ach?1D当a?0时， Tn?[1?2ch()]33???3?当a?0时， Tn?b? （2-6-33） ?1?ach(?D)当a?0, 且-1?D时， Tn?{1?2ch[]}?33??1acos(?D)?当a?0, 且-1?D时， Tn?{1?2cos[]}?33? 公式（2-6-33）有四种条件，用Excel程序计算张力时，可以采用条件语句IF按照式（2-6-33）输入
公式，在实际的工程计算中，不会出现a=0的情况，因此，其输入公式为
=IF(a>0，a/3*(1+2*COSH(ACOSH(D)/3))，IF(a<0, IF(D<-1，a/3*(1-2*COSH(ACOSH(-D)/3))，
IF(D>=-1，a/3*(1-2*COS(ACOS(-D)/3))))))
为了减少用公式法的判断计算，式（2-6-31）也可以用牛顿法求解，叠代公式为
3232Tnk?aTnk?b2Tnk?aTnk?b(k=0，1，2，3…) （2-6-34）
Tn(k?1)?Tnk??223Tnk?2aTnk3Tnk?2aTnk计算时取Tn0= Tm或Tmax，解到Tn(k+1)- Tnk<0.1N时，即取Tn= Tn(k+1)作为计算结果。因为一元三次方程
式有三个根，如果三个都是实数根，用式（2-6-34）可能求得负数根，需要变换Tn0重新计算，直到得出正确结果为止。
悬挂点等高时，cosφ=1，由式（2-6-29）可得
22pnEAl2pmEAl2Tn??Tm??EA?(tn?tm) （2-6-35） 2224Tn24Tm222pnEAl2pEAlm 令a?Tm?即可化为式（2-6-31）的形式求解。 ?EA?(tn?tm)，b?22424Tm式中 φ—悬挂点的高差角，??tan?1h ； l 其它符号同悬链线状态方程式。
除了大档距和大高差的情况外，架空线张力弧垂曲线和安装曲线中的的张力常用式（2-6-35）求解。 比较式（2-6-29）和（2-6-35）可以看出，若用pcosφ、l/cosφ和T/cosφ代替式（2-6-35）中的对应量，就得到式（2-6-29）。利用这一组关系可以简化孤立档的张力弧垂分析过程。
（二） 连续档的状态方程式和代表档距
在线路工程中，一个耐张段常包含若干档距l1、l2···l n，各档距的高差角分别为?1、?2…?n。张力与档距大小有关，由于档距不同，当气象条件变化时，直线杆塔上的悬垂绝缘子串将向张力大的一侧档距偏斜，直到悬挂点两侧的张力相等为止。
图2-6-1 耐张段连续档杆位
由图2-6-1可以看出，l'1+l'2+l'3+l'4=l1+l2+l3+l4，即∑Δli=Δl1+Δl2+Δl3+Δl4=0 不计绝缘子串偏斜对悬挂点高差角的影响时，斜档距的变化量之和 n????ln?lnlnln?lil1?l1?l2?l2l1l2l1?l2???...??(??...?)?(??...?)?0 ?cos?1cos?2cos?ncos?1cos?2cos?ncos?1cos?2cos?ni?1cos?i
52
设安装导线时张力为T0，单位荷载为p0，温度为t0，在m气象条件时的张力为Tm，单位荷载为pm，温度为tm，绝缘子串偏斜引起的水平档距变化量为Δl1、Δl2…Δln。由图2-6-1可得m条件时第一档的线长为
l??l112l?l1?l123Lm1?1?km(l1??l1)3cos?1?1??kml1(1?1)3cos?1
cos?16cos?1cos?16l1安装时第一档的线长为 L01?l11?k02l13cos?1 cos?16由安装到m条件时第一档的线长变量为
T0TTmlTl1l1?L1?[(?)??(tm?t0)]1?(m?0)??(tm?t0)
EAcos?1EAcos?1cos?1EAEAcos2?1cos?1由Lm1= L01+ΔL1 求得第一档的状态方程式为
Tl1?l1?llTl1l11231??kml1(1?1)3cos?1?1?k02l13cos?1?(m?0)??(tm?t0) 2cos?1cos?16l1cos?16EAEAcos?1cos?1T?l1?lTl1l11231?kml1(1?1)3cos?1?k02l13cos?1?(m?0)??(tm?t0) 2cos?16l16EAEAcos?1cos?1同理可得第二档至第n档的状态方程式
T?l2?lTl2l1231?kml2(1?2)3cos?2?k02l23cos?2?(m?0)?2?(tm?t0) 2cos?26l26EAEAcos?2cos?2 ……………….
