3/4 H 2/3 H 1/4 T H 1/2 1/2 H 1/3 T 1/2 T 1/2 H 1/3 H 1/2 1/2 T T 1/4 H 2/3 T 3/4 T 图1.10 二叉树示意图
显然3次摸球不是互相独立的，容易计算得以下一些概率和条件概率
11P(?1?H)?,P(?1?T)?
2221P(?2?H|?1?H)?,P(?2?T|?1?H)?
3312P(?2?H|?1?T)?,P(?2?T|?1?T)?
3331P(?3?H|?1?H,?2?H)?,P(?3?T|?1?H,?2?H)?
4411P(?3?H|?1?H,?2?T)?,P(?3?T|?1?H,?2?T)?
2211P(?3?H|?1?T,?2?H)?,P(?3?T|?1?T,?2?H)?
2213P(?3?H|?1?T,?2?T)?,P(?3?T|?1?T,?2?T)?
44利用乘法公式计算前2次摸球结果的概率
121P(?1?H,?2?H)?P(?1?H)P(?2?H|?1?H)???,
233111P(?1?H,?2?T)?P(?1?H)P(?2?T|?1?H)???,
236111P(?1?T,?2?H)?P(?1?T)P(?2?H|?1?T)???,
236121P(?1?H,?2?T)?P(?1?T)P(?2?T|?1?T)???,
233利用乘法公式计算前3次摸球结果的概率，只给出结果，请读者自己补上计算过程
11P(?1?H,?2?H,?3?H)?,P(?1?H,?2?H,?3?T)?,
412
31
11,P(?1?H,?2?T,?3?T)?, 121211P(?1?T,?2?H,?3?H)?,P(?1?T,?2?H,?3?T)?,
121211P(?1?T,?2?T,?3?H)?,P(?1?T,?2?T,?3?T)?,
124P(?1?H,?2?T,?3?H)?利用全概率公式可以计算以下各个事件的概率
P(?2?H),P(?2?T),P(?3?H),P(?3?T)
利用贝叶斯公式可以计算以下各种条件概率
P(?1?H|?2?H),P(?1?T|?2?H),P(?1?H|?2?T),P(?1?T|?2?T)， P(?1?H,?2?H|?3?H),P(?1?H,?2?T|?3?H), P(?1?T,?2?H|?3?H),P(?1?T,?2?T|?3?H), P(?1?H,?2?H|?3?T),P(?1?H,?2?T|?3?T), P(?1?T,?2?H|?3?T),P(?1?T,?2?T|?3?T).
把这些都留作作业。
§1.5 阅读材料一：概率的起源和解释
1.5.1 概率的发展历史
概率论有着奇特的历史，很难说它的起源在什么时候，它和人类社会本身一样古老。赌博的思想在概率论的早期发展中扮演了重要的角色。大约公元前3500年，在古埃及和别的地区已经出现利用骨制物体进行赌博，它就是掷骰子的先驱。从公元前2000年的古埃及坟墓中出土的用马的腿骨做成的小立方体就是现代骰子的前身。到了十五世纪，海上保险在意大利开始发展起来，表明在那时至少有了初步的概率知识。
概率的数学描述可以追溯到十七世纪由法国数学家Blaise Pascal（1623－1662）和Pierre Fermat（1601－1665）首创的，他们成功地计算出包括掷骰子的一些赌博的概率。而更早的Girolamo Cardano（1501－1576）和Galileo Galilei（1564－1642）已经算出掷骰子的各种排列组合的可能性的数值。不幸的是人们常常由此感觉赌博是概率的主要的用途。但事实上概率的用途十分广泛，本书将给出一些例子，希望改变人们的感觉。
自从十七世纪以来概率论得到了稳步的发展并且被广泛地应用到很多领域。在十九世纪末二十世纪初，物理、通讯和金融方面的进展对概率的应用起了重要影响。
其一是物理学
图1.11 布朗运动示意图
32
