7. 互斥（或不相容）—事件不交集
在集合论中,若AB??,则表明A,B没有公共元素，它们互不相交。对应于事件,若。 AB??，则表明A，B不同时发生，称A与B互斥（或不相容）
图1.6 AB??的文氏图
8. 必然事件和不可能事件—样本空间和空集
有两个特殊的集合需要特别讨论，一个是样本空间本身，从集合的定义容易推断出?是它自身的子集，从包含关系???的左边取一个元素使它不在右边集合中，显然是不可能的，因此???。又假设存在集合?，该集合不包含任何元素（空的集合），?必定是每一个集合的子集，对任何子集A，要从?中找到一个元素不在A中，显然是不可能的，因为?没有元素，因此，??A成立。
对应于事件，称试验必然会出现的结果为必然事件。例如，例1.1.1的E2中“点数小于7”应是一种结果，其发生是必然的。显然，必然事件含有样本空间的全部样本点，因此用样本空间的字母?表示必然事件是很自然的。此外，将不可能出现的结果称作不可能事件，记作?，它对应于集合论中的空集。如E4中“射击次数小于0”就是一个不可能事件。显然，不可能事件不含有样本点。
注意到以下等式总是成立的
???, ???, ??A??, ??A?A,A?A??, A?A??, A?A.上述事件间的关系与运算可由集合论中的文氏图予以展示。
与集合运算一样，事件的运算亦有如下的运算律： 1．交换律：A?B?B?A，AB?BA；
2．结合律：A?(B?C)?(A?B)?C，A?(B?C)?(A?B)?C；
3．分配律：A?(B?C)?(A?B)?(A?C)，A?(B?C)?(A?B)?(A?C)； 4．对偶律：A?B?A?B，A?B?A?B。
上述运算律亦可推广到任意有限个或可列个事件的情况。例如，对n个事件
6
??
Bi(i?1,2,?,n)有分配律
nnnn????A???Bi????A?Bi?，A???Bi????A?Bi? ?i?1?i?1?i?1?i?1对偶律留给读者自行写出。
B1 B2 B3 A B6 B5 B4 B图1.7 n个事件的关系图
对可列个事件A,2,?,n,?)的分配律也留给读者，此处给出有对偶律 i(i?1Bi?1?Ai??Ai
i?1??及
i?1?Ai??Ai
i?1??为帮助读者熟悉事件的运算。以三个集合为例，A、B和C的并集，如图1.8的文氏图是有用的。根据图1.8，请读者检验这些等式：
A?B?C?A?B?A,A?A?B?A?B?C
A?(B?C)?(A?B)?(A?C),A?(B?C)?(A?B)?(A?C)
图1.8 三个事件的关系图
例 1.1.3 设??
?1,2,?,20?是1到20二十个数字组成的集合, O表示?中全体奇
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数的集合,E表示?中偶数的集合,令A表示”? 中能被3整除的数”，B表示”? 中能被5整除的数”, C表示”? 中能被15整除的数”, 则 A??3, 6,9,12,15,18?, B??5,10,15,20?,C?{15}
?6,12,18?，
C?B,
于是 O?E??, O?E?? , O?E,A?E? A?B?C， B?O? A?B? A?B??5,15?, C?A,?3, 5, 6,9,10,12,15,18,20?
?3, 6,9,12,18?,B?A??5,10,20? □
例 1.1.4 已知一批机器螺钉中含有许多次品，随机抽取三个并检验。令A,B,C分别表示其第一、二、三次所抽到的螺钉是次品的事件。试用A,B,C及其运算表示下列事件： （1）第三次抽到正品；（2）只有第三次抽到次品；（3）恰有一次抽到次品；（4）至少有一次抽到次品；（5）不止一次抽到次品（或至少抽到两个次品）；（6）没有抽到次品。
解 （1）C. （2）ABC. （3）ABC?ABC?ABC.
