1. CB 直三棱柱 ABC—A
1B1C1中，若CA a，b， CC c，则
1 A1B （ A. a b c a ） C. a b B. c D. b c a b c
2.已知两平面的法向量分别为
m (0,1,0)
n (0,1,1)则两平面所成的二
面角度数为 。
3．(2011北京)如图3-2-10，在四棱锥P ABCD中，PA 平面ABCD，底面
ABCD是菱形，AB 2, BAD 60 .
(Ⅰ)求证：BD 平面PAC;
（Ⅱ）若PA AB,求PB与AC所成角的余弦值； （Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长.
图3-2-10
4. （2011重庆文）如图3-2-11，在四面体
中，平面
平面
，
，
,
.
(Ⅰ)求四面体的体积;
(Ⅱ)
求二面角的平面角的正切值.
图3-2-11
5. （2011湖北）图3-2-12，已知正三棱柱
ABC-A1B1C1的底面边长为2，侧棱长
为3
，点E在侧棱AA1上，点F在侧棱
BB
1上，且AE
BF .
(I) 求证：CF C1E；
(II) 求二面角E CF C1的大小。
图3-2-12
误区一：审题不清
例1.设 a (a
1,a2,a3)，b (b1,b2,b3)，且 a b，记| a b
| m，求 a b 与x轴
正方向的夹角的余弦值。
错解：取x轴上的任一向量
c (x,0,0)，
设
所
求
夹
角
为
，∵
(a b) c
(a1 b1,a2 b,a2 b)3 (x,0,0)3 (a1 b1)x，∴ cos
(
|aa b) c
b| |(a b)xa bc|
11mx 11m，
即余弦值为
a1 b1
m
。
剖析：审题不清。没有看清“x轴正方向”，并不是x轴。
正解：取x轴正方向的任一向量
c (x,0,0)，设所求夹角为 ， (a b) c
(a1 b1,a2 b2,a3 b3) (x,0,0) (a1 b1)x，∴
cos (aa b) c
b| |c|
(a b)x a b|mxm，即为所求。
误区二：空间角的取值范围模糊不清 例2.如图3-2-13，已知ABCD A1BC11D1是棱长为2的正方体，E,F分别是棱BC和CD的中点。
（1）求直线DE与B1F所成角的余弦值； （2）二面角C1 EF A的余弦值。
图3-2-13
错解：建立如图3-2-13所示坐标系，则
D(0,2,0),E(2,1,0),F(1,2,0),
B1(2,0,2)C1(2,2,2)。
(1) DE
(2, 1,0) ,B1F ( 1,2, 2),
cos DE , BF
1, 直线DE与B1F
所成角的余弦值为
15
。 (2) C 1, 2), EF
1E (0, ( 1,1,0),可设平面CEF的法向量为
1n (x,y,z)，
C n1E 0
,解得
x y 2z，可取 n EF
n ( 2, 2,1)，又 AA 1 (0,0,2)
是平面AEF的法向量，所以，cos AA 1
1,n 3
，二面角C的余弦值为1
1 EF A3
。
剖析：本题的错因在于忽视了两条异面直线所成的角和二面角的取值范围，对夹角的取值范围模糊不清，要求同学们一定要把角的范围记清，严格依据角的取值范围求解。 正解：直线DE与B1F
所成角的余弦值为
依据图像分析知二面角C1 EF A的余弦值为
13
。
1. 下列等式中，使点M与点A、B、C一定共面的是( )
A. 3 2
B.OM 1 1 1 2OA 3OB 5OC
C.OM OA OB OC 0
D. MA MB MC 0
2. 已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，点E、F分别是AB、AD的中
点，则EF DC等于（ ） A.
14 B. 14
C.
34 D. 34
3若a (1, ,2)，
b (2, 1,1)，a 与 b的
夹角为600
，则 的值为（ ） A.17或-1 B.-17或1 C.-1 D.1
4.（2011天津） 如图3-14，在长方体
ABCD A1BC11D1中，
E,F分别是棱BC，CC1上的点，CF AB 2CE，
AB:AD:AA1 1:2:4。
（Ⅰ）求异面直线EF与A1D所成的角的余弦值；
（Ⅱ）证明：AF 平面A1ED； （Ⅲ）求二面角A1 ED F的正弦值．
图3-14
5. （2011福建）如图四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD中，AB⊥AD，AB+AD=4，CD=2， CDA 45 ．
（I）求证：平面PAB⊥平面PAD；
（II）设AB=AP．
（i）若直线PB与平面PCD所成的角为30 ，求线段AB的长；
（ii）在线段AD上是否存在一个点G，得 点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由。
图3-15
6．（2011四川）如图3-16，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，延长A1C1至点P，使C1P＝A1C1，连接AP交棱CC1于D。 （Ⅰ）求证：PB1∥平面BDA1； （Ⅱ）求二面角A－A1D－B的平面角的余弦值；
图3-16
7. （2011上海）如图3-17，已知
ABCD
1
A1B1C是底面边长为1D
1的正四棱柱，O1是AC11和B1D1的交点。 （1）设AB1与底面A1B1C1D1所成的角的大小为 ，二面角A B1D1 A1的大小为 。
求证：tan ； （2）若点C到平面AB1D1的距离为的正弦值。
4
，求 3
正四棱柱ABCD A1BC11D1的高。
图3-17
8. 2010辽宁）已知三棱锥P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=
1
2
AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.
（Ⅰ）证明：CM⊥SN；
（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小。
图3-18
9. （2010江西）如图3-19，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD 平面BCD，AB 平面BCD
，AB （1） 求点A到平面MBC的距离； （2） 求平面ACM与平面BCD所成二面角
图3-19
10. （2010北京） 如图3-20，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CECE AC
EF//AC
,
AB CE EF 1 。
（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE； （Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE； （Ⅲ）求二面角A-BE-D的大小。
图3-20