则称?是M到M的一个同态映射。
. 如果M到M存在同态满射，则称M到M同态,记M?M.
设?是M到M的一个同态满射，如果?又是单射的，那么称?为M到M的一个同构映射.，可以看出同构映射是一一映射的。
§1.7 有向图与路代数
引入：有向图是一个二元组(V,E)，其中
（1）.V是非空集合，称为顶点集。 （2.）E是V×V的子集，称为箭头集 定义1.7.1：一个有向图是
Q=(V，E，s，t)
其中V和E是两个集合(可以有限也可以无限)，V是Q的顶点集，E是Q的箭头集，s，t是从E到V的一个映射.对每一个箭头??E,s(?)?V,t(?)?V分别称
为?的起点和终点.如果集合V和E是有限维的，则称有向图Q是有限维的。 若箭头??E的起点和终点分别表示为a=s(?)，b=t(?)，那么?可表示为：
a?b.
图Q?(V,E,s,t)通常可简记为Q?(V,E)或Q. 称u=(a?1?2?mb)为有向图Q的一个长度为m的路.，其中对1?k?m有
?k?E并且满足
s(?1)?a t(?k)?s(?k?1) ， t(?m)?b
也可简写为?1?2...?m或表示为如下图形形式：
a?a0?a1?a2??1?2?3?am?b.
?m可将V中的顶点a看成一个长度为0的路并记为：
?a?(aa).
一个从a到a得到的长度大于1的路称为循环路，长度为1的有向圈称为有向环.
定义1.7.2：给定域K，有向图Q的路代数KQ是指域K上的结合代数KQ： （1）KQ是由Q中的所有路为基作成的K-向量空间；
（2）乘法是由路之间的乘法按分配律给出，两个路的乘法规定如下：
(a?1?2?mb)(c?1?2?nd)??bc(a?1?2?m?1?2?nd)，
其中当b?c时?bc=1，当b?c是?bc=0.
第二章 上三角矩阵代数
§2.1 上三角矩阵
定义2.1.1矩阵的定义
有m?n个数aij(i?1,2???m,J?1,2???n) 排成的m行n列的数表
a11a21a12a22a1na2namn
am1am2称为m?n矩阵，记作
?a11?a21?A????am1简记为A?Am?n
a12a22am2a1n??a2n? ??amn?其中一类特殊的矩阵如下：
形如上述形式的矩阵叫做上三角矩阵，它的特点是主对角线左下方的元素全为0.
§2.2 上三角矩阵代数
设K是一个代数封闭域，A是K代数，n?N，则分量是A中元素的n?n矩阵全体组成的集合Mn(A)，它关于矩阵的加法和乘法构成为一个代数。Mn(A)的单位元是主对角线全部是A的单位元其他元素全是A的零元的矩阵，记为E=diag(1，1，，1).特别的有Mn(K)是n2维K代数，矩阵eij(1?i，j?n)是
Mn(K)的一组基，其中的eij的(i，j)元素是K的单位元1，其他元素都是K的零元0的矩阵.
容易验证Mn(K)的子集
?k?0Tn(K)???M??0
kkM0LLOLk??k? (k?K) ?M?k?是Mn(K)的一个K-子代数，其中Tn(K)是Mn(K)中主对角线的下方全为K的零元的矩阵全体组成的集合。事实上，只需验证Tn(K)中的元对Mn(K)中的加法和乘法封闭即可。证明如下：设
?a11a12?0a22 a????0?0an?1?an2??T(K) ?n?ann?bn?1?bn2??Tn(K) ?M?bnn?b1n??a11?b11??b2n??0??M?M??bnn??0a12?b12M0LOLa1n?b1n??a2n?b2n??Tn(K)?M?ann?bnn?
?b11b12L?0b22L b???MMO?0L?0则有
?a11a12?0a22a?b???MM?0?0LLOLa1n??b11b12??a2n??0b22??M?MM??ann??00LLOLa22?b22L?a11a12La1n??b11b12Lb1n?????0aLa0bLb222n222n????ab???MMOM??MMOM?????00La00Lbnn??nn?? ?a11b11a11b12?a12b2La11b1n?a12b2n?????a1nbnn???0abLab?????ab222222n2nnn???T(K)?M?nMOM??000abnnnn??
我们称Tn(K)为上三角矩阵代数。
§2. 3 上三角矩阵代数与路代数的同构
结论：上三角矩阵代数Tn(K)与有n(n?2)个顶点的有向图
qq12q23q1,k?2qn11?q22?qk,k?1qk?k,k?qk?1,k?1???1,nqnn
的路代数同构.
先分别考虑n=2，3时的情况： 当n=2时，设有向图Q2：
qq1211?q22
的路代数为KQ2，其一组基为
q11，q12 ，q22；
对上三角矩阵代数T2(K)，其一组基为
e?10?11=??00??
e???01?12?00??
e?00?22=??01??
其中1是K的单位元，0是K的零元，则映射
?：e11?q11，e12?q12，e22?q22，
是上三角矩阵代数T2(K)到路代数KQ2上的同构映射.因为：
?(e??10??11e11)??????00?????(e?11)?q11?q11q11??(e11)?(e11)?(e11e22)??????00?0??????(0)?0?q?11q22??(e11)?(e22)， ??0?(e??01??11e12)??????00?????(e?12)?q12?q11q12??(e11)?(e12)
?(e22e12)??????00?00??????(0)?0?q22q12??(e22)?(e12)???，