元是它的倒数。有理数集对加法成群，单位元是零，但对乘法只是成半群，因为零没有逆元。
以上都是一些常用的简单的群 ，我们也可以自己定义一些群。譬如，所有形如（a,b）的元素集合M,其中a,b都是实数，并且a不等于零，定义以下运算
(a,b)(c,d?)a(c?,b d那么M关于以上运算成群，（1,0）是单位元，（a,b的逆元是(a?1,?b)
设n是大于1的正整数，Mn（R）表示实数域上所有n阶矩阵的集合，则 （Mn（R），·）是半群，这里·表示矩阵乘法，但不是群，因为不是每个n阶矩阵都有逆矩阵。但由实数组成的所有n阶满秩矩阵对乘法成为群，叫做实数域R上的n阶线性群，简称线性群，其单位元是单位矩阵（主对角线上元素都为1其余元素全为0的矩阵），逆元是其逆矩阵。
在研究一个群时，如果群中的部分元素就可以代表整个群中元素的性质，那么就会减少研究对象的数量，给我们的工作带来很大的方便，大大地提高了工作效率。因此子群是一个很重要的概念，群的全部内容大多都与子群有关。 定义1.1.2设G是群，H是G的非空子集，假如对于G中的运算仍然构成群，则称H为G的子群，记作H?G，若H是G的子群，并且H?G，则称H是G的真子群（即异于自身的子群），记作H 例如nZ（n是自然数）是整数加群的（Z，+）的子群，当n?1时，nZ是Z的真子集。 任何群都存在子群，群可以看成是自身的子群，任一个群有只由单位元组成的单位元群也是它的子群，群本身和它的单位元群称为G的平凡子群，其余的子群称为非平凡子群。一个群中任意两个子群的交集仍然是一个子群，但任意两个子群的并集不一定是子群， §1.2 环 环是具有两个二元运算的代数系统，定义如下； 定义1.2.1：一个非空集合R，假如它有两种二元运算，一种叫做加法(用符号+表示)，一种叫做乘法(用符号g表示)，如果满足以下条件，则称（R，+，·）是一个环。 （1) 对于加法称为交换群，即（R，+）构成交换群（阿贝尔群）； （2) 对于乘法称为半群，即（R，·）构成半群； （3) 乘法运算关于加法运算适合分配律，即对于R中的任意三个元素a，b， c，有a(b?c)?ab?ac，(b?c)a?ba?ca. 注；1，从上面可以看出环是一个三元组(R，+， )，其中R是一个非空集合，加法“+”和乘法“” 是两个二元运算，其中（R，+）是一个交换群，（R，）是一个半群，且 运算关于+运算适合分配律。 , 2，若环中乘法 适合交换律，即对所有的a，b ?R有ab?ba，则称R是交换环.。 , 3，类似于群，元数是有穷的环，叫做有穷环.，否则叫无穷环. 下面给出一些常用环的例子； （1）整数集，有理数集，实数集和复数集关于普通的加法和乘法构成环，分别称为整数环Z，有理数环Q，实数环R和复数环C。 （2）n（n?2）阶实矩阵的集合Mn(R)关于矩阵的加法和乘法构成环，称为n阶实矩阵环 在R的子集S上，假如对R的两种运算又形成环，那么S就叫做R的子环，R又叫做S的扩张环.。环的一个子集称为子环，只要它对于加法成群，对于乘法是闭合的就行，因为其他条件显然都适合。.环可以看成是自身的子环，异于自身的子环叫做真子环. §1.3 体 定义1.3.1：定义一个环F，假如含有非零的元素，即至少包含两个元素，并且所有非零的元素对乘法构成群，则F就称为体，有时又叫做可除环。.当F可交换时，又叫交换体，或者叫做域. 从而我们可得，体有加法，乘法两种运算，并且所有元素对加法成交换群，所有非零元素对乘法成群，但不一定是交换群。体是一种特殊的环，它是非零元素可以构成群的环，它满足环的所有性质和运算法则。. 还可以看出一个体F至少包含两个元素，一个是加群的零元，一个是乘群的单位元，每个非零的元素都有逆元。 §1.4 模 定义1.4.1：假如V是一个加群（代数运算为加法），它的元素用u,v... 表 示，F是体(但不一定是域)，它的元素用a,b...表示。如果a，u的乘积au满足下列各性质；： （1) au?V， （2）a(u?v)?au?av， （3)(a?b)u?au?bu, （4)(ab)u?a(bu), （5) 1gu?u,其中1是F的单位元. 