A，B，C 三点共线．
思考若将问题加以推广：在l的同侧有n个点A1，A2，?，An-1，An，且有AiAi+1 l(i=1，2，?，n-1)．是否还有同样的结论？
例 7 如图1－30 所示．∠1=∠2，∠D=90°, EF⊥CD．求证：∠3=∠B．
分析 如果∠3=∠B，则应需EF∥BC．又知∠1=∠2，则有BC∥AD．从而，应有EF∥AD．这一点从条件 EF⊥CD 及D=90°不难获得．
证 因为∠1=∠2，所以AD∥BC(内错角相等，两直线平行)．
因为∠D=90°, EF⊥CD，所以AD∥EF(同位角相等，两直线平行)． 所以BC∥EF(平行公理)，所以∠3=∠B(两直线平行，同位角相等)．
练习十二
1．如图1－31所示．已知AB∥CD，∠B=100°,EF 平分∠BEC，EG⊥EF．求∠BEG和∠DEG．
2．如图1－32所示．CD是∠ACB 的平分线，∠ACB=40°∠B=70°,DE∥BC．求∠EDC 和∠BDC 的度数． 3．如图1－33 所示．AB∥CD，∠BAE=30°，∠DCE=60°EF、EG三等分∠AEC．问：EF与EG 中有没有与AB平行的直线，为什么？
4．证明：五边形内角和等于 540°
5．如图 1－34 所示．已知 CD 平分∠ACB，且 DE∥AC，CD∥EF．求证：EF 平分∠DEB．
第十三讲 从三角形内角和谈起
三角形的内角和等于180°(也称一个平角)是三角形的一个基本性质．从它出发可引出下面两个事实： (1)三角形的外角等于此三角形中与它不相邻的两个内角和．
如图1－35所示．延长三角形的三条边，由三角形一条边及另一条边的延长线所成的角称为该三角形的一个外角．如图1－35中的∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6．
由于∠1+∠ABC=180°(平角)，又∠BAC+∠BCA+∠ABC=180° 所以∠1=∠BAC+∠BCA．
同法可证∠3=∠BAC+∠ABC，∠5=∠ABC+∠ACB． (2)n边形的内角和等于(n-2)3180°
如图1－36所示．以n边形A1A2?An的某一个顶点(如A1)为共同顶点，将这个n边形“分割成”n-2个三角形△A1A2A3，△A1A3A4，?，△A1An-1An．由于每一个三角形的内角和等于180°，所以，这n-2个三角形的内角和(即n边形的内角和)为(n-2)3180°(详证见后面例6)．
三角形内角和等于180°这个事实有着广泛的应用．
例1如图1－37所示．平面上六个点A，B，C，D，E，F构成一个封闭折线图形．求：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F==360°．
分析 所求的六个角分布在三个三角形中，但需减去顶点位于P，Q，R处的三个内角，由图形结构不难看出，这三个内角可以集中到△PQR中．
解 在△PAB，△RCD，△QEF中， ∠A+∠B+∠APB=180° ① ∠C+∠D+∠CRD=180° ② ∠E+∠F+∠EQF=180° ③
又在△PQR中,∠QPR+∠PRQ+∠PQR=180° ④
又∠APB=∠QPR，∠CRD=∠PRQ，∠EQF=∠PQR(对顶角相等)． ①+②+③-④得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F==360°
说明 依据图形的特点，利用几何图形的性质将分散的角集中到某些三角形之中，是利用三角形内角和性质的前提．
例2求如图1－38所示图形中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的大小．
分析 如果我们注意力放在三角形内角和上，那么∠ABE=∠ABO+∠OBE，∠AEB=∠AED+∠OEB．而∠ABE，∠AEB属于△ABE，∠OBE，∠OEB属于△OBE，再注意到△OBE及△ODC中，因∠BOE=∠COD(对顶角)，因而，∠D+
36
∠C=∠OBE+∠OEB．从而，可求出题中五角和．
解法1 连接BE．在△COD中，∠C+∠D+∠COD=180° ① 在△ABE中，∠A+∠ABE+∠AEB=180° ② ①+②得(∠A+∠C+∠D)+∠COD+∠ABE+∠AEB=360° ③
又∠ABE=∠ABO(即为∠B)+∠OBE，∠AEB=∠AEO(即为∠E)+∠OEB． 故③式可化为(∠A+∠B+∠C+∠D+∠E)+(∠COD+∠OBE+∠OEB)=360°④ 由于∠COD=∠BOE(对顶角相等)，
在△BOE中∠COD+∠OBE+∠OEB=∠BOE+∠OBE+∠OEB＝180° 由④得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E =180°
解法2 如果我们注意到三角形外角的性质，结合图形(图1－39)会发现
在△OCD中有∠1=∠C+∠D，△APE中∠2=∠A+∠E，在△BOP中∠1+∠2+∠B=180°
从而有∠A+∠B+∠C+∠D+∠E =180°
说明 本例解法2比解法1简洁，因为我们应用了关于三角形外角的性质．
例3 如图1－40所示．在△ABC中，∠B的平分线与∠C的外角平分线交于D，且∠D=30°,求∠A的度数． 分析 D位于△BCD中，A位于△ABC中，它们位于两个不同的三角形之中，欲利用三角形内角和定理解决问题，就必须寻求两个三角形中内角之间的关系，角平分线的条件为我们提供了信息，事实上?DBC以及∠DCB=∠ACB+∠ACD(它是∠C外角的一半).
