-y=-1，即x=y+1 或 x=y-1．
与②结合有下面两个方程组 (1) íìì?x=y+1?x=y-1 (2) í
???|x|+2|y|=3?|x|+2|y|=3解(1)：把 x=y+1 代入|x|+2|y|=3 得|y+1|+2|y|=3． 去绝对值符号，可得y=24或y=-，再将其代入x=y+1，可求出方程组(1)的解为 33祆15x=-x=镲镲33或 眄 42镲y=-y=镲33铑同理，解(2)有
祆15x=x=-镲镲33或 眄
2镲4y=y=-镲3铑3故原方程组的解为
祆祆1155x=-x=x=x=-镲镲镲镲3333 眄 眄 4242镲镲y=-y=y=y=-镲镲333铑铑3例 7 解方程组
ì?|x-y|=x+y-2 ① í |x+y|=x+2 ②??解 由①得x+y=|x-y|+2．因为|x-y|≥0，所以 x+y＞0，所以|x+y|=x+y． ③ 把③代入②有x+y=x+2，所以 y=2．将之代入①有|x-2|=x， 所以x-2=x， ④ 或 x-2=-x． ⑤
ì?x=1④无解，所以只有解⑤得 x=1．故í为原方程组的解．
y=2??说明本题若按通常的解法，区分x+y≥0和x+y＜0两种情形，把方程②分成两个不同的方程x+y=x+2和-(x+y)=x+2，对方程①也做类似处理的话，将很麻烦．上面的解法充分利用了绝对值的定义和性质，从方程①中
发现必有 x+y＞0，因而可以立刻消去方程②中的绝对值符号，从而简化了解题过程．
例 8 解不等式|x-5|-|2x+3|＜1．
分析 关键也是去掉绝对值符号，分三个区间讨论：x?
21
33,-
2331因- 23(3) 当 x＞5 时，原不等式化为 x-5-(2x+3)＜1， 解之得 x＞-9， 因 x＞5，故 x＞5 是原不等式的解． 综合(1)、(2)、(3)可知，x<-7或x>例 9 解不等式 1≤|3x-5|≤2． 1是原不等式的解。 3ì?|3x-5| 1 ①分析与解 此不等式实际上是í ??|3x-5| 2 ②解 对|3x-5|≥1 5时，①转化为3x-5≥1,所以x≥2是①的解。 345 (2) 当x<时，①转化为-(3x-5)≥1，所以-3x≥-4，即x￡是①的解。 334 所以①的解为x常 2或x3 (1) 当x3 对|3x-5|≤2 5757时，②转化为3x-5≤2,解之得x￡，所以＃x是②的解。 333355 (2) 当x<时，②转化为-(3x-5)≤2，解之得x≥1，所以1?x是②的解。 337 所以②的解为1＃x 3474 所以①与②的公共解应为1＃x, 即原不等式的解为1＃x或2＃x或2＃x333 (1) 当x37 3例 10 解不等式||x+3|-|x-3||＞3． 解从里往外去绝对值符号，将数轴分为 x≤-3，-3＜x≤3，x＞3 三段来讨论，于是原不等式化为如下三个不等式组． ììì?x?3?-3 |-(x+3)+(x-3)|>3|(x+3)+(x-3)|>3|(x+3)-(x-3)|>3??????ì?x?3 由(1)得í即x≤-3． |-6|>3??ì33?-3 22??|2x|>3ì?x>3 由(3)得í 即x>3 |6|>3??33 综上可知，原不等式的解为x<-或x> 22说明 本题也可以由外向内去绝对值符号，由绝对值的意义，解下面两个不等式 ì?|x+3|-|x-3|<-3 ① í ??|x+3|-|x-3|>3 ② 22 分别解出①和②即可，请同学们自己完成这个解法． 例 11 当 a 取哪些值时，方程|x+2|+|x-1|=a 有解？ 解法 1 (1)当 x≤-2 时，|x+2|+|x-1|=-2x-1≥-2(-2)-1=3． (2)当-2＜x＜1 时，|x+2|+|x-1|=x+2-x+1=3． (3)当 x≥1 时，|x+2|+|x-1|=2x+1≥231+1=3． 所以，只有当 a≥3 时，原方程有解． 解法 2 按照绝对值的性质|a-b|≤|a|+|b|，故|x+2|+|x-1|≥|(x+2)-(x-1)|=3． 