x2y2'59．设A,A是椭圆2?2?1的长轴的两个端点，QQ'是与AA垂直的弦，则直线AQ与
abx2y2''AQ的交点P的轨迹是双曲线2?2?1.
abx2y260．过椭圆2?2?1（ a＞b＞0）的左焦点F作互相垂直的两条弦AB、CD则
ab8ab22(a2?b2)?|AB|?|CD|?. 22a?baa?cx2y261．到椭圆2?2?1（ a＞b＞0）两焦点的距离之比等于（c为半焦距）的动点M
bab的轨迹是姊妹圆(x?a)2?y2?b2.
'a?cx2y262．到椭圆2?2?1（ a＞b＞0）的长轴两端点的距离之比等于（c为半焦距）的
baba2b22动点M的轨迹是姊妹圆(x?)?y?().
eea?cx2y263．到椭圆2?2?1（ a＞b＞0）的两准线和x轴的交点的距离之比为（c为半焦
baba2b22距）的动点的轨迹是姊妹圆(x?2)?y?(2)（e为离心率）.
eex2y264．已知P是椭圆2?2?1（ a＞b＞0）上一个动点，A',A是它长轴的两个端点,且
abx2b2y2''AQ?AP,AQ?AP，则Q点的轨迹方程是2?4?1.
aa65．椭圆的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之长
的比例中项.
x2y266．设椭圆2?2?1（ a＞b＞0）长轴的端点为A,A',P(x1,y1)是椭圆上的点过P作斜率
abb2x1为?2的直线l，过A,A'分别作垂直于长轴的直线交l于M,M',则
ay1''（1）|AM||AM|?b2.（2）四边形MAAM面积的最小值是2ab.
''x2y267．已知椭圆2?2?1（ a＞b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直
ab线与椭圆相交于A、B两点,点C在右准线l上，且BC?x轴，则直线AC经过线段EF 的中点.
(x?a)2y2?2?1（ a＞0,b＞0）的两条互相垂直的弦，O为坐标原点，68．OA、OB是椭圆2ab2ab2,0).(2) 以O A、O B为直径的两圆的另一个交点Q的轨则（1）直线AB必经过一个定点(22a?bab222ab22迹方程是(x?22)?y?(22)(x?0).
a?ba?b(x?a)2y2?2?1（a＞b＞0）上一个定点，P A、P B是互相垂直的弦，69．P(m,n)是椭圆2ab 6
2ab2?m(a2?b2)n(b2?a2),2).（2）以P A、P B为直径的两则（1）直线AB必经过一个定点(222a?ba?b圆的另一个交点Q的轨迹方程是
ab2?a2m2b2n2a2[b4?n2(a2?b2)](x?m且y?n). (x?22)?(y?22)?a?ba?b(a2?b2)270．如果一个椭圆短半轴长为b，焦点F1、F2到直线L的距离分别为d1、d2，那么（1）d1d2?b2，且F1、F 2在L 同侧?直线L和椭圆相切.（2）d1d2?b2，且F1、F2在L同侧?直线L 和椭圆相离，（3）d1d2?b2，或F1、F2在L异侧?直线L和椭圆相交.
x2y271．AB是椭圆2?2?1（a＞b＞0）的长轴，N是椭圆上的动点，过N的切线与过A、B
ab的切线交于C、D两点，则梯形ABDC的对角线的交点M的轨迹方程是x2?4a2y2?1(y?0). x2y2x2y272．设点P(x0,y0)为椭圆2?2?1（ a＞b＞0）的内部一定点，AB是椭圆2?2?1过
abab定点P(x0,y0)的任一弦，当弦AB平行（或重合）于椭圆长轴所在直线时a2b2?(a2y02?b2x02)(|PA|?|PB|)max?.当弦AB垂直于长轴所在直线时,
b2a2b2?(a2y02?b2x02)(|PA|?|PB|)min?.
b273．椭圆焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切. 74．椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点. 75．椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值a+c与a-c. 76．椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c. 77．椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). 注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.
78．椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 79．椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.
80．椭圆焦三角形中,椭圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例.
81．椭圆焦三角形中,半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.
82．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行.
83．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足的距离为椭圆长半轴的长.
84．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和椭圆长轴为直径的圆的切点.
85．椭圆焦三角形中,非焦顶点的外角平分线与焦半径、长轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e.
86．椭圆焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线. 87．椭圆焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线.
