第二章 流体静力学
学习要点：熟练掌握静压强、相对压强、等压面、压心等基本概念，以及相对压强和静水总压力的计算，静水压强分布图和压力体图剖面图的绘制；掌握静压强的基本特性、压强的表示方法；了解连通器原理、流体的相对平衡、潜体和浮体的平衡与稳定等。
第一节 静压强的基本特性
一、基本概念
1.静压力 静止流体对受压面所作用的全部压力。 2.静压强 受压面单位面积上所受的静压力。
静止流体表面应力只能是压强（压应力），流体不能承受拉力，且具有易流动性。 二、静压强的基本特性
1.压强的基本特性:
静压强的方向垂直指向受压面。或者说静压强的方向沿着受压面的内法线方向。
为了论证这一特性，在静止流体中任取截面N—N将其分为Ⅰ、Ⅱ两部分，取为隔离体（或脱离体），Ⅰ对Ⅱ的作用由N—N外面上连续分布的应力代替(图2—1)。
若N—N面上，任一点的应力p的方向不是作用面的法线方向，则p可分解为法向应力p和切向应力τ。而静
止流体不能承受切力，故上述情况在静止流体中是不可能存在。又因为流体不能承受拉力，故P的方向只能和作用面的内法线方向一致，即静止流体中只存在压强。
2.静压强的基本特性
静压强的大小与作用面的方位无关，即在仅受重力作用的静水中，任意一点处各个方向的静压强均相等。即有：
px?py?pz?p?F?0，即各向分力投影
（2—1）
证明：从平衡状态下的流体中取一微元四面体OABC，如图所示取坐标轴（如图2—2）。 由于液体处于平衡状态，则有?之和亦为零，则：
Px?Pncos(n,x)?Fx?0?? P ? P cos( n , y ) ? F ? ? （2—2） 0yny?
Pz?Pncos(n,z)?Fz?0?
x方向受力分析: 表面力：
1?P?p?dydzxx??2??Pcos(n,x)?p?1dydznn?2?
（2—3）
n为斜面ABC的法线方向
? X质量力： F x ? ? dxdydz / 6 （2—4）
px?pn?
13dx??X?0
（2—5）
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当四面体无限地趋于O点时，则dx?O，因此，
px?p类似地有：
xyz?而n是任意选取的，所以同一点静压强大小相等，与作用面的方位无关。
p?p?p?p说明：（1）.静止流体中不同点的压强一般是不等的，同一点各个方向的静压强大小相等。
（2）.运动状态下的实际流体，流体层间若有相对运动，则由于粘性会产生切应力，这时同一点上各向的压强不再相等。流体动压强定义为三个互相垂直的压应力的算术平均值， 即
p?
13(px?py?pz)（2—6）
（3）.理想流体运动流体时，由于?=0，不会产生切应力，所以理想流体动压强呈静压强分布特性。
px?py?pz?p第二节 静止流体平衡微分方程
一、静止流体平衡微分方程——欧拉方程
1.欧拉方程
在平衡流体中取一微元六面体，边长分别为dx，dy，dz，设中心点的压强为p(x，y，z)=p，对其进行受力分析（如图2—3）：
y向受力(p??pdy?y2)dxdz
表面力：(p??pdy?y2)dxdz
质量力：Y?dxdydz
根据平衡条件，在y方向有?Fy=0，即：
(p?整理得：Y??pdy?y2)dxdz?(p??pdy?y2)dxdz?Y?dxdydz?0 （2—7）
1?p??y?0 （2—8）
流体平衡微分方程（即欧拉平衡微分方程，简称为欧拉方程）：
X?Y?Z?1?p??x1?p??y1?p??z?0??? ?0???0?? （2—9）
2.物理意义
处于平衡状态的流体，单位质量流体所受的表面力分量与质量力分量彼此相等。压强沿
?p轴向的变化率（?x,?p?y,?p等于该方向上单位体积内的质量力的分量（?X、?Y、?Z）。 ?z）
二、静止平衡微分方程的全微分式
为对式(2—9)进行积分，将各分式分别乘以dx、dy、dz然后相加，得：
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?p?xdx??p?ydy??p?z dz??(Xdx?Ydy?Zdz) （2—10）
压强p?p(x,y,z)是坐标的连续函数，由全微分定理，上式等号左边是压强力的全微分。
dp??(Xdx?Ydy?Zdz) （2—11）
上式是欧拉方程的全微分表达式，也称为平衡微分方程的综合式。通常作用于流体的单位质量力是已知的，将其代入式(2—11)进行积分，便可求得流体静压强的分布规律。 三、等压面
1.等压面（Equipressure Surface）
压强相等的空间点构成的面(平面或曲面)称为等压面，例如静止液体的自由表面。 2.等压面的性质：平衡流体等压面上任一点的质量力恒正交于等压面。
??f?ds?0 （2—12）
运用平衡微分方程的综合式，证明等压面的这一重要性质，即等压面与质量力正交。
证明：如图2—4，设等压面如图，因面上各点的压强相等（p＝C）dp?0，代入式(2—11)，得：
?(Xdx?Ydy?Zdz)?0
?式中??0，则等压面方程为Xdx?Ydy?Zdz?0 以X、Y、Z为等压面上某点M的单位质量力f在坐标x、
?y、z方向的投影，dx、dy、dz为该点处微小有向线段dl在坐标x、y、z方向的投影，于是：
??Xdx?Ydy?Zdz?f?dl?0 （2—13）
??即f和dl正
?dl在等压面上有任意方向，由此证明，等压面与质量力正交。