那么V就叫做F的(左)向量空间，有时又简单地叫做F空间 注：向量是特殊的群，群乘法就是向量的加法,而且是可交换的,也就是说向量空间一定是阿贝尔群，向量空间上除了这个乘法或者说加法以外还有和数的点乘,所以说向量空间是特殊的群。 假定u1,u2...un是F的向量空间V中的元素，如果F中存在n个不全是零的元素a1,a2...an使成立 a1u1?a2u2?Lanun?0 那么称u1，u2，Lun关于F线性相关；如果不存在这样的a1，a2，Lan，即上面式子的等号只有在a1，a2，Lan都是零的时候才取的，那么称u1，u2，Lun关于F线性无关. 类似于线性空间，假定V是F空间，如果V中线性无关元素的个数有最大数，那么V是关于F是有限维空间。相应地这个最大数，就叫做V关于F的维数，如果V中线性无关元素的个数没有最大数，那么V就叫做关于F是无穷维空间。 假定u1，u2，Lun，L是F的向量空间V中的元素，如果V中任意元素u可以用u1，u2，Lun，L中有限个元素的线性组合表示，那么上述有限个元素叫 做V关于F的生成元。特别地，V关于F线性无关的生成元，叫做V关于F的基底 。若u1，u2Lun是V关于F的基底，我们可以用如下形式表示V V=Fu1?Fu2?L?Fun 这时V中任意元素都能够表示为u1，u2，Lun的线性组合，并且这种表示形式是唯一的。 定义1.4.2：假定M是加群，R是环，如果M中元素m与R中元素r的乘积 rm仍在M中，并且还满足下列三个条件， （1）r(m1?m2)?rm1?rm2， （2）(r1?r2)m?rm1?r2m， （3）(rr12)m?r1(r2m). 那么M就叫做(左)R-模。 可得，F-向量空间V是F-模，假定环R有单位元1，并且1gm?m，m?M那么R-模M叫做酉模。 §1.5 代数 在数学中，交换环上的代数或多元环是一种代数结构，上下文不致混淆时通常径称代数。 定义1.5.1：设R为一交换环，R上的代数（或称A-代数）是下述结构： （1）集合A是个R-模； （2）A上有一个二元运算“” ，并且这个二元运算是双线性的，即： 对任何 成立r(ab)?(ra)b?a(rb) 其中最常考虑的情形是R是一个域，这时叫做域代数，因此也可将代数定义成域上的代数 代数是一类特殊的环，代数与环的主要差别在于它们的加群，环的加群只是交换群，而代数的加群是F-模并且是酉模. 若A上的乘法满足交换性ab?ba，则称之为可交换代数；若A上的乘法满足结合律a(bc)?(ab)c，则称之为'''结合代数'''，否则称为“非结合代数”。上面 我们介绍的代数，因为满足乘法结合律，所以我们又常常称它为结合代数。非结合代数虽然对乘法也是封闭的，但不再是环了。交换代数学中考虑的代数均属可交换的结合代数。 §1.6 同构映射 定义1.6.1：存在E和F两个集合，且对于E、F各存在一种运算，我们可以记作（符号可更换）*和 ，对于E、F，*、· 分别封闭（即对于任意两个集合内的元素，进行运算之后依然为该集合的元素）。那么我们说f是一个同构当且仅当f∈Γ（E,F）并且f是一个双射且对于E内的任意元素a，b都成立 f(a*b)?f(a)f(b)。如果上面所描述的E、F为同一集合E，则说f是一个自同构。 常见的同构有：群同构，环同构，域同构，向量空间同构。 注：同构是在数学对象之间定义的一类映射,它能揭示出在这些对象的属性或者操作之间存在的关系。若两个数学结构之间存在同构映射，那么这两个结构叫做是同构的 引入：如果V，V'都是数域P上的线性空间，如果映射?：V?V'具有以下性质： （1）? 为双射 （2）?(a?b)??(a)??(b) ,?a,b?V (3) ?(ka)?k?(a), ?k?p,?a?V 则称? 是V到V'的一个同构映射，并称线性空间V和V'同构。 定义1.6.2：假设集合M与M各有代数运算g和:*，并且?是M到M的一个映射，如果?对M中任意元素a，b，在?之下满足以下条件:； a?a，b?b， agb?agb, 或者 ??agb????a?*??b?