Tlnln?ln?lT1231?kmln(1?n)3cos?n?k02ln3cos?n?(m?0)??(tm?t0) 2cos?n6ln6EAEAcos?ncos?n将上列各方程的两边分别求和，得
?ln?l?l1?l2?l?l123123123??...??kml1(1?1)3cos?1?kml2(1?2)3cos?2?...?kmln(1?n)3cos?n cos?1cos?2cos?n6l16l26ln?TlnTll212311k0l1cos?1?k02l23cos?2?...?k02ln3cos?n?(m?0)(1??...?) 222666EAEAcos?1cos?2cos?nll1l?2?...?n) cos?1cos?2cos?n??(tm?t0)(nnnnn?l?lTlli T1123323ii0im或 ??km?li(1?)cos?i?k0?licos?i?(?)???(t?t)?m06i?1li6i?1EAEAi?1cos2?ii?1cos?ii?1cos?in在上式中，??li?0，?li的数值较小且有正有负，求和时大部分可以互相抵消，故舍去该项。
lii?1cos?i将km?pm和k0?p0代入后得
2Tm2T02pm224Tm2p0licos?i??24T02i?1n3n3nlili （2-6-36） TmT0nlcos??(?)??(t?t)??iim0?EAEAi?1cos2?ii?1i?1cos?i式（2-6-36）两边均乘以EA?cosi?1nli2?i并整理之，得
n3Tm?EAp24T2imi?12nm?ln3cos?i?T0?li?2i?1cos?iEAp24T2i0i?12n0?lcos?i?EA?(tm?t0)?cos?i?1nnlii （2-6-37）
li?2i?1cos?ili?2i?1cos?i令 cos?D??i?1nnlili /?2cos?ii?1cos?i 53
nnlili3/)??ico2s?i?i1cosnn lD?(?i?1?l?i13ico?si??i1li1?co?si(c?oDs3/2)?ln3i?i1c?osi?nl?i1
c?oisi2222得 Tm-pmEAlDcos3?D=T0-p0EAlDcos3?D-EAa(tm-t0)cos?D （2-6-38）
224Tm24T022222同理，对n情况亦可求得类似方程 Tn?pnEAlDcos3?D?T0?p0EAlDcos3?D?EA?(tn?t0)cos?D（2-6-39）
24Tn224T022222pEAlpEAl3nDmD式（2-6-39）减去式（2-6-38），得 Tn? cos?D?Tm?cos3?D?EA?(tn?tm)cos?D （2-6-40）2224Tn24Tm22或 Tn3?[Tm?pmEAlDco3s?D?EA?tn(?tm224Tm22pnEAlD)c?oTn?]Ds2423?c?s 0 （2-6-41） Do式（2-6-40）和（2-6-41）即是一个耐张段连续档的斜抛物线状态方程式。式中lD为该耐张段的代表
档距，φD为该耐张段的代表高差角。代表档距即是与耐张段张力变化情况等价的孤立档距。
2222pnEAlDpEAl3mD令 a?Tm?cos3?D， cos?D?EA?(tn?tm)cos?D，b?22424Tm得 Tn3-a Tn2-b=0 ，其形式及解法均同式（2-6-31）。
比较式（2-6-40）和（2-6-41）与式（2-6-29）和（2-6-30）可以看出，在耐张段为连续档时，计算出耐张段代表档距lD和代表高差角φD后，就能用孤立档的状态方程式求解连续档的问题。需要知道的是，除了在档距相等和悬挂点等高的耐张段，在单位荷载也相等的情况下，各档的张力变化情况相同以外，其它情况各档的张力变化都是不同的，必要时可以采用计算不平衡张力的方法进行计算。
在工程计算中，除了大档距和大高差的情况外，计算张力弧垂曲线和安装曲线中的张力时，常忽略代表高差角而用如下形式的连续档状态方程式
2222pEAlpEAlnDmD Tn??Tm??EA?(tn?tm) （2-6-42） 2224Tn24Tm式中 lD??li?1n3icos?i?cos?i?1nli
i2222pnEAlDpEAlmD令a?Tm?即可化为式（2-6-31）的形式求解。 ?EA?(tn?tm)，b?22424Tm三、斜抛物线状态方程式的误差
架空线的悬链线状态方程式也称为精确式，因其计算程序比较繁复，在工程计算中常常采用斜抛物线状态方程式，其计算结果误差也是很小的。
假设用LGJ-300/40型导线架设的线路，由平均运行张力控制。导线设计平均运行张力21900N，年平均气温10℃，最高气温40℃，最低气温-20℃。不计耐张段绝缘子串时，分别用式（2-6-7）和式（2-6-29）计算的在不同档距l和高差系数h/l时最高气温条件的导线张力及其相对误差如表2-6-1、2-6-2。
