图3-1-2
分析：要求异面直线SM与BN所成角的余
弦值可以转化为求 SM 与 BN
所成角的余
弦值，因此要求， SM BN
以及 SM和 BN
的值，然后代入数量积公式求解。
解: SA a ， SB b， SC c,则a b
c，且它们的夹角均为60 ， a b b c a c 1 SM BN 2
，
12
( SA SB) ( SN SB)
1
1 12a b 2c b
2， cos SM , BN SM BN
2
SM BN
3。 SM与BN所成角的余弦值
23
。 点评：异面直线所成的角的范围为 0,
2
，
而向量的夹角的取值范围为 0, ；
SM
和BN的值就是对应三角形的高，无需用
向量方法再去求。
例4．已知 ABC的三个顶点A(1, 1,7)，
得M(, ,7)。
点评：求三角形内角大小可用向量夹角公式求解，判断向量夹角一定要注意，只有两个5252
B(3, 2,5)，C(2, 3,9)。
（1）求 ABC各边长；
（2）求 ABC三个内角的大小；
（3）求出 ABC的重心G及外心M的坐标。 分析：应用空间两点间的距离公式可求出三角形的三边长；再根据三边长，由数量积公式求出夹角，由三角形重心公式求重心，再根据三角形形状确定其外心坐标。
解:（1） AB
(2, 1, 2)，
AC (1, 2,2)， BC
( 1, 1,4)。
AB 3
， AC 3，BC
三边长分别为 （2）
cosB cos AB ,CB
AB AB CB CB
2。 B 45 同理 C 45 ，
AB AC
, BAC 90 。
（3）设 ABC的重心G(x,y,z)则
x xA xB xC
3
y yA yB yC即G(2, 2,7)。分析
3 zA
z zB zC3知外心必为BC边中点，故由中点坐标公示
向量起点相同时所成角才是两个向量的夹角。
（四）空间向量的基底
例5．若向量a ， b，
c是空间的一组基底，
则下列各组中不能构成空间的一个基底的是（ ）
A. a ，2 b，3 c B. a b， b c，a c C. a 2 b，2 b 3 c，3a 9 c D. a b c， b， c
分析：看三个向量是否构成空间的一组基底，就是看这三个向量是否共面，这样也就可以用空间向量基本定理推导了。
解：对C令2 b 3
c x a 2 b
y 3a 9 c
(x 3y)a 2xb 9yc
，可
x 3y 0 x得
2x 2即 1
9y 3 y 1， C选项的向
3量组共面，不能构成空间向量的一组基底。
选C。
点评：对于非零向量a ， b，
c，若存在不
全为零的实数x,y,z使得
xa yb zc
0，则向量a ， b， c共面，
若只存在x y z 0，使得
xa yb zc
0，则向量a ， b， c不共
面，而三个不共面的向量就可以作为空间一组基底。
1.已知空间三点A(1,
1,1),B( 1,0,4),
C(2, 2,3),则AB与CA的夹角为（ ） 2 5 D. 3636
2.已知a=(2,4,5), b=(3,x,y),若a∥b,
A.
B.
示向量OG。
C.
则x= ,y= 。
3. 如图3-1-3，已知正方体ABCD A'B' C'D'，点E、F、G分别是AB、BC、AA'的中点.求平面EFG的法向量。
图3-1-3
4．如图3-1-4，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点M,N分别在对角线BD,AE上，且BM
13BD,AN 1
3
AE. 求证：MN//平面CDE。
图3-1-4
5. 如图3-1-5，已知空间四边形OABC，其
对角线OB,AC，M,N分别是对边OA,BC的中点，点G在线段MN上，且
MG 2GN，用基底向量 OA , OB , OC
表
图3-1-5
误区一：误用运算法则
例1如图3-1-6，空间四边形ABCD中， AB a 2 c， CD 5a 6 b 8
c，对角
线AC，BD的中点分别为E,F,则 FE
。
图3-1-6
错解：设BC的中点为G,连接EG，FG,
则 FE FG GE 1
CD 1 AB 12(5a
6 b 8 2c) 2
12(a 2c) 3a 3 b 5 c。
剖析：本题的错因在于误认为
FG 1 2CD , GE 1 2
AB
,读者可能会受到
三角形中位线的影响，向量不仅有长度，还
有方向两者缺一不可。
正解： FE FG GE 1 1 2DC
2
BA
3a 3 b 5 c。
误区二：向量知识中的相关概念模糊不清 例2．如图3-1-7，已知空间四边形ABCD的四条边和对角线长都为a，点E,F,G分别是AB,AD,DC的中点，则四个数量积结果为a2
有。
① 2 BA AC
②2 AD BD
③2 GF AC ④2 EF CB
图3-1-7 错解：如上图
2 BA AC
=2 BA AC cos60 =a2；2 AD BD
=2 AD BD cos60 =a2；2 GF AC
=2 BA AC cos0 =a2； 2 BA AC =2 EF CB cos60=a2
2
故，
正确的序号为①②③。 剖析：本题的错因是没有弄清向量夹角是当两个向量共起点时的夹角。 正解：
2 BA AC
=2 BA AC cos120 = a2； 2 GF AC
=2 BA AC cos180 = a2； 2 BA AC =2 EF CB cos120
= a22
。 故选②。
误区三：误用重要结论
例3．如图3-1-8，平行六面体ABCD-EFGH中，已知M,N,R分别是AB,AD,AE上的点，且
AM
M,AN
1
2
ND,AR 2RE，AG交平面MNR求于P点，求AG：PG。
图3-1-8
错解： AG AB AD AE 2 AM
3 2
RA
3AN。设AP mA,由 AG
2 AM 3 RA
3 AN 得 AP
2mAM 3 2 2
mRA 3mAN，由于
M,N,R,P共面，所以，
2m 32m 3m=1从而得m 2
7，所以
AG：PG=2:5。