2p0?0??php??13.6?9.8?0.2??26.66N/m
压力表读值 p?p0??h??26.66?9.8?0.2?7.64kN/m
2
第四节 流体的相对平衡
前面导出了惯性坐标系中，液体的平衡微分方程及其综合式(2—9)、式(2—11)。在工程实践中，还会遇到液体相对于地球运动，而液体和容器之间，以及液体各部分质点之间没有相对运动的情况，这种情况称为相对平衡。根据达兰贝尔（D’Alembert, Jean le Rond法国数
学家，1717.11.16～1783.10）原理，在质量力中计入惯性力，使流体运动的问题，简化为静力平衡问题，可直接用式(2—9)计算。例如水车沿直线等加速行驶，水箱内的水相对地球来说，
随水车一起运动，水和水箱，以及各部分水质点之间没有相对运动，相对平衡的液体质点之间无相对运动，也无切应力，只有压强。
相对平衡指各流体质点彼此之间及流体与器皿之间无相对运动的相对静止或相对平衡状。因为质点间无相对运动，所以流体内部或流体与边壁之间都不存在切应力。相对平衡流体中，质量力除重力外，还受到惯性力的作用。 一、 等角速度旋转容器内液体的相对平衡
盛有液体的圆柱形容器，静止时液体深度为H，该容器绕垂直轴以角速度ω旋转。由于液体的粘滞作用，经过一段时间后．容器内液体质点以同样角速度旋转，液体均容器，以及液体质点之间无相对运动，液面形成抛物面。
1. 压强分布规律dp???Xdx?Ydy?Zdz?
X??x，Y??y，Z??g
22dp???xdx??ydy?gdz
p??g?22???2?x?y2?2g?z?c=?g???r2g22?z?c （2—20）
?2. 等压面：p=p0+γ（ω2r2/2g-z） （2—21）
例2—3：求如图2—9所示等角速度旋转器皿中液体的相对平衡的压强分布规律。
解：?F(离心惯性力)?ma(向心加速度)?m???2?m?(?r)2??m?r2
则X??x
22Y??2y Z??g
?dp??(?xdx??ydy?gdz) （2—22）
p??(1?x?2
22122?y?gz)?C （2—23）
22图2—9等角速旋转
在原点（x=0，y=0，z=0）： p?p0
?22C?p02x?y?r
等角速度旋转的直立容器中，液体相对平衡时压强分布规律的一般表达式：
rp?p0??(?2g?z) （2—24）
2221
等压面簇（包括自由表面，即 p=常数的曲面）方程
?2r22g?z?C1?p?p0? （2—25）
等压面簇是一簇具有中心轴的旋转抛物面。 具有自由表面的旋转器皿中液体的自由表面方程： 在自由液面上：p?pa?p0 用相对压强表示自由表面方程：
z0??r2g22 （2—26）
任一点压强：
p?p0??(z0?z)?p0??h
二、等角速度旋转球体内液体的相对平衡（图2—10） 压强分布规律 dp???Xdx?Ydy?Zdz?
X??x，Y??y，Z??g dp???xdx??ydy?gdz
22?22?图2—10等角旋
p??g??2?x?y2?2g?z?c=?g???r2g22?z?c （2—27）
?设球心处：x?y?z?0,p?p0 则c?p0 球壁上：r2?R?22?z；p?p0??2??2?R2?z22??gz （2—28）
r??由
dpdz?0得，
2??2z??g?0 z??g2g?2R?2g24?
故最大压强作用点在z???，r?R?2g24?的圆周线上。
三、匀速直线运动容器内液体的相对平衡 压强分布规律 dp???Xdx?Ydy?Zdz?;
质量力除重力外，计入惯性力，惯性力的方向与加速度的方向相反， 即：
X??a，Y?0，Z??g; p????ax?gz??c;
x?0,z?0,p?pa; c?pa p?pa??g令p?pa，得自由面方程：zs?-ag?agx?z （2—29）
?x （2—30）
使水不溢出：zs?H?h， a??gzxs
例2—4 如图2—11所示，一洒水车等加速度a=0.98m/s2向前平驶，求水车内自由表面与水平面间的夹角；若B点在运动前位于水面下深为h=1.0m，距z轴为xB= -１.5m，求洒水车加速运动后该点的静压强。 解：考虑惯性力与重力在内的单位质量力为（取原液面中点为坐标原点） x= -a ； y=0 ；z= -g ，即：dp= ?（-adx -gdz） 积分得： p= -?（ax+gz）+c，在自由液面上： x=z=0 ； p=p0
图2—11
22
得： c= p0 =0 ，代入上式得： p???(agx?z)
Ｂ点的压强为p???(ax?z)??9800(0?98?(?1.5)?(?1.0))?11270N/m2?11.27KPa
Bg9?8自由液面方程为（∵液面上p0=0）： ax+gz
说明：在相对平衡的旋转液体中，各点的压强随水深的变化仍是线性关系。在旋转液体中各点的测压管水头不等于常数。
