或许是独立与互斥这两个汉语词汇的词义相近造成这样的误解。其实当A,B都具有正概率时，由定义1.3.1，若A,B独立，则P(AB)?0，从而A,B相容而不是互斥；而当A,B互斥时则因P(AB)?0，但P(A)?P(B)?0，所以A,B不独立。
2.多个事件的独立性
先考虑3个事件，称事件A1,A2,A3两两独立，如果
?P(A1A2)?P(A1)?P(A2),? ?P(A（1.3.2） 1A3)?P(A1)?P(A3),
?P(AA)?P(A)?P(A).?2323进一步称A1,A2,A3互相独立，如果(1.3.2)成立，并且
P(A1A2A3)?P(A1)?P(A2)?P(A3). (1.3.3) 也成立。显然互相独立要强于两两独立。
读者也许会问，三个事件的独立性可否只用公式（1.3.3）来定义？回答是否定的。由于（1.3.3）式成立不能保证（1.3.2）式成立，若只用（1.3.3）来规定三个事件的独立性就可能出现下面的令人难以接受的结果：当
，A,B,C满足P(ABC)?P(A)P(B)P(C)A,B,C中可能有两个事件不相互独立。请看下面的例子：
例 1.3.3 假设投掷两枚均匀的硬币，设A是事件“第一次出现正面”，设B是事件“第二次出现正面”，设C是事件“两个硬币匹配”（两个正面或两个反面）。易知事件A和事件
。所以B是独立事件，而事件A和C也是独立事件，同样B和C是独立事件（为什么？）
1事件A，B和C是两两独立，但是观测P(A?B?C)?，然而
41111 P(A)P(B)P(C)?????P(A?B?C)
2228从而事件A，B和C是不独立的，尽管他们是两两独立。 □
另一种情况，仅有(1.3.3)，也不能保证1.3.2)成立，见下例。
例1.3.4 掷一颗骰子，观察其点数。令A?{1,2,3,4}，B?{4,5,6}，C?{3,4,5}，则有
21P(A)?，P(B)?P(C)?.
32于是
1P(ABC)??P(A)P(B)P(C)
6而
P(AB)?1?P(A)P(B). □ 6例1.3.3 和1.3.4表明，等式（1.3.2）和（1.3.3）不能互相自然导出。可见由（1.3.2）及（1.3.3）来定义三个事件的相互独立性是完全必要的。以下把它推广到n个事件。
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定义1.3.3 称事件A1,A2,?,Ak两两相互独立的，如果
P(Ai?Aj)?P(Ai)P(Aj)对任何i?j成立.
若n个事件A1,A2,?,An满足以下2n (1.3.4)
?n?1个等式
P(AiAj)?P(Ai)?P(Aj) (1?i?j?n) P(AiAjAk)?P(Ai)?P(Aj)?P(Ak) (1?i?j?k?n)
????
P(A1A2?An)?P(A1)P(A2)?P(An)
则称n个事件A1,A2,?,An相互独立。
由此定义看出，在规定n个事件A1,A2,?,An的相互独立性时应能保证其中的任意k个事件(1?k?n)亦相互独立。惟有如此才是合理的。因此也可把上述定义重述为：称一列事件A1,A2,?,An,?是相互独立的，如果其中任意有限多个事件相互独立。
对于n个相互独立的事件亦有类似于定理1.3.2的重要结论，这里不再赘述。 例1.3.5 某种彩票的中奖面(或中奖概率)是求其中奖的概率。
解 令Ai表示“第i张彩票中奖”(i?1,2,?,10)，则一般可以认为A1,A2,?,A10相互独立，从而A1,A2,?,A10亦相互独立。于是中奖的概率为
101010?10?????P??Ai??1?P??Ai??1?P??Ai??1??P(Ai)?1?(1?p)10
?i?1??i?1?i?1?i?1?p(0?p?1)，某君一次购买了10张。
如果某种彩票的中奖面为30%，计算可得他中奖的概率为0.972. □ 例1.3.5表明，借助对偶律将事件的和的概率转化为事件的积的概率，在有独立性假设的概率计算中是简化计算的有效方法。
1.3.2 伯努利概型
像掷硬币试验那样只有两个可能结果A与A的试验称之为伯努利（Bernoulli）试验。又如，射手向某目标射击，只考虑两个结果：击中与未击中；掷一颗骰子考察结果是出现6点还是未出现6点；从一批产品中任意取出一件产品，看其是合格品还是不合格品；买彩票中奖或不中奖；这些都是伯努利试验。为方便计，有时将A称作“成功”，而将A称作“失
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败”。
与掷硬币试验一样，人们可在相同条件下将伯努利试验重复进行n次。显然，n次试验的结果应是相互独立的，且每次试验中事件A发生的概率都一样。称这样的试验为独立重复试验。
定义1.3.4 称独立重复进行的n次伯努利试验为n重伯努利试验。称独立重复进行的可数次伯努利试验为一个伯努利独立试验序列。
例 1.3.6 （例1.2.5续）设一个口袋里有6个红球和4个白球，每次从中取出一个球，再放回，连续取3次。求恰有2个红球的概率。
解 这是一个3重伯努利试验。由题设可知每次取到红球的概率为0.6，若以Ai表示第
i次“取到红球”的事件，则试验的样本空间为
??{AA. 12A3, AA12A3, A1A2A3, AA12A3, A1A2A3, AA12A3, A1A2A3, A1A2A3}由独立性，容易算出每个样本点出现的概率。例如
P(A1A2A3)?0.63，而
P(A1A2A3)?0.62?0.4。
由于事件B=“恰有2个红球”={A1A2A3, A1A2A3, A1A2A3}，其中样本点是两两互斥的，所以
22P(B)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?C3?0.6?0.4?54 125 此结果与例1.2.5(2)之结果相同。 □ 注 n重伯努利试验不属于古典概型，因为样本点不是等概的。所以一般地，称之为伯努利概型。
在实际应用中经常需要计算n重伯努利试验中事件A恰发生k次的概率。显然n重伯努利试验的样本空间的样本点总数为2，其中A恰发生k次的样本点有Cn个(0?k?n)，如果事件A发生的概率为P(A)?样本点的概率等于
nkp，记P(A)?q(p?q?1).则事件A恰发生k次的一个
kn?kP(A?AA?A)?pq，这样，A恰发生k次的概率就是k?1n1kkCn?pk?qn?k.于是，有下面的定理：
定理1.3.6(伯努利定理) 设伯努利试验中事件A发生的概率为p(p?0)，如记n重伯努利试验中事件A恰发生k次的概率为Pn(k)，则
kkn?kPn(k)?Cnpq (k?0,1,2,?,n)，
其中p?q?1。
例 1.3.7 为组装一台电子仪器，某人需要某种芯片5个（正品），因市场上此芯片的
正品率为0.9，为保险起见，他买了6个，求他仍没能获得所需的5只正品元件的概率。
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解 这是一个6重伯努利试验，其中p?0.9。
事件B=“没能获得所需的5只正品元件”又可表述为“所买的6只元件中正品少于5只”。于是，所求概率为 P(B)?