在显微镜下观察悬浮在水中的藤黄粉、花粉微粒，或在无风情形观察空气中的烟粒、尘埃时都会看到微粒的无规则运动。温度越高，运动越激烈。它是1827年植物学家罗伯特.布朗(Robert Brown)首先发现的, 因此被后人命名为布朗运动。布朗运动产生的原因是由于粒子非常微小，直径约10?7~10?5米，在周围液体或气体分子的碰撞下，产生一种涨落不
定的净作用力，导致微粒的无规则运动。1905年爱因斯坦给出了布朗运动的概率模型,建立了所谓的扩散方程。布朗运动的发现、实验研究和理论分析间接地证实了分子的无规则热运动，对于气体动力理论的建立以及确认物质结构的原子性具有重要意义，并且推动统计物理学的发展。由于布朗运动代表一种随机涨落现象，它的理论对于仪表测量精度限制的研究以及高倍放大电讯电路中背景噪声的研究等有广泛应用。
而将布朗运动应用于金融市场分析的是1900年法国数学家路易斯.巴舍利耶（Louis Bachelier），巴舍利耶是数学博士，他1900年的博士论文把股票价格不确定值归结为一个数学公式，这个数学公式在物理学上是一个布朗运动公式，比爱因斯坦导出早了几年。巴舍利耶进而把它应用于评估股票期权(Option)的价值。
其二是通讯
在十九世纪后期发明了电话，而到了1900年，电话已无处不在。由于硬件条件的限制，在同一时刻要接通所有客户的拨打的电话是不可能的，电话系统在同一时刻可以接通很多但不是全部呼叫，电信工程师要解决这些问题，只能借助于概率的工具。
二十世纪初发现概率的许多新的应用，但是直到二十世纪三十年代，由于康托集合理论和勒贝格积分理论的完善推动了概率论的完善，使之成为数学的一个分支，逐渐发展为一个完整的体系。
现在，概率论在工程、科学和经济管理的很多方面都有广泛的应用，比如医药、基因分析、气象和地震预测预报、卫星摄影、营销、计算机系统设计、金融、遗传学、社会学和法律等。本书将主要介绍概率论在经济、金融和管理方面的应用。
1.5.2 对概率的理解
尽管概率的概念已经渗透到日常生活的各个方面，但是还没有为统计学家、哲学家和其他的权威人士都接受的对“概率”这一术语的统一的科学解释。这里将介绍对概率的三种不同的解释，每种解释对应用概率论到不同的实际问题中都是非常有用的。
1．概率的频率解释 在很多问题中，对一个在相同条件下可以重复的试验，某个特定结果出现的概率可被理解为得到这个结果的相对频率。例如，投掷一枚均匀硬币一次得到正面的概率是1/2，这是因为一枚均匀硬币在相同条件下投掷很多次得到正面的相对频率大约是1/2。
一般地，考虑一系列在相同条件下重复做相同的试验。在最初n次重复试验中，假设表示该结果出现的次数。那么上，可以感觉随着n的增加，
fnfn/n的比值就是在最初n次试验中该结果出现的频率。直观fn/n的比值应该稳定地趋于某个可能的固定数值，由此可以
n??用它的极限来指定该结果出现的概率为limfn。 n1，事实上，可以在2在重复投掷一个均匀硬币时，期望出现“正面”的比例能接近
33
1lim(fn/n)?情况下定义掷一个硬币出现“正面”的概率。fn/n的一个可能图形可参考n??2图1.9，其中n是100次的投掷。
但是概率的频率解释既没有证明
fn/n极限的存在，也没有保证即使这个极限存在，它
的值就是概率值，尽管可以用图形来说明。
概率的频率解释的另一个缺点在于，至少在原则上，只适用于能做大量重复试验的问题。尽管在许多工程应用和赌博游戏中，可以得到一个逼近概率的相对频率，但这样一个逼近在许多实用场合并非适用，比方说，要确定未来某一天下雨的概率，或未来某种股票价格上涨还是下跌的概率，或一项特殊的科研项目是否会成功的概率，就不能直接应用概率的频率解释，因为他们是无法重复试验的。
2．概率的古典解释
概率的古典解释是基于等可能结果的概念。比如，投掷一枚骰子会出现6种可能的结果：数字1,2,3,4,5,6。如果可以假定这6种结果出现的机会均等，它们必定有相同的概率。由于概率的总和是1，所以出现每个数字的概率必为1/6。更一般地，如果某个过程的结果必是n种不同结果中的一个，并且这n种结果以相同的几率发生，那么每种结果的概率就是1/n。
