习题3-1 二维随机变量及其分布
1．设二维随机变量(X，Y)的密度函数为
?Cxy，0?x?1，0?y?1 f(x，y)??其它?0，求：（1） 常数C，（2）p{X?Y?1}，（3）p{X?Y} 解（1）
??????????f(x,y)dxdy?1
1c(?xdx)(?ydy)?1001?c?41 X+y=1 1
（2）p{X?Y?1}?（3）p{X?Y}?
?10x[?1?y04xydx]dy??102(1?y)ydy?12216
?10[?4xydy]dx?0?102xdx?3
X=y X\\Y 1 2 3 p?j 1 0 1/6 1/12 1/4 2 1/6 1/6 1/6 1/2 3 1/12 1/6 0 1/4 pi? 1/4 1/2 1/4 1
2．一口袋中有四个球，它们依次标有数字1,2,2,3。从这袋中任取一球后，不放回袋中，再从袋中任取一球。设每次取球时，袋中每个球被取到的可能性相同。以X、Y分别记第一、二次取到的球上标有的数字，求?X,Y?的分布律与关于X和Y的边缘分布率及P?X?Y?。 解：
P{X?Y}?P{X?1,Y?1}?P{X?2,Y?2}?P{X?3,Y?3}?0?16?0?16
3．设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为：
?cxy2f(x,y)???0(0?x?2,0?y?1),（其他）.
试求 (1) 系数c； (2) X和Y各自的边缘密度函数；
(3) P(X?Y) 解（1）
??????????
f(x,y)dxdy?1
11c(?xdx)(?ydy)?1002?c?（2）fX(x)?32f(x,y)dy
??????13?x2??xydy,0?x?2?,0?x?2??02??2 ??0,其他??0,其他2?232??xydx,0?y?1?3y,0?y?1?? f(x,y)dx??020,其他??0,其他?fY(y)??????(3) P(X?Y)???02132xxydydx??220?xx4????dx?0.15 ?22???X=y 2
4．求在D上服从均匀分布的随机变量?X,Y?的密度函数，其中D为x轴、y轴及直线y?2x?1围成的三角形区域；并写出关于X及关于Y的边缘密度函数。
1??4,??x?0,0?y?2x?1解：f(x,y)?? 2?0,其他?fX(x)??2x?1????0???????f(x,y)dy
11??8x?4,??x?0??2?0,其他?4dy,?20,其他?x?0
fY(y)???????0?y?1f(x,y)dx???2??4dy,0?y?10,其他?2(1?y),0?y?1??
0,其他?
Y=2x+1 1 -1/2
5．设国际市场上甲、乙两种产品的需求量（单位：吨）是服从区域G上的均匀分布，试求两种产品需求量的差不超过1000吨的概G?{(x,y)2000?x?4000,3000?y?6000}，
率.
1??,(x,y)?G解：f(x,y)??6000000
?0,其他?P{Y?X?1000}???f(x,y)dxdy??400002000?x?1000160000003000dydx?13
y?x?1000
习题3-2 独立性与条件分布
1．袋中有2个红球，3个白球。现随机地抽取2次，每次抽取一个，定义
?1X???0第一次取到红球第一次取到白球，Y???1?0第二次取到红球第二次取到白球，
分别就有放回和无放回抽样两种情况，求(X,Y)的分布律和关于X,Y的边缘分布律，并判断X,Y是否相互独立。
[解] （1）有放回抽样：
(X,Y)的分布律和出边缘分布为：
Y\\X01pi?X、Y相互独立。
09625255164225255p?j3255
313103524310（2）无放回抽样：P{X?0,Y?0}?P{X?1,Y?0}?25?34?31035?24?，P{X?0,Y?1}?25?14?110??
，P{X?1,Y?1}?
(X,Y)的分布律和边缘分布为：
Y\\X01pi?0331010513110105p?j3255
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