?P(k)?1?P(5)?P(6)?1?C666k?0456?0.95?0.1?0.96?0.1143. □
§1.4 条件概率
1.4.1 条件概率
在1.3节中讨论了事件的独立性，但是，在很多情形下某些事件的发生有一定的关联性，即一个事件的发生使得另外一个事件的发生可能性增加（或减少）。如上下班时间道路拥堵的可能性比其他时间道路拥堵的可能性大，雨天和雾天比晴天更容易出交通事故，股市上经常发现某些股票同涨同落。又如，考虑这样一个实验，在英语词典中随机选择一个单词，用
， 用B表示事件“字母q出现在这个单词里”。当A表示事件“字母u出现在这个单词里”
然事件A有一个概率，因为q不跟随u几乎不出现在单词里，所以事件B出现的条件下事件A必定出现。考虑另外一个例子，如果知道公交车大约以10分钟间隔经过某一个街道拐角处，公交车在下一分钟经过的概率将被在过去的5分钟内是否有公交经过这些信息所影响。
一般地，如果A和B是事件，将事件B已发生条件下，事件A发生的条件概率记作
P(A|B)，以区别于无条件概率P(A)。现在的问题是，如何确切地定义条件概率？从古典
概型谈起，以进一步认识条件概率。
例1.4.1 一个箱子里有个两个硬币，一个是均匀的（即两面是不一样的，称一面为正面，另一面为反面），另一个是两个正面。随机选择一个硬币，投掷后观测到正面出现。问该硬币的另一面也是正面的概率是多少？
设B是事件“硬币出现正面”，A是事件“硬币是双正面”，要计算P(A|B)。可以这样考虑，两个硬币共有4个面，其中3个是正面，因此选择一个掷出正面的可能为P(B)?3.4而在这三个正面里，只有一个属于均匀硬币，另2个属于两面都是正面的硬币，因此属于前者的可能为1/3，属于后者的可能为2/3。
后面会知道，先计算出P(A?B)?2。这样，通过式(1.4.1), 4P(A|B)?P(A?B)2/42??
P(B)3/43和上面的结论是一致的。 □ 对于一般的古典概型。设其样本空间有n个样本点，事件A,B分别含有其中nA和nB个样本点，A,B同时发生的样本点数即事件AB的样本点数为nAB。在B已经发生的条件下，即在B中的nB个样本点中同时又属于A的nAB个样本点中的某一个出现时A才发生，所以
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有P(A|B)?nAB。于是可得 nBnABnP(AB) (1.4.1) ?nBnP(B) P(A|B)?把这个法则推广之就得以下的条件概率的一般定义。
定义1.4.1 设A,B为两个事件，若P(B)?0，则定义“事件B发生条件下事件A发生的条件概率”为
P(A|B)?P(AB) (1.4.2) P(B)定义1.4.1适用于任何随机试验（而非只适用于古典概型）的条件概率定义，它同时提供了用无条件概率计算条件概率的方法。因为条件概率也是概率，因此它也应具有类似无条件概率的三条基本性质：
1. 0?P(A|B)?1； 2. P(?|B)?1；
3. 对两两互斥的事件列A1,A2,?,An,?，有
???? P??Ai|B???P(Ai|B) （1.4.3） i?1??i?1下面再举一例，以帮助初学者理解条件概率。
例1.4.2 一家公司拥有两家生产类似产品的工厂。工厂1生产1000个产品，其中100个是有次品。工厂2生产4000个产品，其中200个是有次品。从公司生产的产品中随机选择一个，发现是次品。问该产品是工厂1生产的概率是多少？
解 设B表示事件“选择的是次品”，A表示事件“从工厂1中挑选的产品”。从而要计算P(A|B)。
可以这样来考虑，总共有300个次品，其中100个来自工厂1；因此，一个次品来自工厂1概率为100/300?1/3。如果用(1.4.2)可以发现
P(AB)=P(从工厂1挑选的次品)?100/5000，和
P(B)?P(选择的是次品)?300/5000；所以，通过式(1.4.2)
P(A|B)?100/50001001??
300/50003003和直接推理的结果一致。 □ 类似地，读者可以自行计算P(B|A),P(B|A),P(A|B)。
注 条件概率既然是概率，它也应有概率的其他性质，如加法定理：如果A1和A2是任何事
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