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南昌市高中新课程训练题（直线、平面、简单几何体2）
一、选择题（本小题共12小题，每小题5分，共60分）
1．正方体ABCD—A1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点。那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是 （ D ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
解：由于P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点 ∴平面PQR延展平面与正方体各个表面均有交线 即 有六条交线 ，所以所得截面为六边形。
2．正方体ABCD—A1B1C1D1中，以顶点A、C、B1、D1为顶点的正四面体的全面积为则正方体的棱长为（ A ） A．
B．2 C．4 D．
，
解：设正方体的棱长为a，则正四面体
A CB1D1的棱长为2a
又正四面体个面均为正三角形
1SA-CB1D1 4 2a 2a 43
22∴
故 a
2
3．表面积为 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为（ A ）
A． B． C． D． 解：∵正八面体的中截面为正方形，且正方
正八面体的表面积为2，那么 形的中心即为球的球心，球的半径为正
方形对角线的一半
a8 a 23∴设正八面体的棱长为a，由题意有：
22，所以有a 1，即球
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R
的半径
22
42V R3
33故该球的体积为
4．正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1底面边长是1，侧棱长是
线E1D与BC1所成的角是（ ）
A．90 B． 60 C． 45 D．30 解：∵E1D∥A1B
∴E1D与BC1所成的角为∠A1BC1
1C1= 由题意可知：E1D=A1B=BC1=A
o
o
o
o
，则这个棱柱的侧面对角
∴∠A1BC1=60
o
5．设三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V，P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点，且PA=QC1，
则四棱锥B-APQC的体积为 （ C ）
（A） （B） （C） （D）
1到平面AA1C1C的距离 解：设h为BB又PA C1Q 1 AC h ∵三棱柱的体积V AA
1 CC1 ∴PA CQ AA
1PA CQV AC h
32∴四棱锥的体积
'
故
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1
V' V
3
6．设四个点P、A、B、C在同一球面上，且PA、PB、PC两两垂直，PA＝3，PB＝4，PC＝5，那么这个球的表面积是（ D ） A．
B．
C．25
D．50
解：∵ PA、PB、PC两两垂直
所以PA、PB、PC是长方体的三条棱长 又P、A、B、C在同一球面上 ∴球的半径为R=
PA2 PB2 PC2 32 42 52 50
则球的表面积
S 4 R
2 50
7．已知△ABC中，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝120，平面ABC外一点P满足PA＝PB＝PC＝2，则三棱锥P－ABC的体积是（ D ）
o
A．
'
B． C． D．
解：设P点为P点在平面ABC上的射影 则P点AB、BC边的中垂线上 设BP=R
''
11
则cos∠ABP'=R，cos∠CBP'=2R
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R 1
R, sin∠CBP'=R sin∠ABP'= o
∵∠ABC＝120 ∴cos∠ABC=cos(∠ABP'+∠CBP')
=cos∠ABP' cos∠CBP' － sin∠ABP' sin∠CBP'
2
R2
14
1 2
＝2R
R2 1 R2
R2
14
1o120 ＝cos ＝-2
R
解得
故
21
PP'
3 3 ，则
1 15 VP
ABC 2 1 sin120o
3 26 3
32
8．已知正方体外接球的体积是3，那么正方体的棱长等于（ D ）
（A） （B） （C） （D）解：∵正方体各个顶点在球面上 ∴正方体的体对角线为求得半径
3a
a设正方体的棱长为, 则球的半径为2
又 外接球的体积为
3
224
a 33 2 ∴
4a
3 故
9已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ C ）
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A． B． C． D．解：∵正四棱柱的高为4，体积为16 ∴正四棱柱的底面积为4，所以底面边长为2 又该四棱柱的各个顶点都在球面上 ∴四棱柱的体对角线为球的直径 即 d
42 22 22 2
2
d
S
4 R2 4 d2 24
2 故 球的表面积为
10．已知球O的表面积为4，A、B、C三点都在球面上，且每两点的球面距离均为
则从球中切截出的四面体OABC的体积是（ A ）
，
A． B． C． D．
解：∵球的表面积为4 ∴球的半径为1 ，AB=AC=BC=1
∠AOB=∠AOC=∠BOC=3
即 OABC为正三棱锥，且棱长为1
13S 1
224 棱锥底面积为
2 h 32 3 高为
故所求四面体的体积
2
1362
V
34312
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11．棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，异面直线A1B与B1C的距离是（ B ）
A． B． C． D．
解：连接A1D、BD、A1D、D1C、AC1 ∵A1B∥D1C，A1D∥B1C，BD∥B1D1
1BD∥∴平面A平面B1D1C，且两平面间的
1AC1
距离为3
则
一
面
直
线
间
的
距
离
d
113
AC1 3a2 a333
12．过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（ D ） （A）18对 （B）24对 （C）30对 （D）36对
解：底面三角形每条边所对应的异面直线有5条，则两底面的三角形共有30对异面直线。侧棱所对应的异面直线有3条，考虑与底面边的异面直线有重复，所以侧棱所对应的异面直线有2条，总共有三条侧棱，即有6对异面直线。所以总共有30+6=36对异面直线。 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．在底面为正方形的四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝2，则三棱锥B－