（概率课后习题答案详解）
董永俊
PB(X?1)?1-P(X?0)?1-C50p?1?p?05?1?1?1?(1?0.0668)5?0.2923
即样本的最大值大于15的概率是0.2923
第七章参数估计
7.1解因为:立同分布所以有
??用样本均值X代替总体均值，则p的矩估计为pXm是抽自二项分布B（m,p）的样本，故都独
E(X)?mp
7.2解：E(x)????0?e??x?xdx?1? 用样本均值x代替总体均值，则?的矩估计为
???1E(x)?1x
由概率密度函数可知联合密度分布函数为：
nL(?)??e??x1??e??x2????e??xn??enin???xii?1 对它们两边求对数可得
nln(L(?))?ln(?ne???xii?1)?nln????i?1x 对?求导并令其为0得
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?ln(L(?))???n???i?1nxi?0 即可得?的似然估计值为???11nn?1x
?i?1xi7.3解:记随机变量x服从总体为[0,]上的均匀分布，则
E(X)?0??2??2 故的矩估计为???2X
X的密度函数为p(x)?1故它的是似然函数为
?L(?)?1nn??Ii?1{0?Xi???}1?nI{X(n)??}要使L(?)达到最大，首先一点是示性
nn函数的取值应该为1，其次是1?尽可能大。由于1?是的单调减函数，所以的取值应该尽可能小，但示性函数为1决定了不能小于
,因此给出的最大似然估计??? ，}）
=min{
}
（示性函数I==max{
7.4解:记随机变量x服从总体为[,]上的均匀分布，则
E(X)???2?2?3?2 所以的矩估计为???123X
X的密度函数为p(x)?故它的是似然函数为
?L(?)?1nn??Ii?1{??Xi??2?}1?nI{??x(1)?x(n)??2?}1?nI{x(n)???2x(1)}
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要使L(?)达到最大，首先一点是示性函数的取值应该为1，其次是1?尽可能大。由于1?是的单调减函数，所以的取值应该
nn尽可能小，但示性函数为1决定了不能小于,因此给出的最大似然估计???
7.5 解:似然函数n为:nXL(?2)??1i??)212?2?(2??)2i?1
i?12??e?(?2)?n2e?2?2?(Xi?它的对数为:lnL(?2)??n2n)?122ln(2?)?n2ln(??2?2i?1(Xi??)
对?2求偏导并令它等于零有
?lnL(?2)n??n?12??22?22?4?i?1(Xi??)?0
解得?2的似然估计值为 ??2n?12n?i?1(Xi??)
7.6解:根据所给的概率密度函数是指数函数的密度函数可知E(x)????-?xf(x)dx?????x?0x?1?edx??
Var(X)??2
(1)
E(??1)?E(X1)??
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E(??2)?E(X1?2X2)?12(E(X1)?E(X2))?12?2???
E(??)?E(X31?2X23)?13(E(X1)?2E(X2))?13?3???
13XE(?)?E(X)?E(?41?X32?X3)?13(E(X1)?E(X2)?E(X3))??3???
故这四个估计都是的无偏估计.. （2）Var(??)?Var(X1)??12
142Var(??2)?Var(X1?2X2)?14(Var(X1)?Var(X2))??2???
22Var(??)?Var(3X1?2X32)?19(Var(X1)?4Var(X2))?19?5?2?5?
9192Var(??4)?Var(X1?X2?3X3)?19(Var(X1)?Var(X2)?Var(X3))??3?2??
32故有
Var(??)?Var(??)?Var(??)?Var(??)
42317.7证明（1）因为X服从[
E(X)?]上的均匀分布，故
????12???1212
故样本均值不是的无偏估计
???X?12E(X)?E(X)?????（2）由（1）可知的矩估计为
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又
E(??)?E(X?12)???112?2?? 故它是
无偏估计.
7.8解;因为Var(??)?E(c??22221?(1?c)??2)?c?1?(1?c)?2
要使Var(??)最小则对Var(??)关于c求一阶导并令其等于零可得
?Var(??)?c?2c?21?2(1?c)?22?0
2解得
c??2
?2??2122因为对Var(??)关于c求二阶导可得 ?Va(r??)?c2?2?21?2?22?0
故当c??2222Var(??)?达到最小。
1??时27.9 解(1)根据题意和所给的数据可得
??0.05,n?16,Z???1.96,2.125
2Z0.025?2?0.012,X??2nZ??0.01?0.0049
216?1.96所以?的置信区间为
[X????nZ,X?2nZ?]?[2.125?0.0049,2.125?0.0049]?[2.1201,2.1299]
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