3．设随机变量X,Y相互独立，其概率密度分别为
?e?y, y?0?1, 0?x?1 fX(x)??， fY(y)??
0, 其他?0??0, y 求随机变量Z?2X?Y概率密度函数。 ?e?y,0?x?1,y?0解：f(x,y)?fX(x)fY(y)??
0,其他?FZ(z)?P{2X?Y?z}?0,z?0?zz?2x ??y???2?edy,0?z?200?1z?2x?yedy,z?2????00??0,z?0?1?z?11????z?e,0?z?2
2?22??1e2?z?1?1e?z,z?2?22?
??0,z?0??11?z?fZ(z)?FZ(z)???e,0?z?2
?22?1e2?z?1e?z,z?2?2?2z 2x+y=z z/2
4．设随机变量(X,Y)在正方形G?{(x,y)|1?x?3,1?y?3}上服从均匀分布，试求随机变量Z?|X?Y|的概率密度fZ(z)。
?1?,1?x?3,1?y?3f(x,y)??4
?0，其他?解：
先求Z的分布函数
FZ(z)?P{Z?z)?P{X?Y?z}???f(x,y)dxdyx?y?z
由1?x?3,1?y?3，故0?x?y?2，因此，当z?0时FZ(z)?0 当z?2时FZ(z)?1
当0?z?2时，FZ(z)?14[4?(2?z)]?z?214z2
故
12?z?z,0?z?2??4FZ(z)??0,z?0??1,z?2?
于是
随机变量U?X?Y的概率密度
1??1?z,0?z?2fZ(z)?Fz(z)?? 2?0,其他??第三章 复习题
一 填空题
1．(X,Y)是二维连续型随机变量，用(X,Y)的联合分布函数F(x,y)表示下列概率： （1）p(a?X?b,Y?c)?____________________; （2）p(X?a,Y?b)?____________________;
（3）p(0?Y?a)?____________________;
（4）p(X?a,Y?b)?____________________。
答案：答案
（1）p(a?X?b,Y?c)?F(b,c)?F(a,c) （2）p(X?a,Y?b)?F(a,b)
（3）p(0?Y?a)?F(??,a)?F(??,0) （4）p(X?a,Y?b)? F(??,b)?F(a,b)
2．随机变量(X,Y)的分布率如下表，则?,?应满足的条件是
X Y 1 2 1 1/6 1/3 2 1/9 ? 3 1/18 ? 若X,Y相互独立，则??_________,??________。 答案．????
3．设平面区域D由曲线y?1x13 ??29;??19。
及直线y?0,x?1,x?e2所围成，二维随机变量(X,Y)在区域
D上服从均匀分布，则(X,Y)的联合分布密度函数为 。 答案：
?1?f(X,Y)??2?0?21?x?e,0?y?其他1x
4．设随机变量X1,X2,X3?0相互独立且服从两点分布??0.8?1??，则X?0.2??3?i?1Xi服从
分布 。 答案：二项分布b~(3,0.2)
?2?(x?2y),5．设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)??3?0,?0?x?1,0?y?1其他，则当
0?x?1时，X的边缘概率密度函数fX(x)?____________。
答案：
23(x?1)
二 选择题
?01．设两个随机变量X与Y相互独立且同分布，均服从两点分布?1???31??2 则下列各式成??3?立的是（ ）
（A）X?Y （C） p(X?Y)?1 (B) p(X?Y)?答案：C因为 X Y 0 0 1/9 1 2/9 4/9 1/15 q 1 p 1/5 59 （D） p(X?Y)?0
1 2/9 2．设两个随机变量X与Y的联合分布如下 Y X 0 1 2 则当(p,q)?(（A）??1?5,1??15? -1 1/5 3/10 )时，随机变量X与Y独立。 ?1?15,1??5?（B） ? （C） ??1?10,2??15?（D）??2?15,1??10?
答案：C
因为：P{X?2}?1/5?3/10?1/2
P{X?2,Y??1}?P{X?2}P{Y??1}即1/5?1/2P{Y??1}P{Y??1}?2/5P{X?2,Y?1}?P{X?2}P{Y?1}即3/10?1/2P{Y?1}P{Y?1}?3/5