表2-6-1 用斜抛物线公式（2-6-29）和悬链线公式（2-6-7）计算的最高气温张力及其相对误差 h/l 0 l(m) 式(2-6-7) Δ% 式(2-6-7) Δ% 0.2 式(2-6-7) 100 300 500 750 1000 1500 2000 12649.88 18168.51 20062.21 20964.84 21344.47 21642.52 21752.93 0.02023 0.01102 0.01071 0.01105 0.01129 0.01151 0.01158 式(2-6-29) 12647.32 18166.51 20060.06 20962.52 21342.06 21640.03 21750.41 12647.06 18150.05 20048.97 20956.90 21339.42 21640.06 21751.50 0.02053 0.01093 0.01044 0.01069 0.01089 0.01108 0.01115 0.1 式(2-6-29) 12644.46 18148.06 20046.88 20954.66 21337.10 21637.66 21749.07 12640.61 18095.94 20009.76 20933.26 21324.36 21632.69 21747.20 式(2-6-29) 12637.90 18094.00 20007.82 20931.25 21322.29 21630.57 21745.06 54
Δ% 式(2-6-7) Δ% 式(2-6-7) Δ% 式(2-6-7) Δ% h/l 0 l(m) 式(2-6-7) Δ% 式(2-6-7) Δ% 式(2-6-7) Δ% 式(2-6-7) Δ% 式(2-6-7) Δ% 式(2-6-7) Δ% 0.02143 0.01070 0.00968 0.00963 0.00970 0.00980 0.00984 12636.07 18009.87 19946.03 20894.39 21299.47 21620.45 21740.06 0.02296 0.01040 0.00847 0.00791 0.00775 0.00768 0.00769 0.3 式(2-6-29) 12633.17 18008.00 19944.34 20892.74 21297.82 21618.79 21738.39 12641.29 17897.49 19860.10 20841.09 21265.07 21603.43 21730.09 0.02513 0.01016 0.00695 0.00561 0.00509 0.00474 0.00468 0.4 式(2-6-29) 12638.12 17895.68 19858.72 20839.92 21263.98 21602.40 21729.07 12664.81 17765.76 19755.04 20774.44 21221.58 21581.72 21717.34 0.02795 100 0.01014 300 0.00526 500 0.00283 750 0.00179 1000 0.00103 1500 0.00086 2000 0.5 式(2-6-29) 12661.27 17763.96 19754.00 20773.85 21221.20 21581.49 21717.15 表2-6-2 用斜抛物线公式（2-6-29）和悬链线公式（2-6-7）计算的最低气温张力及其相对误差 34845.12 27601.63 24243.42 22961.89 22499.34 22166.72 22050.06 -0.05812 -0.03221 -0.01925 -0.01493 -0.01351 -0.01251 -0.01215 34799.41 27630.05 24263.55 22971.99 22505.18 22169.36 22051.56 -0.05819 -0.03235 -0.01907 -0.01459 -0.01311 -0.01208 -0.01171 34664.61 27711.97 24323.35 23002.16 22522.68 22177.27 22056.03 -0.05839 -0.03278 -0.01855 -0.01358 -0.01193 -0.01080 -0.01041 34447.55 27837.78 24420.91 23052.07 22551.74 22190.44 22063.48 -0.05871 -0.03356 -0.01780 -0.01197 -0.01000 -0.00867 -0.00824 34158.92 27992.95 24553.04 23121.15 22592.19 22208.84 22073.90 -0.05911 -0.03479 -0.01696 -0.00982 -0.00737 -0.00573 -0.00523 33812.23 28160.12 24715.09 23208.52 22643.77 22232.42 22087.28 -0.05957 -0.03653 -0.01626 -0.00728 -0.00412 -0.00199 -0.00139 式(2-6-29) 34865.38 27610.53 24248.09 22965.32 22502.38 22169.49 22052.74 0.1 式(2-6-29) 34819.67 27638.99 24268.18 22975.34 22508.13 22172.04 22054.14 0.2 式(2-6-29) 34684.86 27721.06 24327.86 23005.28 22525.37 22179.67 22058.33 0.3 式(2-6-29) 34467.79 27847.13 24425.26 23054.83 22554.00 22192.37 22065.30 0.4 式(2-6-29) 34179.13 28002.69 24557.21 23123.42 22593.86 22210.11 22075.06 0.5 式(2-6-29) 33832.38 28170.41 24719.11 23210.21 22644.70 22232.86 22087.58 从表2-6-1、2-6-2可以看出，在上述假设条件下，用斜抛物线公式（2-6-29）和悬链线公式（2-6-7）计算的相对误差在-0.06~+0.03%之间，且其大的趋势是随着档距的增加而减小。由此可以认为斜抛物线状态方程式完全适用于架空线路的工程计算。
第七节 临 界 档 距
导线的张力是随档距和气象条件而变化的。在设计时，计算导线的控制张力有两个，一是在任何气象条件下，导线的张力不得大于最大使用张力，二是为了满足耐振的要求，在年平均气温条件下，导线的张力不得大于平均运行张力。导线的控制张力和出现控制张力的气象条件总称为控制条件。控制条件随档距而变化。当大于某一档距范围时，由一种情况控制，当小于该档距范围时，则由另一种情况控制，其间就有一个档距，两种情况都是控制条件，这一档距就称为临界档距。
计算导线张力时的控制条件一般有以下几种情况：1. 最大使用张力和最低温度时；2. 最大使用张力和最大风速时；3. 最大使用张力和覆冰时；4. 年平均运行张力和年平均气温时。
因为控制条件的pm、pn、Tm、Tn、tm、tn都是已知的，h在施测和确定杆塔型式后成为已知条件，故可用悬链线状态方程式（2-6-7）或斜抛物线状态方程式（2-6-29）求临界档距lj。
一、用悬链线状态方程式求临界档距lj
55
在式（2-6-7）中，用lj代换l，得
{1?2Tn2EAh2?(shknlj)2sh2kmljknh2122{lj+sh2knlj[1?2()]}}(h?)22knshknljkm shknlj kn2?h??02[1??(tm?t0)]2Tmkmh221kn{1?{l+sh2kl[1?2()]}}jmj[1??(tn?t0)]22kshklshklmmj2EAh2?(mj)2km2[1??t(?t)]m0令 Bt?
2[1??t(n?t0)]sh2kmljknh2122{1?{lj+sh2knlj[1?2()]}}(h?)22kshklkshklnnjm2EAh2?(nj)22得 shknlj （2-7-1） kn2?h??02Tmkh1knBt{1?{lj+sh2kmlj[1?2(m)2]}}22kmshkmljshkl2EAh2?(mj)2kmTn式（2-7-1）原则上可以用牛顿法求解，因其含有多种运算，求导过程比较繁琐而容易出错，可用试凑法求解。
二、用斜抛物线状态方程式求临界档距
在式（2-6-29）中以m和n作为两种控制条件，可求出其临界档距为
lj?1cos?6[Tn?Tm?EA?cos?(tn?tm)] （2-7-2）
22EA(kn?km)cos?1cos?6?(tn?tm) （2-7-3） 22(kn?km)当Tn?Tm时， lj?在工程计算中，除了大档距和大高差的情况外，计算张力弧垂曲线和安装曲线时，一般不考虑悬挂点
高差角φ的影响，这时，式（2-7-2）和（2-7-3）变为
lj?6[Tn?Tm?EA?(tn?tm)] （2-7-4）
22EA(kn?km)当Tn?Tm时， lj?6?(tn?tm) （2-7-5） 22(kn?km)三、用临界档距判别控制条件所控制的档距范围
判别控制条件所控制的档距范围的程序如下： 1.计算k值，按k值由小到大给四种可能的控制情况以ABCD的编号； 2. 列表如表2-7-1，计算各临界档距填入表中；
3. 从k值最小的A栏开始判别，若该栏有一个临界档距值为0或虚数，则该栏内无有效临界档距，即转B栏进行判别，然后再对C栏进行判别。若全栏无临界档距值为0或虚数，则选取该栏中最小的一个临界档距为第一个有效临界档距，而舍弃该栏内的其他临界档距。这个临界档距就是A条件控制档距范围的上限和第二个脚标字母代表的控制条件控制档距范围的下限。
4. 紧接着对所选得的第一个临界档距脚标第二个字母所代表的栏进行判别。如第一个有效临界档距为lAB，则对B栏进行判别，如第一个有效临界档距为lAC，则对C栏进行判别，这时B栏被隔越，且B栏的临界档距全部舍去。依此类推至判完C栏。
表2-7-1临界档距判别表
A
B 56
C