ì3x+4y=m-4?5．若方程组í1的解满足 x+y=0，试求 m 的值．
?x-2y=3m+2?2
第六讲 一次不等式(不等式组 )的解法
不等式和方程一样，也是代数里的一种重要模型．在概念方面，它与方程很类似，尤其重要的是不等式具有一系列基本性质，而且“数学的基本结果往往是一些不等式而不是等式”．本讲是系统学习不等式的基础．
下面先介绍有关一次不等式的基本知识，然后进行例题分析． 1．不等式的基本性质
(1) a>b ? b0 ? a>b (3) a>b,b>c ? a>c
(4) a>b ? a+c>b+c (5) a>b,c>0 ? ac>bc (6) a>b,c<0 ? ac 这里特别要强调的是在用一个不等于零的数或式子去乘(或去除)不等式时，一定要注意它与等式的类似性质上的差异，即当所乘(或除)的数或式子大于零时，不等号方向不变(性质(5))；当所乘(或除)的数或式子小于零时，不等号方向要改变(性质(6))． 2．区间概念 在许多情况下，可以用不等式表示数集和点集．如果设 a，b 为实数，且 a＜b，那么 (1)满足不等式 a＜x＜b 的数 x 的全体叫作一个开区间，记作(a，b)．如图 1－4(a)． (2)满足不等式 a≤x≤b 的数 x 的全体叫作一个闭区间，记作[a，b]．如图 1－4(b)． (3)满足不等式a＜x≤b(或a≤x＜b)的x的全体叫作一个半开半闭区间，记作(a，b](或[a，b))．如图1－4(c)，(d)． a b x (a) a b x (b) 图1-4 a b x (c) a b x (d) 3．一次不等式的一般解法 一元一次不等式像方程一样，经过移项、合并同类项、整理后，总可以写成下面的标准型：ax＞b，或ax＜b．为确定起见，下面仅讨论前一种形式． 一元一次不等式 ax＞b． 骣bb,用区间表示为琪琪,+ aa桫骣bb(2) 当a<0时，解为x<,用区间表示为琪- , 琪a桫a(1) 当a>0时，解为x>(3) 当 a=0 时，若b>0,无解；若b<0,解为任意实数，用区间表示为(-∞,+∞)． 例 1 解不等式2(x+1)+x-27?x1 32解 两边同时乘以 6 得 12(x+1)+2(x-2)≥21x-6， 化简得 -7x≥-14，两边同除以-7，有 x≤2．所以不等式的解为 x≤2，用区间表示为(-∞，2]． 11(x-1)?(x2)的正整数解． 26177解 由原不等式可得x￡,所以x￡是原不等式的解，因为要求正整数解，所以原不等式的正整数解为 362例 2 求不等式(x+1)-x=1，2，3． 131+例 3 解不等式琪琪2 骣y桫3(骣y-2y2+1>琪1-琪桫2)(y2+1 )分析与解 因 y+1＞0，所以根据不等式的基本性质有1+化简得5y>6,因此不等式的解为y>yy-2 >1-3266,用区间表示为(,+∞)． 5511例 4 解不等式x+2+ >7+x-6x-6 16 分析 本题易犯的错误是直接消去两边的考虑到使原不等式有意义的条件：x≠6． 1，而将原不等式变形为x+2＞7，解为x＞5．这种错误没有x-6ìì?x16?x16解 将原不等式变形为í解之得í ???x+2>7?x>5所以原不等式的解为 x＞5 且 x≠6． 例 5 已知 2(x-2)-3(4x-1)=9(1-x)，且 y＜x+9，试比较 110y与y的大小 p31解 首先解关于 x 的方程得 x=-10．将 x=-10 代入不等式得y＜-10+9，即 y＜-1． 110110< 所以y>y p31p313x+31-2x例 6 解关于 x 的不等式： -2>2aa 又因为 解 显然 a≠0，将原不等式变形为3x+3-2a＞a-2ax， 即(3+2a)x＞(2a+3)(a-1)． 2 3且a 0时，解为x>a-1； 23 (2) 当3+2a=0,即a=-时，不等式变为0x>0,无解； 23 (3) 当3+2a<0,即a<-时，解为x 2 (1) 当3+2a>0,即a>-说明 对含有字母系数的不等式的解，也要分情况讨论． 例 7 已知 a，b 为实数，若不等式(2a-b)x+3a-4b＜0的解为x>解 由(2a-b)x+3a-4b＜0 得 (2a-b)x＜4b-3a ① ② 4，试求不等式(a-4b)x+2a-3b>0的解。 9ì2a-b<0 ①?4 根据题意，知此不等式的解为x>，所以应有í4b-3a4 9= ②??2a-b98 由②可求得a=b③ 7169 将③代入①得b-b<0,即b<0,所以 b＜0．于是不等式(a-4b)x+2a-3b＞0 可变形为 77骣骣208165琪 琪 即b-4bx+b-3b>0b-x->0 琪琪7777桫桫2051 因为 b＜0，所以-x-<0,所以x>- 77411 所以所求不等式的解为x>-,用区间表示为(-,+∞)． 44下面举例说明不等式组的解法． 不等式组的解是不等式组中所有不等式解的公共部分． 若不等式组由两个不等式组成，分别解出每一个不等式，其解总可以归纳成以下四种情况之一(不妨设α＜β)： 祆祆x>axaxbx 17 若不等式组由两个以上不等式组成，其解可由下面两种方法求得： (1)转化为求两两不等式解的公共部分．如求解 ì??? í????x<8x<1x>-9x>-5由íììì?x<8?x>-9?x<1解得x<1；由í解得x>-5，则原不等式转化为求解í， ????x<1?x>-5?x>-5 再求得解为-5 (2)不等式组的解一般是个区间，求解的关键是确定区间的上界与下界，如求解 ì-4 ì2x-5<3?1<3??1-x11x?<4(2x-3)< í 2?2??