4
PCD的体积为3。
解：∵PA⊥底面ABCD ∴四棱锥的高为PA=2 由题意及图知：
1
VB PCD VP BCD S BCD PA
3
又底面为正方形，AB=2
∴
S BCD
11
SABCD 2 2 222
4
3
故
VB PCD
习题集详细解答
14． 已知平面
和直线，给出条件：①
；②；
.（填所选条件的序号）
；③
；④
；⑤
（i）当满足条件 ③⑤ 时，有（ii）当满足条件 ②⑤ 时，有
解：（i）若m∥β，且m α,则有α∥β; （ii）若m⊥β,且α∥β,则可以推出m⊥α. 15．一个正方体的全面积
为
，它的顶点都在同一个球面上，则这个球的体积
23 a24为
解：设正方体的棱长为m，由题意有： ∵正方体的全面积为
∴6m a 即
22
m
6
a6 2a4
R 3m2
则球的半径
423
V R3 a
324∴球的体积为
16如图，正方体的棱长为1，C、D分别是两条棱的中点，A、B、M是顶点，那么点M到
2
截面ABCD的距离是 3
习题集详细解答
解：过D做DD'⊥AM于D'，过C作CC'⊥BM于C'，连接顶部平面的对角线PQ（如图），过D'作D'E∥BC'于E，过E作EF⊥AB于F，连接FD'、C'D'，则：
1
VM ABCD VA FDD' VBC'D'F CMED VM C'CDD'
2 四棱锥M-ABCD的体积为 1111 168164
h
SABCD
3
1 2129 SABCD 2 2 24168
∵
h
∴
2
3
三．解答题
17、如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝AA1，D是CC1的中点，F是A1B的中点， ⑴求证：DF∥平面ABC； ⑵求证：AF⊥BD。
习题集详细解答
A1
1
F
A
E
B
C1D
C
证明：(1)取AB的中点，连接EF、CE .
//1//1
EF AA1 CC1 CD
22
//
四边形EFDC为平行四边形 DF CE
又CE 面ABC,DF 面ABC DF//平面ABC
(2)由 ABC是等边三角形，E为AB的中点 CE AE
又 AA1 CE1,AA1 AE=A
//
CE 面A1AB，又 DE//CE
DF 平面A1AB，又AF 面AAB DF AF
由条件及AB=AA1
四边形ABB1A1是正方形
AF A1B，又AB1 DF=F AF 面A1BD
，
BD 面A1BD
习题集详细解答
AF BD
18、如图，在直三棱柱
中，、分别为
、的中点。 （I）证明：ED为异面直线与
的公
垂线； （II）
设
求二面
角
的大小
C1
B1
D
C
B
A
证明：（I）取AC的中点，连接EF、BF AB=B C BF AC
又AA1 面ABC,BF 面ABC AA1 BF，又AC AA1=A BF 面ACC1,又AC1 面ACC1
BF AC1
EF=//
又由条件知：
1
2
CC//1=BD 四边形BDEF为平行四边形
DE//BF
DE AC1
即DE为AC1的垂线
又 BB1 面ABC,BF 面ABC
BB1 BF,又BF//DE DE BB1
即DE也是BB1的垂线
故DE为异面直线BB1与AC1的公
垂线 （
II）
过C1作C1M AD于M,连接B1M
由条件知：B1C1 AB,1B C1
B
1B 又AB B1B= B
B1C1 面AA1D
二面角A1-AD-1为C
1
CM
1B 记AB=1则由代数关系知：,
习题集详细解答
AD=1=2
22
又C1M AD=DE AC1
解：（1）由B1C1//BC,知：
所求异面直线
与所成
角为BC与AC所成角 BCA 又 ABC=90 ,AB=BC=1
C1M=
3
BCA=4
5
C1BCSin C1MB1=11C1M即异面直线
与所成角的
大小为45
（2）由条件有：AA1 面ABC
即二面角A1-AD-C1的大小为60
19.在直三棱
柱
，
（1
）求异面直线
小；
与
．
所成角的大
即 A1CA=45
（2
）若直线
，求三棱锥
与平面
所成角为的体积．
又AA1=AC tan A1
中
，
A1CA为直
线所成角
与平
面
A1
B1
C1
VA1 ABC
11 AAAB B
132故若直线
为
，三棱锥
与平面
所成角
A
B
C
20．如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1
中，底面边长AB＝2，侧棱BB1的长为4，过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，交B1C于点F， ⑴求证：A1C⊥平面BDE；
习题集详细解答
⑵求A1B与平面BDE所成角的正弦值。
A1C⊥平面BDE；
⑵证明：⑴连接AC，由正方形ABCD
C1
A1
E
C
B
知：
AC BD,又AA1 面ABCD
AC为A1C在面ABCD内的射影
A1C BD
又A1B1 面BCC1B1,BE 面BCC1B1
A1B1 BE
又BE B1C,B1C A1B1=B1
BE 面A1B1C
BE A1C,又 BE BD=B
连接OE交A1C于M,再连接BM
由A1C⊥平面BDE A1BM为A1B与平面BDE所成角
在Rt A1BC中，
A1BM+ MBC=90 = MBC+ A1CB
A1BM= A1CB
又由代数关系知：
A11
Sin AA1B1CB=Sin A1CB=
A
1C6
即A1B与平面BDE所成角的21．如图，三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长均
为2，侧棱B1B与底面ABC成60?的角， 且侧面ABB1A1⊥底面ABC，
⑴求证：AB⊥CB1； ⑵求三棱锥B1－ABC的体积；
⑶求二面角C－AB1－B的大小。
习题集详细解答
A1
B1
E
B
C
证
明
：
⑴
过B1作B1E AB于E,连接CE
则由侧面ABB1A1 底面ABC,