Pnk种可能的结果，因此所要求的概率为p?k.以下这个有趣的生日问题就是放回取样的一
n个应用。
3．生日问题
这是一个在众多教科书中都有的有趣的例子：在有k个同学的一个班级里，至少有2个同学有同一天生日的概率(记为
p)有多大？没有学过概率的人也许会认为，当k不太大
时，这种可能性不会很大。先考虑上述生日问题的补问题：即先计算“没有2个人是同一天生日”的概率。在详细分析之前先要说明的是同一天生日，指的是同月同日，但未必同年；其次假设各个同学的出生是互不相关的，即忽略了双胞胎和多胞胎的可能；第三在此只考虑一年365天的情形，生日为2月29日的被认为是3月1日的生日，同时假设2?k?365.在这些假设下，每个同学的生日都等可能是365天中任何一天，因此样本空间大小为365，
kk个人没有2个人同生日，等价于在365天中选k个不同的日子作为他们的生日，共有P365k种选法。也可以用另外一种观点，第1个同学的生日可以是365天的任何一天，第2个同学只能在剩下的364天中选择，依此类推，共有365?364???(365?k?1)?P365种选法，与上述结果相同。则
kP365!365p?1??1? kk365365?(365?k)!k?365!(365?k)!以下表格给出不同k值对应的p值。
25 0.569 30 0.706 40 0.891 50 0.970 60 100 表1.1 k个人中至少又个人同生日的概率数值表 k p
5 0.027 10 0.117 15 0.253 20 0.411 0.994 0.9999997 习 题 一
1．掷一颗骰子，观察其点数。令A表示“掷出奇数点”，B表示“点数不超过3”， C表示“点数大于2”， D表示“掷出5点”，写出A、B、C、D，并写出A?B,B?C,AB,
BD,A,AC,A?B,B?A。
2．某人连续三次购买体育彩票，每次一张。令A,B,C分别表示其第一、二、三次所买的彩票中奖的事件。试用A,B,C及其运算表示下列事件：
（1）第三次未中奖；（2）只有第三次中了奖；（3）恰有一次中奖；（4）至少有一次中奖；（5）不止一次中奖；（6）至少中奖两次。 3．两集合A和B对称差定义为A?B?(A?B)?(B?A) （1）口头解释对称差的含义；
（2）写出对称差的并集，交集和余集；
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（3）证明A?B??当且仅当A?B.
4．A，B，C分别表示三个事件，用A，B，C的运算关系表示下列事件 （1）A发生，而B，C都不发生 （7）A，B，C中恰有两个发生 （2）A，B发生，而C不发生 （8）A，B，C中至少有两个发生 （3）A或B发生，而C不发生 （9）A，B，C中至多有两个发生
（4）A，B，C都不发生 （10）或者A，B不同时发生，或者B发生， （5）A，B，C中至少有一个发生 但A不发生 （6）A，B，C中恰有一个发生 5．写出下列随机实验的样本空间
（1）投掷一枚硬币四次，观察每次出现正反面的情况。
（2）已知一批机器螺钉中含有许多次品，随机抽取三个并检验。
（3）盒子中有十个螺钉，一个次品，九个合格品，从盒子随机抽取三个并检验。 6．样本空间S是由所有的实数构成的且定义下列事件（子集）
A?{x:x?0}, B?{x:?1?x?2}, C?{x:?0}
（1）在数轴（实数轴）上将下列S的子集描绘出来
A?C，A?C，A，B?C，A?B，A?B
（2）用A、B和C表示S的以下子集。
D?{x:0?x?2}, E?{x:x?0}, F?{x:x??1}
7．是否一定有P(A?B)?P(A)？证明你的答案。 8．直接证明以下性质
P(A1?A2?A3)?P(A1)?P(A2)?P(A3)?P(A1?A2)
?P(A1?A3)?P(A2?A3)?P(A1?A2?A3)9．证明两个事件A和B
P(A?B)?P((A?B)?(A?B))?P(A)?P(B)?2P(A?B)
10．一个数x是通过随机地选择6个数字而构成，每一个数是0或者是1，且是等可能
的。
（1）描述这个样本空间，计算它包含的样本点的数目。 （2）计算下面每一个事件的概率。
A:“数x?100,000”，B:“数x是偶数” C:“在x中没有一对连续的数字是一样”
11．一个数x是由这六个数0,0,1,1,2,2随机排列组成，回答习题11中关于这个数的问题。
12．甲乙两人玩剪刀、石头、布的游戏，并设每人每次出剪刀、石头、布是等可能的，计算甲先胜的概率、两个人一直打平手的概率。
13．抛掷一枚硬币直到第二次出现正面，