其中等号当-2≤x≤1 时成立，所以当 a≥3 时，原方程有解． 练习七 1．解下列方程： (1)|x+3|-|x-1|=x+1； (2)||1+x|-1|=3x；(3)|3x-2|-|x+1|=x+2；(4)|3y-2|=-|5x-3|． 2．解方程组： ìì?|x+1|+|y-1|=5?|x+y|=1(1)í (2) í |x+1|=4y-4|x|+|y|=2????3．解下列不等式： (1) 1-3x-5>3 (2)5≤|5x-3|≤10； (3)|x+1|+|4-x|＜6；(4)||x-1|-|x+2||＞1． 44．若 a＞0，b＜0，则方程|x-a|+|x-b|=a-b 的解是什么？ 第八讲 不等式的应用 不等式与各个数学分支都有密切的联系，利用“大于”、“小于”关系，以及不等式一系列的基本性质能够解决许多有趣的问题，本讲主要结合例题介绍一下这方面的应用． 2 例 1 已知 x＜0，-1＜y＜0，将 x，xy，xy按由小到大的顺序排列． 分析 用作差法比较大小，即若 a-b＞0，则 a＞b；若 a-b＜0，则 a＜b． 解 因为 x-xy=x(1-y)，并且 x＜0，-1＜y＜0，所以 x(1-y)＜0，则 x＜xy． 22 因为 xy-xy=xy(y-1)＜0，所以 xy＜xy． 22 因为 x-xy=x(1+y)(1-y)＜0，所以 x＜xy． 2 综上有 x＜xy＜xy． 56789012345678901235,试比较 A，B 的大小． ,B=67890123456789012347xx+1解 设A=,则B= yy+2xx+1x(y+2)-y(x+1)2x-y A-B=- ==yy+2y(y+2)y(y+2)例 2 若A= 显然，2x＞y，y＞0，所以 2x-y＞0，所以 A-B＞0，A＞B． ì11?c 3?2?5?a 658 ②+a 得a 23715 ③+b 得b 241786848 由④，⑤得c 6317351 23 同理，由④，⑥得 72b 例 4 当 k 取何值时，关于 x 的方程3(x+1)=5-kx 分别有(1)正数解；(2)负数解；(3)不大于 1 的解． 解 将原方程变形为(3+k)x=2． (1)当 3+k＞0，即 k＞-3 时，方程有正数解． (2)当 3+k＜0，即 k＜-3 时，方程有负数解． 221+k９1(k-3),所以1-= 0 3+k3+k3+k祆1+k常01+k0镲 或 所以 1+k，3+k 应同号，即眄 3+k>03+k<0镲铑祆k?1k?1镲 或 解得眄 k>-3k<-3镲铑 (3)当方程解不大于 1 时，有 得解为 k≥-1 或 k＜-3． 注意 由于不等式是大于或等于零，所以分子 1+k 可以等于零，而分母是不能等于零的。 2x-15-3x，求|x-1|-|x+3|的最大值和最小值． -1?x327解 首先解不等式得到x￡, 11ì(x-1)-(x+3)=-4 当x 1?? 又因|x-1|-|x+3|=í1-x-(x+3)=-2x-2 当-3 x<1 ???1-x+(x+3)=4 当x<-377当-3＃x时，-2x-2的值是随着x的增大而减小；随着x的减小而变大，所以当x=时，-2x-2达 11113到最小值-3；当x=-3时，-2x-2达到最大值4，结合x<-3时的情形，得到： 113在已知条件下|x-1|-|x+3|的最大值是4,最小值是-3 11例 5 已知 说明 对含有绝对值符号的问题，无法统一处理．一般情况下，是将实数轴分成几个区间，分别进行讨论，即可脱去绝对值符号． 例 6 已知 x，y，z 为非负实数，且满足x+y+z=30，3x+y-z=50． 求 u=5x+4y+2z 的最大值和最小值． 解 将已知的两个等式联立成方程组 ì?x+y+z=30 ① í ??3x+y-z=50 ② 所以①+②得 4x+2y=80，y=40-2x． 