由等压面的这一性质，便可根据质量力的方向来判断等压面的形状。例如，质量力只有重力时，因重力的方向铅垂向下，可知等压面是水平面。若重力之外还有其它质量力作用时，等压面是与质量力的合力正交的非水平面。常见的等压面有：自由液面和平衡流体中互不混合的两种流体的交界面等。
第三节 重力场中流体静压强的分布规律
一、水静力学的基本方程
1.帕斯卡（Pascal Blaise，法国数学家、物理学家，近代概率论的奠基者）定律： 在同一种均质的静止液体中，任意点的静压强，与其淹没深度成正比，与液体的重度成正比，且任一点的静压强的变化，将等值地传递到液体的其它各点（图2—5）。
p?p0??h （2—14）
重力作用下静止流体质量力：X?Y?0，Z??g 代入流体平衡微分方程的综合式：
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dp??(Xdx?Ydy?Zdz)
dp???dz，p???z?C
在自由液面上有：z?H，p?p0，C?p0??H，
p???z?c，C?p0??H
由此可得水静力学基本方程：p?p0??(H?z)?p0??h
或 当p0?0时，p??h 2. 连通器原理
帕斯卡连通器原理简单称为连通器原理，在仅受重力作用下的均质、连通、静止的液体中，水平面就是等压面。
⑴仅受重力作用下，静止流体中某一点的静压强随深度按线性规律变化。
⑵仅受重力作用下，静止流体中某一点的静压强等于表面压强加上流体的容重与该点淹没深度的乘积。
⑶自由表面下深度h相等的各点压强均相等——只有重力作用下的同一连续连通的静止流体的等压面是水平面。
⑷推广：已知某点的压强和两点间的深度差，即可求另外一点的压强值。
p2?p1???h （2—15）
二、重力作用下静流体力学基本方程
1.重力作用下静流体力学基本方程 因为 dp???dz
p所以，静流体力学基本方程又可写为：?或 2.静流体力学基本方程的意义：
?z?cp1
p2z1???z2?? （2—16）
⑴.位置水头Z：任一点在基准面以上的位置高度，表示单位重量流体从某一基准面算起所具有的位置势能，简称比位能，或单位位能或位置水头。
⑵.测压管水头p/?：表示单位重量流体从压强为大气压算起所具有的压强势能，简称比压能或单位压能或压强水头。
⑶.测压管水头（
z?p? ）：单位重量流体的比势能，或单位势能或测压管水头。
仅受重力作用处于静止状态的流体中，任意点对同一基准面的单位势能为一常数，即各点测压管水头相等，位头增高，压头减低。在均质（?=常数）、连通的液体中，水平面（z1 = z2=常数）必然是等压面（ p1 = p2 =常数）。 二、气体静压强的计算
在不考虑压缩性时，式(2—14)也适用于气体。但由于气体的密度很小，在高差不很大时，气柱所产生的压强很小可以忽略。式(2—16)，简化为p?p0。例如储气罐内各点的压
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图2—6压强的测量
强都相等。
三、压强的表示方法及单位
1.压强的表示方法
①.绝对压强（Absolute Pressure）：是以绝对真空状态下的压强（绝对零压强）为基准计量的压强，用pabs表示，pabs ≥0 。
②.相对压强（Relative Pressure）：又称―表压强‖，是以当地工程大气压pa为基准计量的压强。用?表示，?= pabs–pa，?可正可负，也可为零（图2—6）。
③.真空（Vacuum）：是指绝对压强小于一个大气压的受压状态， pabs ≥0 ，相对压强出现负值时，真空值与相对压强大小相等，正负号相反（图2—7）。
真空值
p??pa?pabs图2—7真空高
??(pab?pa)s(pabs?pa) （2—17）
真空高度 hv?pv??pa?pabs? （2—18）
pv当某点的绝对压强小于当地大气压，即处于真空状态时，也是可以直接量测的高度。
?g量测的方法是，在该点接一根竖直向下插入液槽内的玻璃管(图2—7)．槽内的液体沿玻璃管上升的高度hv，因玻璃管内液面的压强等于测点的压强pabs??hv?pa
hv?pa?pabs?pv （2—19）
??1.压强的单位及其换算
①.国际单位制：国际单位制中压强的单位主要有pa（或atm）、Pa（或N/m2）、Kpa（或kN/m2）、Mpa等。
②.工程单位制：工程单位制中压强的单位主要有kgf/m2、m（H2O）、mmHg和at等。 ③.单位换算：1pa =0.1013 MPa =101.3 Kpa =1.103×105 Pa =1.033 kgf/m2=10.33 m（H2O）=760 mm（Hg）
1at=1 kgf/m2=10 m（H2O）=736 mmHg=0.098 MPa =98 Kpa =98000 Pa
说明：计算时无特殊说明时液体均采用相对压强计算，气体一般选用绝对压强。
例2—1 求淡水自由表面下2m深处的绝对压强和相对压强（认为自由表面的绝对压强为1at） 解：绝对压强
pabs?p0??h?pa??h?98000N?117.6kpa?1.2at?1.2kgf/cmm22?9800Nm3?2m
相对压强： p?pabs?pa??h?9800?2?19.6kNm2?0.2at
例2—2 密闭容器(图2—8)，测壁上方装有U形管水银测压计，该值hp＝20cm。试求安装在水面下3.5m处的压力表读值。
图2—8测压计算
解: U形管测压计的左支管开口通大气，液面相对压强加pN=0，容器内水面压强
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