blyD?yc?IcycA?l2?l2312?bl?23l?2h?3sin30?4m
⑵.图算法
绘出压强分布图ABC，由式(2—31)总压力的大小： P?bs?b12?hhsin30??b?h2?441m
总压力方向为受压面内法线方向。 总压力作用线通过压强分布图的形心 yD?2h?3sin30?4m
可见两种方法所得计算结果相同（图2—16）。
例2—8：用图解法计算图2—17的静水总压力大小与压心位置。
解：作出矩形闸门上的压强分布图：底为受压面面积，高度是各点的压强。
?h1hhB ?h1hb ?(h1?h2) ? (h?h)12图2—17 ha?2b()，a上底，b下底 3a?b总压力为压强分布图的体积，梯形形心坐标：
F?12[?h1??(h1?h2)]?b?h2?58.8kN
作用线通过压强分布图的重心：
yD?h1?h2?h1?2?(h1?h2)3?h1??(h1?h2)?2.17m
例2—9：如图2—18已知矩形平面h=1m，H=3m，b=5m，求F的大小及作用点。 解：⑴、解析法
F??hcA??(3?12H?h2?1)??h)?H?hsin30op1 H ?H30° ?hh p2 ?b图2—18 ?9.81?(3?1sin30o?5?392KN
H?hoyD?yc?IcycA?hcsin30o1?12hc?b?(sin30o13sin30?m
3H?h?b?osin30)3 ⑵、图解法
26
压力图分为二部分（三角形+矩形）???(H?h)?H?h?8?
o2sin30F??b?8??5?40??392KN
F1?
o?2(H?h)?H?hsin30oH?hsin30?20?o?b?20?
yD1?yD2?2H?h3sin302sin301H?ho??hsin30hsin30oo??2312?4?2?143
F2??hb?4?2?4?F?yD?F1yD1?F2yD2?yD?12(yD1?yD2)?(143?4)?12?133
例2—10：如图2—19所示，一直径d=2000mm的涵洞，其圆形闸门AB在顶部A处铰接，如图。若门重为3000N，试求：（1）作用于闸门上的静水总压力P；（2）P的作用点；（3）阻止闸门开启的水平力F。 解：（1）圆形闸门受压面形心到水面的距离为
h0=1.5+1.0=2.5m；闸门的直径D为2.83m（D=2/sin45°）； 闸门面积为：A??D4245° ??(2.83)42?6.28m
2o yx yD c 铰点 A C G 1.5m C 作用于圆形闸门上的总压力为： P=?hcA=9800?2.5
?6.28=153860N
（2）圆形闸门中心至ox轴的距离为yc?2.5sin45od P B 涵洞 ?3.54m
圆形闸门面积A对经闸门中心且平行于ox轴之惯性矩Ixc为：
图2—19
Ixc??D644?3.14(2.83)644?3.14m
yD?yc?IcxycAIcxycA3.14?3. 54?6.284yD?yc?IcxycAIcxycA得yD?yc?得yD?yc??3.143.54?6.28?0.14m?0.14m故总压力作用点在闸门中心正下方0.14m处。
（3）因铰点在A处，则作用于闸门的所有外力对此点之力矩总和必为0，即
P(yD?1.5sin45o)?G?1.0?F?2.0?0
得阻止闸门的开启力
F?153860(3.54?0.14?2.12)?3000?12?118511N
第六节 液体作用在曲面壁上的总水压力
实际的工程有很多曲面结构，如圆形贮水池壁面、圆管壁面、弧形闸门以及球形容器等多为二向曲面(柱面)或球面。本节着重讨论液体作用在二向曲面上的总压力。 一、作用在曲面壁上的总水压
曲面上的静压力有：水平分力、垂直分力、静水总压力（图2—20）。
27
在曲面上沿母线方向任取条形微元EF，因各条形微元上的压力dP方向不同，而不能直接积分求作用在曲面上的总压力。为此将dP分解为水平分力和铅垂分力。
1.水平分力Px
Fx??dFx??Az?hdAz??hcAz（2
—39）
图2—20曲面上的总压
结论：作用于曲面上的静水总压力F的水平分力Fx等于作用于该曲面的垂直投影面（矩形平面）上的静水总压力，方向水平指向受力面，作用线通过面积Az的压强分布图体积的重心。
2铅直分力Fz
Fz??Ax?hdAx???AxhdAx??VABB?A???Vp （2—40）
式中：Vp ——压力体体积
结论：作用于曲面上的静水总压力F的铅垂分力Fz等于该曲面上的压力体所包含的液体重，其作用线通过压力体的重心，方向铅垂指向受力面。
3.静水总压力
作用在曲面上的静水总压力：F?F与水平面的夹角：??tg?1FFx?Fz
22(Fz) （2—41）
x作用线：必通过Fx ， Fz的交点，但这个交点不一定位于曲面上。对于圆弧面，F作用线必通过圆心。F的作用点作用在F作用线与曲面的交点。
二、压力体（图2—21）
1.压力体体积的组成: ①.受压曲面本身；
②.通过曲面周围边缘所作的铅垂面； ③.自由液面或自由液面的延长线。 2.压力体的种类：