概率的这种古典解释有两个问题。首先，等可能结果的概念和将要定义的概率的概念本质上是一回事，两个可能的结果等可能出现的陈述和两个结果有相同概率是一样的。其次，没有一种系统的方法来设定等可能结果的概率。当掷一枚硬币，或掷一枚均匀的骰子，或彩票随机地开出一个中奖号码时，认为可能出现的不同结果的几率相等，这是由于过程的特性使然。然而当问题是猜测一个产妇生男还是生女、或一种股票价格是涨还是跌、或一个科研项目是否会成功时，认为可能出现的结果几率均等就不再是典型的了，需要用不同的方法来设定这些结果的概率。
3．概率的主观解释
人们对某个过程可能出现的结果的几率或可能性的判定会有所不同，这取决于每个人对这个过程的信念和对这个过程的信息掌握的程度。具有不同信念，掌握不同信息的人，对这同一个结果也许会给出不同的概率。称之为主观概率，它未必和该结果的真实概率吻合。
比如，抛掷一枚硬币一次。如果事先并不知道这枚硬币是否均匀，对抛硬币方式也一无所知的人会认为出现正面或反面结果是等可能的，因此他可能得到正面的主观概率为1/2；然而实际抛硬币的人也许会感到硬币是不均匀的，正面更可能出现，那么他会认为出现正面的主观概率大于1/2。
主观概率解释遇到两个困难。首先，要求人们对无数事件相对可能性的判断满足相容性，不互相矛盾，似乎不是一般人所能做到的。其次，即便是两个或多个科学家一起工作，也很难对同一个过程作出完全的评价。并且主观概率往往只适用于判断人自己，而未必为他人所接受。
但是概率理论并不依赖于上述各种解释。本书的1—5章将逐步展开和介绍概率的数学理论，而不考虑围绕概率这个术语不同解释的争论。
§1.6 阅读材料二：排列组合计数和生日问题
1．不还原抽样
这里介绍在计算古典概率时常用到的排列组合记数问题。
设口袋中有4个球，分别标记为1,2,3,4，从中先任取1个球，不放回，再从剩下的球中任取一个球(或说一次任取2个球)，并记下它们的字母，问有几种取法？
34
如果不记取球的次序，即把{1,2}和{2,1}视为相同，则是个组合问题，共有C4种不同的选法。有的教科书也把这个数记为C4.
22?4?3?61?2如果一个一个地不放回取球，并依次记下他们的字母，即把{a,b}和{b,a}视为不同，则这是个排列问题，共有P42?4?3?12种不同的排列。
一般地从n个标记为{不记他们1,2,?,n}的不同的元素中不放回地随机选取k个元素，的次序，共有Cn种不同可能的组合，其中
kCn?kn?(n?1)???(n?k?1)n?(n?1)???(n?k?1)?(n?k)???2?1n!??
1?2???k(1?2???k)(1?2???(n?k))k!(n?k)!k如果从n个不同的元素中依次随机不还原地选取个元素k，并记下他们的次序，则共有Pn种不同的排列，其中
Pnk?n?(n?1)???(n?k?1)?特别地，当k?n时，称为全排列，Pn进一步推广：把
nn!
(n?k)!?n!.
组，各组分别有
n个不同的元素分成kr1,r2,?,rk个元素，
r1?r2???rk?n，则共有
r3rk?1rr21CnCnC?C?rn?r?rn?r1?r2??rk?2?112n!
r1!r2!?rk!rrr注意：这正好是多元多项式?x1?x2???xk?展开式中项x11x22?xkk的系数。
2．还原取样
设口袋中有4个球，分别标记为1,2,3,4，从中先任取1个球，记下它的数字后放回，再从口袋中任取一个球，并记下它的数字，问有几种取法？这时每次都有4种可能的结果，因此共有42n?16种不同的结果。
k一般地从n个不同的元素中每次任取1个，记下下其标号后放回，再重复此过程，即还原地随机选取k个元素,则共有n种结果，每一种可能结果的概率就是1nk.
如果要求取到的k个元素的号码都不同的概率是多少？显然，如果k?n，选k个有不同号码的元素是不可能的，因为只有n个不同的元素。因此假设k?n. 第一个元素可在n个元素中任选，第二个只能在剩下的n?1个中选取，依次类推，选k有不同号码的元素共有Pn
35
k