椭圆与双曲线的对偶性质92条
椭 圆
1．|PF1|?|PF2|?2a
x2y22．标准方程：2?2?1
ab|PF1|3．?e?1
d14．点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.
5．PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.
6．以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.
7．以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
8．设A1、A2为椭圆的左、右顶点，则△PF1F2在边PF2（或PF1）上的旁切圆，必与A1A2所在的直线切于A2（或A1）.
x2y29．椭圆2?2?1（a＞b＞o）的两个顶点为A1(?a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交椭圆
abx2y2于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是2?2?1.
abx0xy0yx2y2?2?1. ??110．若P在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是(x,y)P0000222ababx2y211．若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点
abxxyy弦P1P2的直线方程是02?02?1.
abx2y212．AB是椭圆2?2?1的不平行于对称轴且过原点的弦，M为AB的中点，则
abb2kOM?kAB??2.
ax2y2?2?1内，则被Po所平分的中点弦的方程是13．若P0(x0,y0)在椭圆2abx0xy0yx02y02?2?2?2. a2babx2y2x2y2x0xy0y14．若P则过Po的弦中点的轨迹方程是2?2?2?2. (0,y0)在椭圆2?2?1内，0xabababx2y215．若PQ是椭圆2?2?1（a＞b＞0）上对中心张直角的弦，则
ab1111???(r1?|OP|,r2?|OQ|). r12r22a2b2x2y216．若椭圆2?2?1（a＞b＞0）上中心张直角的弦L所在直线方程为Ax?By?1(AB?0),
ab 1
112a4A2?b4B222则(1) 2?2?A?B;(2) L?. 2222abaA?bBa2?b22ab)17．给定椭圆C1：bx?ay?ab（a＞b＞0）, C2：bx?ay?(2,则(i)2a?b对C1上任意给定的点P0(x0,y0),它的任一直角弦必须经过C2上一定点
2222222222a2?b2a2?b2x0,?22y0). M((2a?b2a?b'''(ii)对C2上任一点P'0(x0',y0')在C1上存在唯一的点M,使得M的任一直角弦都经过P0点. x2y218．设P0(x0,y0)为椭圆（或圆）C:2?2?1 (a＞0,. b＞0)上一点，P1P2为曲线C的动弦,
ab且弦P0P1, P0P2斜率存在，记为k1, k 2, 则直线P1P2通过定点M(mx0,?my0)(m?1)的充要条件是1?mb2k1?k2???2.
1?max2y219．过椭圆2?2?1 (a＞0, b＞0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆
abb2x0于B,C两点，则直线BC有定向且kBC?2（常数）.
ay0x2y220．椭圆2?2?1 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点?F1PF2??，
ab则椭圆的焦点角形的面积为
2a22?2?bS?F1PF2?btan，P(c?btan,tan) .
2c2c2x2y221．若P为椭圆2?2?1（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, ?PF1F2??,
aba?c???tancot. ?PF2F1??，则
a?c22x2y222．椭圆2?2?1（a＞b＞0）的焦半径公式：
ab|MF1|?a?ex0,|MF2|?a?ex0(F1(?c,0) , F2(c,0)M(x0,y0)).
2?x2y223．若椭圆2?2?1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当
ab0＜e≤2?1时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.
x2y224．P为椭圆2?2?1（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则
ab2a?|AF2|?|PA|?|PF1|?2a?|AF1|,当且仅当A,F2,P三点共线时，等号成立.
x2y225．椭圆2?2?1（a＞b＞0）上存在两点关于直线l：y?k(x?x0)对称的充要条件是
ab(a2?b2)22x0?2. 22a?bk26．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.
2
27．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.
?x?acos?28．P是椭圆?（a＞b＞0）上一点，则点P对椭圆两焦点张直角的充要条件是
y?bsin??1. e2?21?sin?x2y2x2y229．设A,B为椭圆2?2?k(k?0,k?1)上两点，其直线AB与椭圆2?2?1相交于
ababP,Q,则AP?BQ.
x2y21?(2?2)x2y22ab30．在椭圆2?2?1中，定长为2m（o＜m≤a）的弦中点轨迹方程为m?,2abcos?sin2??22ab22bx?其中tan???22,当y?0时, ??90.
ayx2y231．设S为椭圆2?2?1（a＞b＞0）的通径，定长线段L的两端点A,B在椭圆上移动，
abca2l222?记|AB|=l，M(x0,y0)是AB中点，则当l??S时，有(x0)max?(c?a?b,e?);当
ac2eal??S时，有(x0)max?4b2?l2,(x0)min?0.
2bx2y22222232．椭圆2?2?1与直线Ax?By?C?0有公共点的充要条件是Aa?Bb?C.
ab(x?x0)2(y?y0)2??1与直线Ax?By?C?0有公共点的充要条件是33．椭圆
a2b2A2a2?B2b2?(Ax0?By0?C)2.
x2y234．设椭圆2?2?1（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意
absin?c??e. 一点，在△PF1F2中，记?F1PF2??, ?PF1F2??,?F，则有FP??12sin??sin?a35．经过椭圆b2x2?a2y2?a2b2（a＞b＞0）的长轴的两端点A1和A2的切线，与椭圆上任
2一点的切线相交于P1和P2，则|PA1|?|PA2|?b.
x2y236．已知椭圆2?2?1（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OP?OQ.
ab4a2b2111122
??2?2;（2）|OP|+|OQ|的最大值为22;（3）S?OPQ的最小值是（1）22a?b|OP||OQ|aba2b2.
a2?b237．MN是经过椭圆bx?ay?ab（a＞b＞0）过焦点的任一弦，若AB是经过椭圆中心O且平行于MN的弦，则|AB|?2a|MN|.
