（1）建立空间图形与空间向量的关系，根据题目要求可以建立空间直角坐标系，也可以不建立，用空间向量坐标，表示问题中的点、线、面；
（2）通过向量运算研究平行垂直问题； （3）根据运算结果，结合题目所给条件求出结果。
（二）夹角的计算
例3.如图3-2-6，四棱锥
P ABCD中，
PD ABCD,且PD ，在四边形ABCD中， D DAB 90 ,
AB 4,CD 1,AD 2。
（1）求PA与ABCD所成角的大小； （2）求PA与BC所成角的余弦值； （3）二面角A PB C的余弦值。
图3-2-6
分析：建立恰当的空间直角坐标系，找出向量夹角与题中要求的角的关系，用坐标向量求解。 解：建立如图3-2-6所示的空间直角坐标系，（1） PA在ABCD内的射影为AD, PA与ABCD所成角为
PAD。又
P,
A(2,0,0)
，
D
(0,0,0), n DP
可作为
平
面
ABC的
法向量
，
s
1 PA (2,0, 可作为PA的方向
向量，设PA与ABCD所成角的为 ，由
公式
sin cos s s
1n
1n, s
得1 n
sin
PAD 60 ； （2
） P,A(2,0,0)，
s
1 PA (2,0, ，又
B(2,4,0),C(0,1,0)
s 2 BC
( 2, 3,0)，为BC的方向向量，设PA与
BC
所成角的
cos cos s
为 则s
1 s21,s2 s s
12
（3
） P,A(2,0,0)，
C(0,1,0)，B(2,4,0)
PA
(2,0, ，
AB
(0,4,0),设 n1 x1,y1,z1 ， n
2 x2,y2,z2 分别为平面PAB和平面
PBC的法向量，由 n 1 PA 0
可
得
n1 AB 0
x1 1
故可
取 n1 ,0, y
1,同理
1 0
n 2 PC 0得 x2
32y2 C
可
取 n2 B
0
y2 2
n
2
2，由公式设平面3,1
PAB和平面PBC所成的角为 ，则
cos cos n n n
121,n2 n
1 n2
5。
点评：用向量法求夹角问题相比作辅助线求角，要直观，易于把握。但是随之而来的就是计算量的增加，所以同学们不但要牢记夹角公式，还要学会用不同的方法解同一道题，做到举一反三，触类旁通；而面角的大小是由它的平面角来度量的，求平面角有两种主要方法;
(1)定义法 直接在二面角的棱上取点，一般取特殊点，便于计算，分别在两个半平面中作棱的垂线，定义法求值时需要认真观察图形，利用题目所给条件求解。
(2)空间向量法 利用夹角公式
n1 n2
cos cos n1,n2 求解。
n1 n2
（二）向量法求距离
例4．如图图3-2-7，已知正方体OABC
B1A1 (0, 1,0)，由公式B1到A1BC1的
距离d B1A1 n0 。
O1A1B1C1的棱长为1，求B1到平面A1BC1的距离。
图3-2-7
分析：建立恰当的空间直角坐标系，利用点
到平面的距离公式d AA'
PA n
0求
解。 解：建立如图3-2-7的空间直角坐标系， 则
B1(1,1,1),A1(1,0,1),C1(0,1,1)，B(1,1,0)。
设
n (x,y,z)为平面A1BC1的一个法向
量，则 n BA 1,n BC1,n BA1 0, n BC 1 0
,
BA 1 (0, 1
,1),
BC
1 ( 1,0,1),
y z 0
x z 0, x y z,可取
n (1,为平面1
A1BC1的一个法向量，设 n
0
为
n
的单位向量
则 nn0 n
，
又
点评：空间中各种距离一般都可以转化为点与点的距离，点线距离和点面距离，其中点与点的距离，点线距离都可用空间向量的模来求，而点面距离，则可由平面法向量按公式求解，另外也可以用等体积法求解点面距离。向量法求点面距离的步骤是：
（1）求出该平面的一个法向量
n并利用
n n
0 n
求出单位法向量；
（2）找出从该点出发的平面的任意一条斜
线段对应的向量 m
的坐标；
（3利用公式d m n
0求出距离。
（三）空间向量在立体几何中的综合应用 例5．（2008安徽）如图3-2-8，在四棱锥O ABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形， ABC
4
, OA 底面ABCD, OA 2,M为OA的中点，N为BC的中
点
（Ⅰ）证明：直线MN‖平面OCD
；
（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小； （Ⅲ）求点B到平面OCD的距离。
图3-2-8
分析：对于（Ⅰ）需要证明 MN
OCD的
法向量；对（Ⅱ）分别求出异面直线AB与MD的方向向量，再利用两条直线夹角的向量公式求解即可；对（Ⅲ）根据点到平面的距离公式求解。
解：作AP CD于点P,如图
3-2-9,
图3-2-9
分别以AB,AP,AO所在直线为x,y,z轴建立坐标系则A(0,0,0)，B
(1,0,0)，
P
2
，
D(
22
，
O(0,0,2)，M
(0,0,1),N(1
44
（Ⅰ） MN (1 44 1)
,
OP
2),OD ( 2)
设平面OCD的法向量为
n (x,y,z),则 n OP 0, n OD 0,即
y 2
2
z 0
2x 2
y 2z 0
取z
解得n
∵ MN n
0 MN‖平面OCD。
（Ⅱ）设AB与MD所成的角为
,
∵ AB (1,0,0), MD ( 22
1)
∴co s ABAB MD MD 12
∴
,
3 ,AB与MD所成角的大小为
3
。 （Ⅲ）设点B到平面OCD的距离为d,则d
为 OB
在向量
n 上的投影的绝
对值,由
OB
(1,0, 2),
得
d OB nn
2
3.所以点B到平面OCD的
距离为
23
。 点评：用向量法证明线面平行只要证明直线
的方向向量与平面法向量垂直即可；求夹角问题需要同学熟记三种类型的夹角的向量计算公式；点到平面距离问题可先求平面法向量再代入公式求解。