第五节 液体作用在平面壁上的总水压力
前面研究了液体静压强的分布规律，在工程中除要确定点压强之外，往往还需确定液体作用在受压面上的总压力。力的作用效果是由力的大小、方向和作用点三个因素决定的，因此，总压力的计算就是根据静压强的分布规律，确定合力的大小、方向和作用点。
液体作用在平面上的总压力，计算方法有解析法和图算法。 一、静水压强分布图绘制原则
1、根据基本方程式 p?p0??h，对于有自由液面的无压流按照p=?h ，确定静水压强大小；
2、静水压强垂直于作用面且为压应力。 二、静水压强分布图绘制规则
1.按照一定的比例尺，用一定长度的线段代表静水压强的大小，自由液面处p?0； 2.用箭头标出静水压强的方向，并与该处作用面垂直。
3.受压面为平面的情况下，压强分布图的外包线为直线；当受压面为曲线时，压强分布图外包线亦为曲线。
三、作用在平面壁上的静水总压力
1.解析法
图2—12为任意形状的平面，倾斜放置于水中，与水面成?角，面积为A，其形心C的坐标为xc ，yc ，形心C在水面下的深度为hc 。
①.作用力的大小 微小面积dA的作用力：
图2—12平面上的总压力
dF?pdA??hdA??ysin?dA
静矩
?AydA?ycA
F??dF??sin?yc?A （2—31）
??hcA?pcA结论：潜没于液体中的任意形状平面的静水总压力F，大小等于受压面面积A与其形心点的静压强pc之积。
②.总压力作用点（压力中心）
23
F??sin?yc?A （2—32）
合力矩定理：合力对于某点（轴）的力矩，就等于各个分力对于该点（轴）的力矩之和。 对ox轴求矩：
F?yp??y?dF2??sin??ydA （2—33）
A面积惯性矩：
?AydA?Io?Ic?ycA （2—34）
?I0ycA?yc?IcycA22yp??sin??I0F （2—35）
式中：Io——面积A绕ox轴的惯性矩。I0??yA22 dA?Ic?Ayc （2—36）
Ic——面积A绕其与ox轴平行的形心轴的惯性矩。
结论： ⑴.当平面面积与形心深度不变时，平面上的总压力大小与平面倾角?无关；
⑵.压心的位置与受压面倾角?无关，并且压心总是在形心之下。
只有当受压面 位置为水平放置时，压心与形心才重合。 ③.总压力方向 垂直指向受压面。
表2—1 常见图形的A、yC及IxC值
图 形 矩形 面 积 bh bh2yc h2Ic bh123Ib bh33 三角形 2h3 bh363bh123梯形 ?a?b?h2 ha?2b3a?b h3/36(a2+4ab+b2)/(a+b) лr4/4 (9л-64)r/72л 24 лr/8 4圆 лr2 2r 4r/3л 半圆 лr/2
例2—5：一铅直矩形闸门，已知h1=1m，h2=2m，宽b=1.5m求总压力及其作用点。 解：F?pcA??hcA??(h1?h2)?bh2?9800?(1?2)?1.5?2?58800N?58.8kN 22yp1bh31?1.5?232 12?yc??(h1?)??2?12?2.17mycA2h2?1.5?2(h1?2)?bh22Ich2 例2—6：有一铅直半圆壁（如图2—13）直径位于液面上，求F值大小及其作用点。 解：由式 F??sin?yc?A??hcA?pcA d dF 2
c p 24 图2—13 F?pcA??hcA得总压力
4d113 2?????d???d6?812?sin??I0F?I0ycA?yc?IcycA由式 y?p得
yp
?dyp?I0ycA?43128??d
4d1322??d6?82.图解法 ①．压强分布图
压强分布图是在受压面承压的一侧，以一定比例尺的矢量线段表示压强大小和方向的图形，是液体静压强分布规律的几何图示。对于通大气的开敞容器，液体的相对压强p??h，沿水深直线分布，只要把上、下两点的压强用线段绘出，
中间以直线相连，就得到相对压强分布图，见图2—14。
②.适用范围：作用在规则平面上的静水总压力及其作用点的求解。
③.原理：静水总压力大小等于压强分布图的体积，其作用线通过压强分布图的形心，该作用线与受压面的交点便是压心（压力中心D）。
⑴.大小：P??hC??pC???b?Vp （2—37） ⑵.方向：垂直指向受压面； ⑶.作用点：yD?23图2—14压强的分部
h （2—38）
图算法的步骤是：先绘出压强分布图，总压力的大小等于压强分布图的面积?，乘以受压面的宽度b，即P??b，总压力的作用线通过压强分布图的形心，作用线与受压面的交点就是压心。
例2—7 如图2—15，矩形平板一侧挡水，与水平面夹角α＝300，平板上边与水面齐平，水深h＝3m，平板宽b＝5m。试求作用在平板上的静水总压力。 解： ⑴.解析法 总压力的大小
图2—15平面总压力计
P?pcA??hcA??h2bhsin30???bh2?441
方向受压面内法线方向。作用点由式(2—35)
25
图2—16平面总压力计算