解 由已知，∠D=30°,在△BCD中，∠CBD+∠BCD=180°-30°=150°①
1 ABC,21 ABC ② 21 又因为CD是∠ACE的平分线，所以?ACD ACE
211 从而?BCD?ACB?ACE?ACB(?A ABC) ③
22111 由①，②，③得?ABC?ACB(?A?ABC)150靶,即ABC+?ACB?A150
222 因为BD是∠ABC的平分线，所以?CBD 又因∠ABC+∠ACB+∠A =180°, 所以∠A=60°
说明 解决本题的关键在于两条角平分线架起了△ABC与△BCD之间的桥梁，完成了从已知向未知的过渡．细心审题，发现已知与所求之间的联系，常是解题的重要前提．
例4 如图1-41所示．∠A=10°,∠ABC=90°,∠ACB=∠DCE，∠ADC=∠EDF，∠CED=∠FEG．求∠F的度数． 分析 如果我们能注意到所给的一系列等角条件正反映了内角与外角的关系，问题就不难解决．例如在∠ACB=∠DCE中，∠ACB是△ABC的一个内角，∠DCE是△ACD的外角．∠ADC=∠EDF及∠CED=∠FEG两个等式两边的角也是类似情况，这就为我们利用外角定理解题创造了机会．
解 在△ABC中，∠A=10°,∠ABC=90°,所以∠ACB＝80°,因为∠DCE=∠ACB=80°
在△ACD中，∠DCE是它的一个外角，所以∠DCE=∠A+∠ADC，即80°=10°+∠ADC，
所以∠ADC=70°,∠EDF=∠ADC=70°
在△ADE中，∠EDF是它的一个外角，所以∠EDF=∠A+∠AED，即70°=10°+∠AED，
所以∠AED=60°,∠FEG=∠AED=60°
在△AEF中，∠FEG是它的一个外角，所以∠FEG=∠A+∠F， 所以∠F=∠FEG-∠A=60°-10°=50°
例5 如图1－42所示．△ABC的边BA延长线与外角∠ACE的平分线交于D．求证：∠BAC＞∠B．
分析 三角形的外角定理的意义中已暗含着“三角形的外角大于三角形中与此外角不相邻的内角”的意义．证明有关三角形角的不等问题可从此下手．
证 BAC是△ACD的一个外角，因为∠BAC=∠1+∠D，
所以2∠BAC=2∠1+2∠D=∠ACE+2∠D＞∠ACE ①( 因为CD是∠ACE的平分线．) 又∠ACE是△ABC的一个外角，所以∠ACE=∠B+∠BAC．② 由①,②得2∠BAC＞∠B+∠BAC，所以∠BAC＞∠B．
37
由于多边形可以分割为若干个三角形，因而多边形的内角和可以转化为三角形内角和来计算．下面我们来求n(n≥3的自然数)边形的内角和．
例6 n边形的内角和等于(n-2)3180°。 分析 我们不妨先从具体情况入手．
当n=4时，如图1－43所示．四边形ABCD用一条对角线可以分割成两个三角形，因此四边形ABCD的内角和=三角形ABC的内角和+三角形ACD的内角和=23180°=360°。
当n=5时，如图1－44所示．五边形ABCDE用两条对角线可以分割为三个三角形．类似于n=4的情况，可证明：五边形ABCDE的内角和=33180°=540°。
由这两个具体实例，我们可以找到n边形的内角和的证明方法．
证在n边形A1A2A3?An中，以A1为一个端点，连接对角线A1A3，A1A4，?，A1An-1，共有(n-1)-3+1=n-3条对角线，将这个n边形分割成n-2个三角形．显然，这n-2个三角形的内角“合并”起来恰是这个n边形的n个内角，如图1-45所示． 所以n边形的内角和=(n-2)3180°
说明 (1)从具体的简单的问题入手常能找到解决复杂问题的思路．如本题从n=4，5入手，找到将多边形分割为三角形的方法(这是一个本质的方法)，从而可以推广到n为任意自然数的范围中去．
(2)各条边都相等，各个内角都相等的多边形称为正多边形．由本例自然可以推出正n边形每一个内角的大小．
设正n边形的一个内角大小为a，则n边形的内角和=na=(n-2)3180°
所以a=(n-2)窗180 n(5-2)窗180=108 5(10-2)正十边形的内角度数为a=窗180=144