压力体可分为实压力体和虚压力体。 ①.实压力体：压力体和液体在曲面
AB的同侧，如同压力体内实有液体，习惯上称为实压力体，实压力体Pz方向向下。
②．虚压力体：压力体和液体在曲面AB的异侧，其上底面为自由液的延伸面，压力体内虚空，习惯上称虚压力体，虚压力体 Pz方向向上。
3.曲面壁的压力体图与压力体剖面图的绘制：
①.压力体图的绘制：大小：pz= γV；方向：水在上方向向下，水在下向上。 ②.压力体图剖面图的绘制：大小：pz= γΩb；方向：水在上方向向下，水在下向上。
28
图2—21压力体
注：压力体图剖面图的组成：曲线、过曲线两端点的铅垂线和水面线或水面线的延长线。
例2—11：图2—22为一挡水曲面AB的两种放置方式，该曲面是半径为2.5m的四分之一圆柱面、曲面宽为3m，转轴为O，分别求出作用在该曲面上的总压力的大小和方向。 解：先绘出图中铅直投影面上的压强分布图和压力体图。 依式(2—39)得水平方向的分力为 px??hCAx?9.8?2.52?2.5?91.875kN
px,A?Px,B
依式(2—40)得铅直方向的分力为
p??V?9.8?1?3.14?2.52?3?144.244kN Z4Pz,A?144.244kN，Pz,B?144.244kN
图2—22曲面总压力计算
总压力P?Px?Pz?2291.8752?144.2442?171.019kN
P的作用线与水平面的夹角为：??arctgPz?arctg144.244?57.50
Px91.875 总压力的作用线通过转轴O并指向曲面AB，P的作用线与曲面的交点D，即为静水总压力的作用点。 例2—12：一球形容器由两个半球面铆接而成的，铆钉有n个，内盛重度为?的液体，求每一铆钉受到的拉力（图2—23）。 解：取球形容器的上半球为受压曲面，则其所受到的压力体如图所示，则有：
nF??Vp??[?R(R?H)]223?R??(?R3313??RH)2
?132F? (?R??RH)n3图2—23
例2—13：用允许应力[? ]=150MPa的钢板，制成直径D=1m的水管，该水管内压强高达500m水柱，求水管壁应有的厚度（忽略管道内各点因高度不同而引起的压强差，图2—24）。
解：取长度为1m管段，并忽略管道内各点因高度不同而引起的压强差，而认为管壁各点压强都相等。
设想沿管径将管壁切开，取其中半管作为脱离体来分析其受力情况（如图）。作用在半环内表面的水平压力等于半环垂直投影面上的压力，?pF=p ? Az= p D1 这压力受半环壁上的拉应力承受并与之平衡，即：2T=F=PD
设T在管壁厚度上是均匀分布的，则：T≤[?] ?e?1
?e?T[?]?pD/2[?]?9800?500?12?150?106图2—24
?0.0163m?1.63cm
29
第七节 潜体和浮体的平衡与稳定
一、基本概念（如图2—25）
浮力：液体对物体向上的静水总压力。浮力的大小与物体所受的重力之比有以下三种情况： (1)G＞Pz称为沉体。物体下沉，如石块在水中下沉和沉箱充水下沉； (2) G ＝Pz称为潜体。物体可在水中任何深度维持平衡，如潜水艇； （3)G＜Pz称为浮体。物体部分路出水面，如船舶、浮标、航标等。 2.浮心：浮力的作用点。
3.浮体：液体中自重小于同体积液重的物体。 4.浮轴:过浮心和重心的连线。
5.定倾中心：浮体受力后，浸没在液体部分的形状改变后的浮力，通过新浮心的作用线，与原浮轴的交点。
6.定倾半径：定倾中心到浮心的距离。 7.偏心距：浮心到重心的距离。
8.潜体：液体自重等于同体积液重的物体。二.阿基米德浮力定律： 二、阿基米德浮力定律
图2—25潜体
图2—25浮体
如图2—25所示，体积V的物体沉没于流体中，物体表面按外法线n与h坐标轴夹角大于和小于π/2，可以分为两部分，即上、下部分表面，设A1为上表面，A2为下表面，按压力体概念，上表面A1受流体作用的铅垂合力，等于曲面A1和沿其周界铅垂向上所作柱面与自由表面ab围成的体积V1之流体重量，即Ph1=?V1压力体V1为实
图2—26
力体，故合力Ph1方向朝下（如图2—26）。同理，曲面
A2所受流体作用的铅垂合力 P h =?V2显然，压力体V2为虚压力体，故合力 P h 方向朝上。则整个物体上、
22下表面受力代数和，若以向上为正，
P?Ph2?Ph1??(V2?V1)??V （2—42）
这就是物体实际受到的浮力。等于同体积流体重量。于是阿基米德浮力定理得证。
物体在液体中，所受的静水总压力，仅有铅直部分力，其大小就等于物体所排开的同体积的液体重量。P=Pz=γV。
三、物体的沉浮与稳定：
当G＞Pz时，物体下沉到底；当G=Pz时，物体潜没于液面以下任意位置保持平衡；当G＜Pz时，物体部分浮出水面，直至液面以下部分所排开的液重等于自重为止。 四、潜体的平衡与稳定：
浮心在重心以上，稳定平衡；浮心与重心重合，随遇平衡；浮心在重心以下，不稳定平衡。 五、浮体的平衡与稳定
定倾半径高于重心，稳定平衡；定倾半径与重心重合，随遇平衡；定倾半径低于重心，不稳定平衡。
30