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（1）描述样本空间，计算各样本点的概率{pi}； （2）计算投掷次数是偶数的概率。提示。 如果
f(x)??x2k?1?k?1?x 1?x2dx() 2dx1?x 则
f?(x)??(2k?1)x2k?2?k?1?14．（1）投掷一个硬币2n次，证明出现n次正面的概率是??（2）对较大的值n计算n!可以用斯特林公式
?2n?2n??2。 n??n!~2?nnne?n
（~的意思是n??室两边的比率接近于1。）对于n?2,5,10，说明比率n!/[近于1，但是n!?2?nnne?n]接
2?nnne?n的差额增加。
（3）应用斯特林公式说明(1)中概率大约是1/?n。
15．有4个瓮，每一个装有3个球。其中瓮1装有3个白球，瓮2装有2个白球和1
个黑球，瓮3装有1个白球和2个黑球，瓮4装有3个黑球。随机的选择一个瓮，并从中随机的选择一个球。如果球是白色，计算该球是取自瓮2的条件概率。
16．在一个噪声通讯系统传输二进位数（0或1），发送人可能发送一个数字（例如1），接收人可能接收到另外一个数字（例如0）。设A是事件“一个1被发送”和B是事件“一个1被接收”。因此A是事件“一个0被发送”，
B是事件“一个0被接收”。假设
P(BA)?0.01，P(BA)?0.01
进一步假设P(A)?0.5。解释上述条件概率，确定P(AB),P(AB),P(AB)和P(AB)。
17．在设计汽车的仪表板中，警告灯是用来警告司机即将发生的机械故障。因此希望当故障即将来临时, 有一盏灯高概率开启，当没有故障的时候没有灯开启。假设T是事件“机械故障”，O是事件“灯开启”。设P(OT)?斯公式确定求下列值：
（1）P(TO)；（2）P(TO)；（3）P(T?O)；（4）P(T?O)
18．假设一个原料供应商出售未加工的原料，其中有缺陷的的概率是1%。如果从一批原料中取10份样品，发现2个有缺陷，是否有理由怀疑这批原料有缺陷的概率超过1%？
19．假设两个事件A和B是互斥事件，且P(B)?0，在什么情形下事件A和B是独立
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p和P(OT)?q。假设P(T)?0.01。用贝叶
的？
20．假设P(A)?0和P(B)?0，且事件A和B是独立的，A和B是互斥事件吗？ 21．说明每一个事件A和不可能事件?或必然事件?是独立的。 22．说明一般情况下P(A1A2)?P(A1A2)?1。
23．四个硬币中的每一个在任意一次投掷中出现正面的概率是
p，出现反面的概率是
q。一个投掷这四个硬币的试验，写出样本空间。设事件Ei定义成“正好有i次出现正面”
问事件Ei的i?0,1,2,3,4。计算每一个事件Ei的样本点数。如果硬币的投掷是相互独立的，
概率是多少？
24．一个电子元件由三个部分组成。每一部分都正常工作的概率是0.99。如果两个及其以上都不能正常工作，这个元件就失效。假定各个部分是否正常工作不依赖其他部分的工作情况，确定这个电子元件失效的概率是多少？
25．某工厂岗位I生产10合格品和3个次品，岗位II生产3合格品和5个次品，从岗位I的产品柜中随机的选取2个产品放到岗位II的产品柜，从岗位II的产品柜拿出1个产品，求下面各种情况的概率
（1）移动了2个合格品；（2）移动了1个合格品和1个次品； （3）从岗位II的产品柜拿出1个次品。
26．某种彩票的中奖面为36%,某君一次购买了10张。求其中奖的概率。
27．通常将一个系统（或部件）能正常运行的概率称作系统（或部件）的可靠性。试求图中所示系统的可靠性R。假设（1）其中每个部件的可靠性为r，且各部件能否正常工作是相互独立的；（2）图中两条并联支路至少一条正常工作系统便能正常运行。
2 3 1 4 28．甲、乙进行投篮比赛。约定，甲先乙后依次投篮，先进球者胜。已知甲、乙投篮命中率分别为p,q。求甲、乙各自的胜率(0?p,q?1)。
29．各类数学考试中常采用的一种题型是多选题。多选题要求考生在列出的4个备选答案中选出不少于2个作为答案，考生只有全部选对才算对。错选、多选、漏选都算错。设考生中知道多选题正确答案的比例为
p(0?p?100%)，而其余的考生只能乱猜（不考虑考
生可能只知道部分正确答案的情况）。已知某考生某道多选题答对了，求他确实知道正确答案的概率。
30．已知某油田钻井队打的井出油的概率为0.06，而出油的井恰位于有储油地质结构位置上的概率为0.85，不出油的井位于有储油地质结构位置上的概率为0.4。求钻进队在有
储油结构位置上打的井出油的概率。
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