10例如正五边形的内角的度数为a= 练习十三
1．如图1-46所示．求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的大小． 2．如图1-47所示．求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的大小． 3．如图1-48所示．求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的大小． 4．如图1-49所示．求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的大小．．
5．若多边形内角和分别为下列度数时，试分别求出多边形的边数：(1)1260° (2)2160°
6．证明：n边形的外角和等于360°
第十四讲 面积问题
我们已经学过的面积公式有：
(1)S三角形＝ah(其中h表示a边上的高) (2) S平行四边形=ah(其中h表示a边上的高)
(3) S梯形＝（a+b)h(其中a,b表示梯形中两条平行边的长，h表示平行边之间的距离)
由于多边形可以分割为若干个三角形，多边形的面积等于各三角形面积和，因此，三角形的面积是面积问题的基础．
等积变形是面积问题中富于思考性的有趣问题，它是数学课外活动的重要内容，这一讲中我们将花较多的篇幅来研究多边形的等积变形．
等积变形是指保持面积不变的多边形的变形．
三角形的等积变形是多边形等积变形的基础，关于三角形的等积变形有以下几个主要事实： (1)等底等高的两个三角形面积相等．
38
1212(2)两个三角形面积之比，等于它们的底高乘积之比． (3)两个等底三角形面积之比，等于它们的高之比． (4)两个等高三角形面积之比等于它们的底之比．
例1 已知△ABC中三边长分别为a，b，c，对应边上的高分别为ha=4，hb=5，hc=3．求a∶b∶c． 解 设△ABC的面积为S，则有
11153a?hab?hbc?hc2a=b=c 22222S2S2S122 所以a=,b=,c= 所以a:b:c=::=15:12:20
253253 S=说明 同一个三角形依面积公式可以有三种不同的表示法，由此获得三边之比．
2
例2 如图1－51，平行四边形ABCD的面积为64平方厘米(cm)，E，F分别为AB，AD的中点，求△CEF的面积．
分析 由于△CEF的底与高难以从平行四边行的面积中求出，因此，应设法将四边形分割为三角形，利用面积比与底(高)比来解决．
解 连接AC．E为AB中点，所以
S?BCE=11S?ABC=S?ABCD=16(平方厘米) 24 同理可得S△CDF=16（平方厘米）
连接DE，DB，F为AD中点，所以S?AEF=111S?AED=S?ABD=S?ABCD=8(平248方厘米)
从而S△CEF=S□ABCD-S△AEF-S△BCE-S△CDF=64-16-16-8=24(平方厘米)．
说明 (1)E，F是所在边的中点启发我们添加辅助线BD，DE．
(2)平行四边形的对角线将平行四边形分成两个三角形的面积相等是由平行四边形对边相等及平行线间的距离处处相等，从而这两个三角形的底、高相等获知的．
例3 如图1-52所示，已知△ABC的面积为1,且BD=111DC,AF=FD,CE=EF,求△DEF的面积。 222分析 直接求△DEF面积有困难，观察图形，发现△DEF与△DCF有共同的顶点D，其底边在同一条直线上，因而，高相同．所以
S?DEFEF2== S?DCFCF3于是，求△DEF的面积就转化为求△DCF的面积．用同样的办法可将△DCF的面积转化为△ADC的面积，进而转化为△ABC的面积．
解 因为CE=1EF,所以EF＝2CE,△DEF与△DCF有共同的项点D,且底边EF，CF在同一条直线上，所以2S?DEFEF2==，即EF∶CF=2∶3， S?DCFCF3同理，△DCF与△DCA有共同的顶点C，且底边DF，DA在同一条直线上，由已知DF∶DA=2∶3，