将 y=40-2x 代入①可解得z=x-10． ì?40-2x30 因为 y，z 均为非负实数，所以í解得10≤x≤20 x-1030?? 于是 u=5x+4y+2z=5x+4(40-2x)+2(x-10) =-x+140． 当 x 值增大时，u 的值减小；当 x 值减小时，u 的值增大．故当 x=10 时，u 有最大值 130；当 x=20 时，u 有最小值 120． 例 7 设 a，b，c，d 均为整数，且关于 x 的四个方程(a-2b)x=1，(b-3c)x=1，(c-4d)x=1，x+100=d 的根都是正数，试求 a 可能取得的最小值是多少？ 解 由已知(a-2b)x=1，且根 x＞0，所以 a-2b＞0，又因为 a，b 均为整数，所以 a-2b 也为整数， 所以a-2b≥1，即 a≥2b+1． 同理可得，b≥3c+1，c≥4d+1，d≥101． 所以a≥2b+1≥2(3c+1)+1=6c+3 ≥6(4d+1)+3=24d+9 ≥243101+9=2433， 故 a 可能取得的最小值为 2433． 24 例 8 设p、q均为自然数，且解 由已知可得 7p11<<，当q最小时，求 pq 的值． 10q15711q 立．当 q＝7时，147＜30p＜154，取 p=5 可使该不等式成立． 所以 q 最小为 7，此时 p=5．于是 pq=537=35． 例 9 已知：b＜c，1＜a＜b+c＜a+1，求证： b＜a． 分析与证明 要学会充分利用不等式的基本性质，按照一定的逻辑顺序来展开推理论证． 由b＜c得2b＜b+c，由 b+c＜a+1得2b＜a+1，又由1＜a得1+a＜2a，所以2b＜1+a＜2a，即 b＜a 成立． 111++=a,试求x,y,z xyz1115分析与解 由题设可知 x≥1，y≥2，z≥3，所以0＃a++=1 12361111又因a是整数，故a=1,若x=1,则1++=1,+=0，与题意不符，所以x≠1。 yzyz11111147又 x≥3 时，a=++?+=<1，也不成立，故x只能为2。 xyz345601111当 x=2 时，+=1-= yz22例 10 若自然数x 111191+?=<不成立。 yz45202故本题只有一组解，即 x=2，y=3，z=6． 例 11 某地区举办初中数学联赛，有 A，B，C，D 四所中学参加，选手中， A， B 两校共 16 名；B，C 两校共 20名； C， D 两校共 34 名，并且各校选手人数的多少是按 A，B，C，D 中学的顺序选派的，试求各中学的选手人数． 解 设 A，B，C，D 四校的选手人数分别为 x，y，z，u．据题意有 ìx+y=16 ①??íy+z=20 ② ???z+u=34 ③由①，②可知，x+y＜y+z，所以 x＜z．又由于人数的多少是按 A，B，C，D 四校的顺序选派的，所以有 x＜y＜z＜u． 由①与 x＜y 得 16-y=x＜y，所以 y＞8．由②与 y＜z 得 20-y=z＞y，所以 y＜10．于是 8＜y＜10，所以 y=9(因为人数是整数)．将 y=9 代入①，②可知 x=7，z=11，再由③有 u=23． 故 A 校 7 人，B 校 9 人，C 校 11 人，D 校 23 人． 例 12 x5?3yz7850，其中x5表示十位数是x，个位数是5的两位数；3yz表示百位数是3,十位数是y，个位数是z的三位数，试确定x,y,z. 400,所以根据已知有7850?400x5８7850300 785785又因x5=10x+5,所以19<<10x+5?27 4030因 x 只能取 1，2，3，4，?，9 这九个数字，所以 x=2，所以3yz=7850?25314 3yz解 因为300＃所以 y=1，z=4． 所以 x=2，y=1，z=4． 练习八 1．如果 a＜b＜c，并且 x＜y＜z，那么在四个代数式(1) ax+by+cz；(2)ax+bz+cy； (3) ay+bx+cz；(4) az+bx+cy 中哪一个的值最大？ 25