（4）A?B?C. （5）AB?AC?BC. （6）A?B?C?A?B?C. □
§1.2 概 率
概率是定量地来描述随机事件发生的可能性的数值度量。然而在概率论发展过程中，对概率的定义足足经历了三百余年的探索，在经历了古典概率、几何概率、统计概率等版本的概率定义之后，人们最终接受了前苏联数学家柯尔莫戈洛夫于1933年建立的概率公理化体系。目前多数概率论教科书都采用概率的公理化定义，这要从随机事件的频率谈起。
1.2.1 频率与概率 如前所述，概率是事件发生可能性大小的度量，那么什么样的数能够准确地描述事件发生可能性的大小呢？
考虑一系列在相同条件下重复做的相同实验。在实验的最初n次重复试验中，假设nA表示事件A发生的次数。那么nA/n的比值则给出了在最初n次试验中事件A发生的比例。例如，如果是投掷硬币的实验，如果事件A相对应“正面（即头像那面）”，那么nA/n给出了在最初n次投掷中正面的次数。直观上感觉随着n的增加，nA/n的比值应该稳定且接近某些可以测量事件A发生可能性的固定数值。这样，可以用下面的方式来指定事件的概率：
nP(A)?limA
n??n （1.2.1）
当然可能无法验证（1.2.1）式中极限的存在性，现实试验可能没有无穷大序列。尽管如
此，直觉上希望能有一个数学模型来支持这个公式的正确性。 继续观测重复投掷一枚硬币的试验，发现如果硬币是均匀的，只要掷币次数足够多，那
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么出现正面的频率会接近
11. 这样由（1.2.1）式，指定P(正面)的值为。事实上，可以在221lim(nA/n)?情况下定义掷一枚硬币“出现正面”的概率。图1.9给出了一个nA/n可能n??2的图形，其中n是100次的投掷。尽管这个图形既没有证明nA/n极限的存在，也没有保证即使这个极限存在，它的值就是的结果。
1.110.90.80.71。它只是用图形说明，从一个相对频率序列中期望得到2nA/n0.60.50.40.30.20.1005101520253035404550556065707580859095
图1.9 在100次投掷中出现正面的比例
无疑地，至少在概念上可以模拟重复试验，例如硬币投掷、玩扑克牌游戏等。此外，还可以对更复杂的随机试验用概率模拟，例如，通过使用测量工具，对制造过程某一部分的强度测量来进行概率模拟。因此在工程和科学应用中，这个相对频率的概率解释给出一个概率测量的适当模型。这就是说，对于许多工程问题，可以想象许多次地重复一个试验，并可以测量“试验可能出现的某个结果”的次数。因此，一个概率测量的任何数学解释，必须解释在这个相对频率意义下的概率。 尽管在许多工程应用和游戏中，可以用相对频率逼近概率，但在另外一些场合还是不恰当的。一个概率测量的数学解释必须独立于任何预想的应用。迄今为止的现代概率论开始于一系列的概率公理化的解释，并没有提到概率实际上是怎么得到的。如何决定一个强烈依赖于随机试验的给定事件的实际概率是受客观条件限制的，因此一个真实概率的确定是一个超数学问题。从概率应当满足后面的概率公理的前提开始，不论这些概率是由一个随机试验的重复性来决定还是基于个人的判断，或是采纳了专家的意见，这些与对概率论的学习是不相关的。
定义1.2.1 称在相同条件下所做的n次试验中事件A发生的次数nA为A发生的频数，并称比值
nA为事件A发生的频率，记作 n 9
fn(A)?nA. n借助这一术语，可以说，事件发生的频率在一定程度上反映了事件发生的可能性的大小。 为什么要加上“在一定程度上”这一限定语呢？因为频率不是一成不变的。例如，若将上述试验重新再做10次，则A不一定仍然发生7次，或许结果是A发生了4次，这是完全有可能的。
如此说来，频率还能够真实地反映事件发生的可能性的大小吗？回答依然是肯定的。条件是试验次数n要足够大。这里要指出一个重要的事实。这就是，尽管n次试验中事件A发生的频数nA不是一个固定的数，从而频率大时，频率
但当试验的次数n较fn(A)也不是一个固定的数，
fn(A)会趋于稳定。
将这样一个客观存在的数pfn(A)十分稳定地在其上下做窄幅变动。
人们从大量的实践中观察到的频率的稳定性令人们推测，应该有一个由事件A自身所决定的常数p存在，使
称作事件A的概率应当是合乎逻辑的。
定义1.2.2 在相同条件下所做的n次试验中，当n??时，事件A发生的频率稳定在某个常数p附近。称此常数p为事件A发生的概率，记作
fn(A)P(A)?p.
定义1.2.2是建立在试验及其统计数据的基础上的，故称之为概率的统计定义。它有相当直观的试验背景，易被人们接受。不足之处是，定义中数p的存在只是人们经过大量观察之后的推断。从传统数学惯有的严格性角度看，似乎应对其客观性给出严格的证明才能令人信服。此外，定义中对频率与概率的关系的描述是定性的，非数学化的，从而容易造成误解。例如，依照定义1.2.2中的描述容易使人猜想，是否概率就是频率的极限。
limfn(A)?P(A) (1.2.2)
n??在本书第五章中将看到，P(A)的确是频率
fn(A)的某种极限，但并非由(1.2.2)式所表
达的极限，而是另外定义下的极限，眼下尚无法对其加以描述。
由于定义1.2.2的上述不足，人们有理由寻找更好的定义概率的方式，于是，概率的公理化定义应运而生。
1.2.2 概率的公理化定义
既然事件A的概率应是事件A发生的可能性大小的度量，而事件A发生的频率（当n较大时）又相当真实地反映了事件A发生的可能性大小，那么，找出频率
fn(A)fn(A)所具
有的本质特征（或称基本性质），将事件A的概率定义成事件A所对应的具有这些本质特征 的数应是可取的做法——这就是概率的公理化定义的基本思路。
由定义1.2.1可得频率的以下三条基本性质： 1. 频率介于0与1之间：因为0?nA?1对每一个n成立，于是需要0?P(A)?1对每一n10