(x+5)-2?2x3?32?解 原不等式组可化为 ì4 11x??x<5?4(2x-3) 2424,用区间表示为(4,). 55ì?3mx-6<5-mx ① í??mx+x>(1-2m)x+8 ②解 解①得4mx＜11 ③ 解②得3mx>8 ④ ì?0?x<11 原不等式组无解． ??0?x>8ì11?x 8??x>3m?1181118 因为-=>0,所以>4m3m12m4m3m (1)当 m=0 时，③，④变为í 18 811 8??x<3m?1181118 因为 -=<0,所以<4m3m12m4m3m118 故原不等式组的解为 练习六 1．解下列不等式或不等式组： x-27?x1 (2) 4(x-5) 2mx-1>-[x(m+1)+m](2) 5ax-b>2ax+5b 3ìx-1>2(x-a)? (3) íax+2 >3x-4??22x+11-x3．求同时满足不等式6x-2?3x4和-<1的整数解。 32104．如果关于x的不等式(2a-b)x+a-5b>0的解为x<，那么关于 x 的不等式 ax＞b 的解是什么？ 7 (1)- 第七讲 含绝对值的方程及不等式 从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点离开原点的距离．但除零以外，任一个绝对值都是表示两个不同数的绝对值．即一个数与它相反数的绝对值是一样的．由于这个性质，所以含有绝对值的方程与不等式的求解过程又出现了一些新特点．本讲主要介绍方程与不等式中含有绝对值的处理方法． 一个实数 a 的绝对值记作|a|，指的是由 a 所唯一确定的非负实数： ìa,当a>0时??a=í0,当a=0时 ???-a,当a<0时含绝对值的不等式的性质： (1) |a|≥|b| ? a≥|b|或a≤-|b| ? -|a|≤b≤|a| (2) |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b| (3) |a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b| 由于绝对值的定义，所以含有绝对值的代数式无法进行统一的代数运算．通常的手法是分别按照绝对值符号内的代数式取值的正、负情况，脱去绝时值符号，转化为不含绝对值的代数式进行运算，即含有绝对值的方程与不等式的求解，常用分类讨论法．在进行分类讨论时，要注意所划分的类别之间应该不重、不漏．下面结 19 合例题予以分析． 例 1 解方程|x-2|+|2x+1|=7． 分析 解含有绝对值符号的方程的关键是去绝对值符号，这可用“零点分段法”，即令x-2=0,2x+1=0，分别得到x=2,x=-求解． 解 (1)当 x≥2 时，原方程化为(x-2)+(2x+1)=7，解之得x=所以x=1111，用2,-将数轴分成三段：x?2,?x2,x<-，然后在每一段上去掉绝对值符号再22228,它在所给的范置x≥2之内， 38是原方程的解。 311 (2) 当-?x2时，原方程化为-(x-2)+(2x+1)=7．解之得x=4，但它不在?x2的范围内，所以 22x=4不是原方程的解，应舍去． (3) 当x<-11时，原方程化为-(x-2)-(2x+1)=7．解之得x=-2,在所给的范围x<-之内， 228或x=-2 3所以x=-2是原方程的解。 综上，原方程的解为x=说明若在x的某个范围内求解方程时，若求出的未知数的值不属于此范围内，则这样的解不是方程的解，应舍去． 例 2 求方程|x-|2x+1||=3 的不同的解的个数． 分析 此方程有两层绝对值符号，先由此由2x+1=0得到x=-1111，然后分别对x=-,x>-,x<-考虑2222去掉里层的绝对值符号，使得方程转化为只含有一个绝对值符号的方程．然后再去掉外层的绝对值符号求解． 1时，原方程化为|x|=3，无解。 21 (2) 当x>-时，原方程化为|x-2x-1|=3 即|1+x|=3，解之得x=2或x=-4 21 因为x>-，所以x=-4舍去。 2124 (3) 当x<-时，原方程化为|x+2x+1|=3 即|3x+1|=3，解之得x=或x=- 23312 因为x<-,所以x=舍去。 234综上，所求方程的解只有x=2或x=-两个解，所以原方程不同的解的个数为2。 3解 (1) 当x=-例 3 若关于 x 的方程||x-2|-1|=a 有三个整数解．则 a 的值是多少？ 解 若 a＜0，原方程无解，所以 a≥0．由绝对值的定义可知|x-2|-1=±a，所以 |x-2|=1±a． (1)若 a＞1，则|x-2|=1-a＜0，无解．|x-2|=1＋a，x 只能有两个解 x=3+a 和 x=1-a． (2)若 0≤a≤1，则由|x-2|=1+a，求得x=1-a 或 x=3+a； 由|x-2|=1-a，求得x=1+a 或 x=3-a． 原方程的解为 x=3+a，3-a，1+a，1-a，为使方程有三个整数解，a 必为整数，所以 a 只能取 0 或 1． 当 a=0 时，原方程的解为 x=3，1，只有两个解，与题设不符，所以 a≠0． 当 a=1 时，原方程的解为 x=4，0，2，有三个解． 综上可知，a=1． 例 4 已知方程|x|=ax+1 有一负根，且无正根，求 a 的取值范围． 解 设x为方程的负根，则-x=ax+1，即x=设方程有正根 x，则 x=ax＋1，即x=-1，所以应有 a＞-1．反之，a＞-1 时，原方程有负根． a+11，所以 a＜1．反之，a＜1 时，原方程有正根． 1-a20 综上可知，若使原方程有一负根且无正根，必须 a≥1．