38．MN是经过椭圆bx?ay?ab（a＞b＞0）焦点的任一弦，若过椭圆中心O的半弦
2222222222222 3
OP?MN，则
2111???.
a|MN||OP|2a2b2x2y239．设椭圆2?2?1（a＞b＞0）,M(m,o) 或(o, m)为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，
ab过M引一条直线与椭圆相交于P、Q两点，则直线A1P、A2Q(A1 ,A2为对称轴上的两顶点)的交点N
a2b2在直线l：x?(或y?)上.
mm40．设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和
AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.
41．过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.
x2y242．设椭圆方程2?2?1,则斜率为k(k≠0)的平行弦的中点必在直线l：y?kx的共轭直
abb2''线y?kx上,而且kk??2.
ax2y243．设A、B、C、D为椭圆2?2?1上四点,AB、CD所在直线的倾斜角分别为?,?，直线
ab|PA|?|PB|b2cos2??a2sin2?AB与CD相交于P,且P不在椭圆上,则. ?2222|PC|?|PD|bcos??asin?x2y244．已知椭圆2?2?1（a＞b＞0）,点P为其上一点F1, F 2为椭圆的焦点，?F1PF2的外
ab（内）角平分线为l，作F1、F2分别垂直l于R、S，当P跑遍整个椭圆时，R、S形成的轨迹方程是x2?y2?a2({b2y2?[(a?ce)(x?c)]2}?(x2?y2?cx)2?[ce(x?c)]2).
45．设△ABC内接于椭圆?，且AB为?的直径，l为AB的共轭直径所在的直线，l分别交直线AC、BC于E和F，又D为l上一点，则CD与椭圆?相切的充要条件是D为EF的中点.
x2y246．过椭圆2?2?1（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的
ab|PF|e?. 垂直平分线交x轴于P，则
|MN|2x2y2b2x147．设A（x1 ,y1）是椭圆2?2?1（a＞b＞0）上任一点，过A作一条斜率为?2的直
abay1线L，又设d是原点到直线 L的距离, r1,r2分别是A到椭圆两焦点的距离，则rr12d?ab.
x2y2x2y248．已知椭圆2?2?1（ a＞b＞0）和2?2??（0???1 ），一直线顺次与它们相
abab交于A、B、C、D四点，则│AB│=|CD│.
x2y249．已知椭圆2?2?1（ a＞b＞0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与
aba2?b2a2?b2?x0?x轴相交于点P(x0,0), 则?. aax2y250．设P点是椭圆2?2?1（ a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记
ab 4
?2b22.(2) S?PF1F2?btan. ?F1PF2??，则(1)|PF1||PF2|?21?cos?51．设过椭圆的长轴上一点B（m,o）作直线与椭圆相交于P、Q两点，A为椭圆长轴的左顶
点，连结AP和AQ分别交相应于过B点的直线MN：x?n于M，N两点,则
a?ma2?MBN?90?. ?22a?mb(n?a)x2y252．L是经过椭圆2?2?1（ a＞b＞0）长轴顶点A且与长轴垂直的直线，E、F是椭圆两
ab个焦点，e是离心率,点P?L，若?EPF??，则?是锐角且sin??e或??arcsine（当且
ab仅当|PH|?时取等号）.
cx2y253．L是椭圆2?2?1（ a＞b＞0）的准线，A、B是椭圆的长轴两顶点,点P?L，e是离
ab?EPF??，心率，H是L与X轴的交点c是半焦距，则?是锐角且sin??e或??arcsine（当
ab且仅当|PH|?时取等号）.
cx2y254．L是椭圆2?2?1（ a＞b＞0）的准线，E、F是两个焦点，H是L与x轴的交点，点
abP?L，?EPF??,离心率为e，半焦距为c，则?为锐角且sin??e2或??arcsine2（当且
b22a?c时取等号）. 仅当|PH|?cx2y255．已知椭圆2?2?1（ a＞b＞0），直线L通过其右焦点F2,且与椭圆相交于A、B两点，
ab(2a2?b2)22将A、B与椭圆左焦点F1连结起来，则b?|F1A|?|F1B|?（当且仅当AB⊥x轴时右
a2?边不等式取等号，当且仅当A、F1、B三点共线时左边不等式取等号）.
x2y256．设A、B是椭圆2?2?1（ a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，?PAB??,
ab2ab2|cos?|?PBA??,?BPA??，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)|PA|?22.(2)
a?ccos2?2a2b22cot?. tan?tan??1?e.(3) S?PAB?2b?a2x2y257．设A、B是椭圆2?2?1（ a＞b＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点）、外部的
ab2两点，且xA、xB的横坐标xA?xB?a，（1）若过A点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，则
??PBA??QBA；（2）若过B引直线与这椭圆相交于P、Q两点，则?PBA??QBA?180.
x2y258．设A、B是椭圆2?2?1（ a＞b＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点），外部的
ab两点，（1）若过A点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，（若B P交椭圆于两点，则P、Q不关于x轴对称），且?PBA??QBA，则点A、B的横坐标xA、xB满足xA?xB?a；（2）若过B点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，且?PBA??QBA?180,则点A、B的横坐标满足xA?xB?a.
?22 5