??00???(e22e11)????????(0)?0?q22q11??(e22)?(e11)00????，
?(e22e22)??????00??????(e22)?q22?q22q22??(e22)?(e22) ??01??
??00???(e12e11)????????(0)?0?q12q11??(e12)?(e11)00?????(e12e22)??????01??????(e12)?q12?q12q22??(e12)?(e22) ??00????01???(e12e12)????????(e12)?q12?q12q12??(e12)?(e12)
00????当n=3时，设有向图Q3 q11?q22?q33
的路代数为KQ3，记KQ3的子q12q23?q13 ，则其一组基为
q12q23q11,q12,q22,q23,q33,q13
对下三角代数T3(K)，其一组基为
?100???e11=?000?
?000????010???e12??000?
?000????000???e22= ?010?
?000????000???e23??001?
?000????000???e33= ?000?
?001????001???e13??000?
?000???其中1是K的单位元，0是K的零元，则映射
?：eij?qij，3?j?i?1
是上三角矩阵代数T3(K)到路代数KQ3上的同构映射，因为: 对所有的3?j?i?1 ，3?l?k?1 有
eijekl??jkeil
其中当j?k时?jk=1，当j?k是?jk=0，易知
?(?jkeil)??jkqil
从而得到
?(eijekl)??(?jkeil)??jkqil?qijqkl??(eij)?(ekl)
对一般的n，设有向图Qn：
q11?q22?q12q23qk,k?qk?1,k?1?qk,k?1qk?1,k?2qn?1,n?qnn
的路代数为KQn，记KQn的子路
qij?qi,i?qi?1,j (n?j?i?1) (n?i?j?1)
则其为KQn的一组基，其维数为
n(n?1). 2对上三角矩阵代数Tn(K)，其一组基为eij(n?j?i?1) ，eij是(i,j)为K的单位元，其他为K的零元的矩阵，其维数为
n(n?1).则映射： 2?：eij?qij，n?j?i?1
是上三角矩阵代数Tn(K)到路代数KQn上的同构映射.因为： 对所有的n?j?i?1 ，n?l?k?1 有
eijekl??jkeil
其中当j?k时?jk=1，当j?k是?jk=0，易知
?(?jkeil)??jkqil
从而
?(eijekl)??(?jkeil)??jkqil?qijqkl??(eij)?(ekl)
即证.
第三章 可上三角化代数
§3.1 可上三角化矩阵
引出：可上三角化矩阵就是把一个矩阵通过线性变换变成上三角矩阵的形式
§3. 可上三角化代数
结论：设T?Tn(K)，P?Mn(K)，且P可逆，则所有形如P?1TP的矩阵的
集合称为一个Mn(K)的子代数.
证明：只需要证明该集合中的元素对Mn(K)中的结合法封闭即可，设T1，
T2?Tn(K)则：
P?1T1P+P?1T2P=P?1(T1?T2)P P?1T1PP?1T2P=P?1TT12P
因为：
T1+T2?Tn(K) T1T2?Tn(K)
即得.
定义3.2.1：固定一个可逆矩阵P?Mn(K),我们称代数
Pn(K)=?P?1TPT?Tn(K)?
为Mn(K)的关于P的可上三角化子代数，简称为可上三角化代数.称P为Pn(K)的上三角化矩阵.
结论：上三角代数Tn(K)与可上三角化代数Pn(K)同构. 证明：设T?Tn(K)，P?1TP?Pn(K)，做映射：
?：T?P?1TP
则映射?是Tn(K)到Pn(K)的同构映射，即证.
结论：可上三角化代数Pn(K)与有n(n?2)个顶点的有向图
q11?q22?的路代数同构.
q12q23qk,k?qk?1,k?1?qk,k?1qk?1,k?2qn?1,n?qnn
证明：因为上三角代数Tn(K)与有n(n?2)个顶点的有向图
q11?q22?q12q23qk,k?qk?1,k?1?qk,k?1qk?1,k?2qn?1,n?qnn
的路代数同构，而上三角代数Tn(K)与可上三角化代数Pn(K)同构，即证.
由之前的讨论我们知道可上三角化代数
Pn(K)=?P?1TPP?Mn(K),且P可逆,T?Tn(K)?
n(n?1)n(n?1)，那么对Mn(K)的任一个维数是的子代数，是否是可上22三角化代数，若是可上三角化则代数，其上三角化矩阵P是否唯一？
的维数是
当n=2时，Mn(K)的维数是4，M2(K)的子代数必是其子向量空间，M2(K)的维数是3的子向量空间有4个，故M2(K)的维数是3的子代数至多有4个.M2(K)一组基为：
?10?e11=??
00???00?e22=??
?01??00?e21=??
10???01?e12=??
?00?其维数是3的子向量空间有：
M1?L(e11,e22,e21) M2?L(e11,e22,e12) M3?L(e11,e12,e21)
M4?L(e12,e21,e22).
显然M1，M2是M2(K)的结合法封闭，是M2(K)的子代数，而
?00??01??00?==e21e12=?e???22???M3?L(e11,e12,e21)，
?10??00??01??01??00??10?e12e21=????=e11=???M4?L(e12,e21,e22)，
001000??????因此M3，M4不是M2(K)的子代数.
由上知P2(K)=?P?1TPP?M2(K),且P可逆,T?T2(K)?为M2(K)的关于P的