第三章 空间向量与立体几何
第1节 空间向量及其运算
（三）空间向量的运算
1. 掌握空间向量加减法平行四边形或三角形法则
两个向量的加减法有平行四边形法则和三角形法则，其实三角形法则是平行四边形法解析空间向量及其运算 （一）空间向量的概念
1.向量是既有大小又有方向的量。如果把研究范围扩大到空间中就形成了空间向量。 2.数学中所讨论的向量与起点无关，称之为自由向量。
3.过空间任意一点O作向量a ，
b的相等向量OA ,OB ,则 AOB叫做向量a ，
b的夹
角，记作 a , b ，且0 a ,
b 。
（二）空间向量与空间直线、平面
1. l是空间一直线，A,B是直线上任意两
点，则称 AB
是直线l的方向向量。
2. 如果直线l垂直于平面 ，那么直线l的
方向向量
n叫做平面 的法向量。求平面法
向量的一般步骤：
（1）设出平面的法向量
n (x,y,z)；
（2）求出该平面内两个不共线的向量的坐
标a (a
1,b1,c1)b (a2,b2,c2)；
（3）根据法向量的定义建立关于x,y,z的
方程组 n a 0 b 0
；
n（4）解方程组，取其中的一个解，即得法
向量。
3.在空间中，如果一个向量所在直线平行于一个平面，则称这个向量平行于该平面。我们把平行于同一平面的一组向量称为共面向量，不平行于同一平面的一组向量称为不共面向量。
则的简化，并不是有两个法则。由平行四边形法则知，向量的加减法运算可由几何作图来完成，因为减去一个向量等于加上其相反向量，所以，向量的减法可以看成向量加法的逆运算。
空间向量的多边形法则是三角形法则的推广，正确灵活运用多边形法则可简化多个向量和与差的代数运算。 2.空间向量的数乘
（1）实数 与a 的乘积 a
仍然是个向量，且与a 平行。实数0与a 的乘积
0仍然是个
向量。
（2）利用向量共线的充要条件可以证明两个向量共线，也即对于空间任意两个向量
a ， b( b
0)只要找到一个实数 ，使得a
b成立即可。
数学中所讨论的向量与起点无关，称之为自由向量。
3.向量的数量积
（1）两个非零向量a ，
b的数量积a b a bcos a ,
b 是一个实数，三个向量a ， b， c的积a b c是一个向量， 0
与任何向量的数量积为0。
（2）a b 0 a
b；
（3）a
（4）cos a , b a
b
ab
（a 0，b 0）。4.共面向量定理
空间中任意向量a
都可用不共线的两个向
量e1，e2唯一线性表示即存在唯一实数 1，
a b
（6）cos a,b
e
2有a 1e1 22，e1，e2称为向量的
一组基底。 （四）空间向量的坐标表示和空间向量基本定理
1.在给定的空间直角坐标系中， i， j，
k分
别为x，y，z轴正方向的单位向量，对空
间任意向量a
，存在唯一一组三元有序实数
（x，y，z）使得a xi yj zk
，把a xi yj zk
叫做向量a 的标准正交分解， i， j，
k叫做a 的标准正交基，（x，y，z）叫做空间向量a 的坐标，记作a =
（x，y，z）。
2.如果向量 e ， e
12，e3是空间三个不共面
的向量那么存在唯一一组实数 1， 2， 3使
得a e
1e1 22 3e3，空间三个不共面的向量 e e
1，e2，3叫做空间的一组基底。 3.设a OA
(x 1,y1,z1)， b OB
(x2,y2,z2),则
（1） AB
(x2 x1,y2 y1,z2 z1) （2）a
b (x1 x2,y1 y2,z1 z2) （3） a
( x1, y1, z1) （4）a
b x1 x2 y1 y2 z1 z2 （5
）a
ab
（a 0，
b 0） （7）a b a
b 0
x1 x2 y1 y2 z1 z2 0
空间向量
（一）向量的加减法运算
例1如图3-1-1在长方体ABCD A1B1C1D1
中下列各式的运算结果为向量 BD
1的是
( )
(1) A
1D1 A1A AB;
(2) BC BB1
D1C1
;
(3) AD AB DD 1
;
(4) B1
D
1
A 1
A DD1
。.
A. (1) (2) B. (2) (3) C. (3) (4) D. (1) (4)
图3-1-1
分析：在进行加法运算时，首先考虑这两个向量在哪个平面内，然后像平面向量那样运用向量运算定理求解，对减法运算做同样处理。
解：(1) AD
11 A1A AB
AD BD 11 AA1 BA 1;
(2) BC BB
BD 1 D1C11;
(3) AD AB DD BD 2 DD 1
1
1
;
(4) B 1
D1
A1
A DD 1
BD1
DD1
选A。
点评：在对向量进行加减法运算时，一定要运用其运算法则及运算定律来简化，特必要注意有时要将某些向量平移，将其转化到同一个平面去求解。 （二）空间向量共线
例2．已知空间三个不共面的向量 m ，
n，
p 若a 3 m 2 n 4 p ，
b (x 1) m yn 2 p
，且a // b，求实
数x,y的值。
分析：解决向量共线问题的依据是应用共线
向量的充要条件，即a 0时， b a
a // b。
解: a 4 2// b ， b a，
2 y
3 x 1
5解之得： x
2故实数x,y的值分别
y 1
为
5
2
，1。 点评：待定系数法也可以用来解决空间向量
中的有关问题。在解决本题时，有两个关键：一是运用共线向量定理得到相应关系式；二是根据空间向量定理的推论得到关于
,x,y的方程组。
（三）空间向量的数量积 例3．如图3-1-2，S是边长为1的正 ABC所在平面外一点，且SA SB SC 1,若M,N分别是AB,SC的中点，求异面直线
SM与BN所成角的余弦值。