S?DCF2S2=,同样?DCA= S?DCA3S?BCA32222228所以S?DEF=S?DCF=?S?DCA=??S?BCA=
33333327所以
例4 面积方法证明：三角形两边中点连线平行于第三边．
分析与解如图1－53所示．设E，F分别是AB，AC的中点，可求得△EBC与△FBC的面积相等(均为△ABC面积的一半)．由于这两个三角形同底BC，因而这两个三角形的顶点E，F在一条与底边BC平行的直线上，所以EF∥BC．
说明 (1)从证题过程看出，条件“E，F是所在边的中点”可以推广为
S?CBES?BCFBES?CBECFS?BCFBECF骣AEAF琪=,=,则==或=等，事实上 琪BAS?CABCAS?BCAS?CABS?BCABACA桫ABAC从而S△CBE=S△BCF．
这两个三角形同底BC，因此，它们的顶点E，F的连线与底边平行．
39
(2)同样用面积的方法可以证明如下事实：三角形ABC中，若EF∥BC且AE∶EB=m，则AF∶FC=m(请同学们自己证明)．
例5如图1－54．在△ABC中，E是AB的中点，D是AC上的一点，且AD∶DC=2∶3，BD与CE交于F，S△ABC=40，求S四边形AEFD．
分析 四边形AEFD可分割为△AED与△DEF．从E是AB中点及D分AC为2∶3的条件看，△AED的面积不难推知，关键是如何推求△DEF的面积．为此，需通过添加辅助线的办法，寻求△DEF的面积与已知面积的关系．
解 取AD的中点G，并连接EG，在△ABD中，E是AB的中点，由例3知EG∥BD．又CD∶DG=3∶1，从而，在△CEG中，
CF∶FE=CD∶DG=3∶1(例3说明(2))， 所以S△DFC∶S△DFE=3∶1．
设S△DEF=x，则S△DFC=3x，S△DEC=4x．由于AD∶DC=2∶3， 所以S△EAD∶S△ECD=2∶3，
28820S?EC=x,S?ACE=x+4x=x 33331820又因E是AB的中点，所以S?ACE=S?ABC=20=x+4x=x，
233于时S?EAD=所以x=3，即S△DEF=3,所以S△ADE=8，所以S四边形AEFD=S△ADE+S+=8+3=11．
说明在三角形中，利用平行线实行比的转移，再利用等积变形，得到相应的面积的比，从而将欲求的△DEF的面积与已知的△ABC的面积“挂上了钩”．这里取AD的中点G，得到BD的平行线EG是关键．
例6 如图1-55所示．E，F分别是平行四边形ABCD的边AD，AB上的点，且BE=DF，BE与DF交于O．求证：C点到BE的距离等于它到DF的距离．
分析 过C作CG⊥BE于G，CH⊥FD于H，则CG，CH分别是C到BE，DF的距离，问题就是要证明CG=CH．结合已知，BE=DF，可以断言，△BCE的面积等于△CDF的面积．由于这两个三角形的面积都等于平行四边形ABCD面积的一半，因此它们等积，问题获解．
解 连接CF，CE．因为
S△BCE=S?BCE=11S?ABCD,S?CDF=S?ABCD 22所以S△BCE=S△CDF．
因为BE=DF，所以CG=CH(CG，CH分别表示BE，DF上的高)， 即C点到BE和DF的距离相等．
说明 (1)△BCE与△CDF是两个形状及位置完全不同的三角形，它们面积相等正是通过等积变形——都等于同一平行四边形的面积之半．
(2)通过等积变形可以证明线段的相等．
练习十四
1．如图1－56所示．在△ABC中，EF∥BC，且AE∶EB=m，求证：AF∶FC=m．
2．如图1－57所示．在梯形ABCD中，AB∥CD．若△DCE的面积是△DCB面积的
1，问△DCE的面积是△ABD面积的的几分之几？ 43．如图1－58所示．已知P为△ABC内一点，AP，BP，CP分别与对边交于D，E，F，把△ABC分成六个小三角形，其中四个小三角形的面积已在图中给出．求△ABC的面积．
4．如图1－59所示．P为△ABC内任意一点，三边a，b，c的高分别为ha，hb，hc，且P到a，b，c的距离分别为ta，tb，tc．
求证：
tatbtc++=1 hahbhc 40