显然，P{X?0,Y?0}?X、Y不相互独立。
310?P{X?0}P{Y?0}?925
2．
2． 甲、乙两人独立地各进行两次射击，假设甲的命中率为0.2，乙的命中率为0.5，以X和
Y分别表示甲和乙命中的次数。试求X和Y的联合概率分布。
解：因为X与Y相互独立
P{X?m,Y?n}?P{X?m}P{Y?n}?C20.20.8mm2?mC20.50.5nn2?n,m,n?0,1,2.
所以X和Y的联合概率分布律为： Y\\X01200.160.320.1610.080.160.0820.010.020.01
3．设随机变量X在1、2、3、4四个整数中等可能地取值,而随机变量Y在1~X中等可能地取一个整数.求：⑴X?2时,Y的条件分布律；⑵Y?1时,X的条件分布律. 解： X Y 1 2 3 4 1/4 0 0 0 1/8 1/8 0 0 1/12 1/12 1/12 0 1/16 1/16 1/16 1/16 1 2 3 4 p?j 25/48 13/48 1/48 1/16 pi? 1/4 1/4 1/4 1/4 （1）P{X?2}?1/4
P{X?2,Y?yj}P{X?2}P{Y?yjX?2}?
故X?2时,Y的条件分布律
k P(Y?k|X?2) 1 2 3 4 0 0 0.5 0.5
（2）P{Y?1}?25/48
P{X?xi,Y?1}P{Y?1}P{X?xiY?1}?
故Y?1时,X的条件分布律为：
k P(X?k|Y?1) 1 0.48 2 0.24 3 0.16 4 0.12
4．设二维随机变量?X,Y?的联合密度函数为
f?x,y?? ke0,??3x?4y?,
x?0,y?0其他
求：（1）系数k；（2）P?0?X?1,0?Y?2?；（3）证明X与Y相互独立。
解：（1）
??????????
f(x,y)dxdy?1
dx???0k???0e?3xe?4yk?1?3x????1?4y???dy?k??e??1?k?12???e?003412????
（2）
P?0?X?1,0?Y?2?12?12?e0?3xdx?e0?4y?1?3xdy?12??e?3?1?1?4y?2?3?8???e??(1?e)(1?e) ?0?4?0（3）fX(x)??????f(x,y)dy
???3x?4y??3e?3x,x?0?12eedy,x?0 ?????0?0,x?0?0,x?0????x?4y??4e?4y,y?0?12eedx,y?0 ??f(x,y)dx???00,y?0?0,y?0??fY(y)??????显然f(x,y)?fX(x)fY(y)，所以，X与Y相互独立
5．已知(X,Y)的联合密度函数为
?21x2y3，0?x?y?1 f(x,y)??
其它?0，（1）求在Y?y的条件下X的条件概率密度函数 （2）X与Y是否相互独立？说明理由。 （3）求P{0?x?[解]
（1）fX(x)?12|Y?12}
?????f(x,y)dy
1?2126???21x2y3dy,0?x?1?(x?x),0?x?1??4??x
?0,其他?0,其他??y6???21x2y3dx,0?y?1?7y,0?y?1??f(x,y)dx??0
0,其他?0,其他??fY(y)??????
fX|Y(x|y)?f(x,y)?3x2y3??fY(y)0?0?x?y?1其他
（2）显然f(x,y)?fX(x)fY(y)，X与Y不相互独立
P{0?x?}?12,Y?12}1}（3）P{0?x?12|Y?122
P{Y?
P{0?x??P{0?x?1212,Y?,Y?1212}?1 }
习题3-3 二维随机变量函数的分布
1．设X与Y相互独立，且同服从参数为?的泊松分布，即
P{X?k}?P{Y?k}?(1) 求Z?X?Y的分布律；
?ek??k!,k?0,1,2,?,??0，
(2) 求M?max(X,Y)的分布律； (3) 求N?min(X,Y)的分布律。 解：（1）
P{X?Y?n}?P{X?0,Y?n}?P{X?1`,Y?n?1}???P{X?n,Y?0}??2??ne?2?n!
（2）
P{M?m}?P{X?m,Y?m}?P{X?m,Y?m?1}?P{X?m?1,Y?m}???P{X?0,Y?m}?(
?em??m!)?22?em?2?m?1m!?i?0eii!,m?0,1,2,? （3）
P{M?n}?P{X?n,Y?n}?P{X?n,Y?n?1}?P{X?n?1,Y?n}??
n?(?e??n?2??2ein!)?2?en!?,n?0,1,2,?i?0i!
?1?e??x2． 设X,XF(x)??,12,?,Xn相互独立，且具有公共分布函数?0,求Y?n[min(X1,X2,?,Xn)]的分布函数。 解：设Z?min(X1,X2,?,Xn)
FP{Y?y}?P{nZ?y}?P{Z?yX(y)?n}?1?[1?F?y?nX?n?]????[1?1?e??y??nn?1],y?0
??0,y?0???1?e??y,y?0?0,y?0?Y~E(?)
x?0，x?0