88．椭圆焦三角形中,过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点.
x2y289. 已知椭圆2?2?1(a?0,b?0)(包括圆在内)上有一点P,过点P分别作直线
ab 7
bbx及y??x的平行线，与直线OP分别交于R,Q,O为原点，则：. aa（1）|OM|2?|ON|2?a2；（2）|OQ|2?|OR|2?b2.
bb90. 过平面上的P点作直线l1:y?x及l2:y??x的平行线，分别交x轴于M,N，交yaax2y2222轴于R,Q.（1）若|OM|?|ON|?a，则P的轨迹方程是2?2?1(a?0,b?0).(2)若
abx2y2222|OQ|?|OR|?b，则P的轨迹方程是2?2?1(a?0,b?0).
abx2y291. 点P为椭圆2?2?1(a?0,b?0)(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点，过P引
abbx轴、y轴的平行线，交y轴、x轴于M,N，交直线y??x于Q,R，记 ?OMQ与?ONRaab的面积为S1,S2，则：S1?S2?.
292. 点P为第一象限内一点，过P引x轴、y轴的平行线，交y轴、x轴于M,N，交直线baby??x于Q,R，记 ?OMQ与?ONR的面积为S1,S2，已知S1?S2?，则P的轨迹方程
a2x2y2是2?2?1(a?0,b?0). aby?
双曲线
1．||PF1|?|PF2||?2a
x2y22．标准方程：2?2?1
ab|PF1|3．?e?1
d14．点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.
5．PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.
6．以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.
7．以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切.
8．设A1、A2为双曲线的左、右顶点，则△PF1F2在边PF2（或PF1）上的旁切圆，必与A1A2所在的直线切于A2（或A1）.
x2y29．双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的两个顶点为A1(?a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交
abx2y2双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是2?2?1.
abx2y210．若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）上，则过P0的双曲线的切线方程是
abx0xy0y?2?1. 2ab 8
x2y211．若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点
abxxyy为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是02?02?1.
abx2y212．AB是双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴且过原点的弦，M为AB的中点，
abb2则kOM?kAB?2.
ax2y213．若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是
abx0xy0yx02y02?2?2?2. 2ababx2y214．若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是
abx2y2x0xy0y?2?2?2. 2ababx2y215．若PQ是双曲线2?2?1（b＞a ＞0）上对中心张直角的弦，则
ab1111???2(r1?|OP|,r2?|OQ|). 222r1r2abx2y216．若双曲线2?2?1（b＞a ＞0）上中心张直角的弦L所在直线方程为
ab112a4A2?b4B222Ax?By?1(AB?0),则(1) 2?2?A?B;(2) L?2222.
ab|aA?bB|a2?b2ab)2,则17．给定双曲线C1：bx?ay?ab（a＞b＞0）, C2：bx?ay?(22a?b(i)对C1上任意给定的点P0(x0,y0),它的任一直角弦必须经过C2上一定点
2222222222a2?b2a2?b2x,?22y0). M((220a?ba?b'''(ii)对C2上任一点P'0(x0',y0')在C1上存在唯一的点M,使得M的任一直角弦都经过P0点. x2y218．设P0(x0,y0)为双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）上一点，P1P2为曲线C的动弦,且弦P0P1,
abP0P2斜率存在，记为k1, k 2, 则直线P1P2通过定点M(mx0,?my0)(m?1)的充要条件是1?mb2k1?k2??.
1?ma2x2y219．过双曲线2?2?1（a＞0,b＞o）上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交
abb2x0双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且kBC??2（常数）.
ay0 9
x2y220．双曲线2?2?1（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点
ab?，?F1PF2??，则双曲线的焦点角形的面积为S?F1PF2?b2cot22a22?2?bP(c?btan,cot) . c2c2x2y221．若P为双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点,
abc?a??c?a???tancot（或?tancot）. ?PF1F2??, ?PF2F1??，则
c?a22c?a22x2y222．双曲线2?2?1（a＞0,b＞o）的焦半径公式：(F1(?c,0) , F2(c,0)
ab当M(x0,y0)在右支上时，|MF1|?ex0?a,|MF2|?ex0?a.
当M(x0,y0)在左支上时，|MF1|??ex0?a,|MF2|??ex0?a.
x2y223．若双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当
ab1＜e≤2?1时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.
x2y224．P为双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则
ab|AF2|?2a?|PA|?|PF1|,当且仅当A,F2,P三点共线且P和A,F2在y轴同侧时，等号成立. x2y225．双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）上存在两点关于直线l：y?k(x?x0)对称的充要条件
ab(a2?b2)22是x0?2.
a?b2k226．过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.
27．过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.
28．P是双曲线?条件是e?2?x?asec?（a＞0，b＞0）上一点，则点P对双曲线两焦点张直角的充要
?y?btan?1. 21?tan?x2y229．设A,B为双曲线2?2?k（a＞0,b＞0，k?0,k?1）上两点，其直线AB与双曲线
abx2y2??1相交于P,Q,则AP?BQ. a2b2x2y21?(2?2)x2y22ab30．在双曲线2?2?1中，定长为2m（m）0）的弦中点轨迹方程为m?,22cos?sin?ab?22ab 10