第一章习题解答
K 1给定三个矢量、与如下:
求:⑴：(2);(3);(4);(5)在上得分量;(6);
(7)与;(8)与。
解(1)
(2)
(3) -11
(4) 由，得
(5) 在上得分量
(6)
(7)由于
所以
K 2 三角形得三个顶点为、与。
(1) 判断就是否为一直角三角形；
(2) 求三角形得面积。
解(1)三个顶点、与得位苣矢量分别为 由此可见 故为一宜角三角形。
(2)三角形得面积
K 3 求点到点得距离矢量及得方向?
轴得夹角分别为
解 在上得分量为
K 5给定两矢量与，求在上得分量。 解 所以在上得分量为
k 6证明：如果与，则； 解由，则有，即 4 给泄两矢量与，求它们之间得夹角与在上得分量。 与之间得夹角为
由于，于就是得到
故
K 7如果给;一未知矢量与一已知矢量得标量积与矢量枳，那么便可以确定该未知矢量。 设为一已知矢量，而，与已知,试求。
解由，有 故得
U 8在圆柱坐标中,一点得位置由；4^出,求该点在：(1)宜角坐标中得坐标；(2)球坐标中得坐 标。 解(1)在直角坐标系中、、
故该点得宜角坐标为.
(2)在球坐标系中
、、
故该点得球坐标为 K 9用球坐标表示得场，
(1) 求在直角坐标中点处得与；
(2) 求在直角坐标中点处与矢量构成得夹角.
解(1)在直角坐标中点处，，故
⑵在宜角坐标中点处，，所以
故与构成得夹角为
球坐标中两个点与定出两个位置矢量与。证明与间夹角得余弦为
得到
sin q cos 珂 sin £ cos0 +sin q sin 琳 sin $ sin© + cosq cosQ =
在由、与围成得圆柱形区域，对矢量验证散度运理。 在圆柱坐标系中
故有
1U3求(1)矢量得散度;(2)求对中心在原点得一个单位立方体得积分;(3)求对此立方体表而 得枳分，验证散度泄理。
解(1 w ?A =竺2 + 空
22 + 3(24心七3)= 2K + 2x ，V + 72x-y-z-
dx dy dz
(2)对中心在原点得一个单位立方体得积分为 10 11 一球而得半径为，球心在原点上,计算：得值.
12 解
所以 又
(3)对此立方体表而得积分
故有
K 14 il ?算矢量对一个球心在原点、半径为得球表而得积分，并求对球体积得枳分。 解
又在球坐标系中“所以 求矢量沿平面上得一个边长为得正方形回路得线积分,此正方形得两边分别与轴与 再求对此回路所包围得曲而积分,验证斯托克斯定理。
求矢量沿圆周得线积分,再计算对此圆面枳得积分。
O
A
V{A-R)=e^—(A^x + A^y + A.z) + e^—{A^x + A^y + A.z) + ox '■ cy^ 、 U 18
?径向矢量场表示，如果，那么函数会有什么特点呢? 解在圆柱坐标系中，由
叮得到 为任意常数。
在球坐标系中，由
可得到
U 19给泄矢量函数，试求从点到点得线积分：(1)沿抛物线;(2)沿连接该两点得直线。这个 就是保守场
吗？
解(1)
⑵连接点到点宜线方程为
故
由此可见积分与路径无关，故就是保守场。
K20求标量函数得梯度及在一个指定方向得方向导数, 此方向由单位矢
量定出;求点得方向导数值。
解U 15
轴柑重合。
解
又
所以 故有 K 17 解(1) ⑵ ⑶设，则
撤
证明:⑴:(2);(3)。其中,为一常矢量。
故沿方向得方向导数为
点处沿得方向导数值为
k 21试采用与推导直角坐标中相似得方法推导圆柱坐标下得公式
解在圆柱坐标中，取小体积元如题1、21图所示.矢量场沿方向穿出该六面体得表面得通量为同理
因此，矢量场穿出该六面体得表面得通量为故得到圆柱坐标下得散度表达式
U 22方程给出一椭球族。求椭球表而上任意点得单位法向矢量。解由于
故椭球表而上任意点得单位法向矢量为
1、23现有三个矢量、、为
(1)哪些矢量可以由一个标量函数得梯度表示？哪些矢量可以由一个矢量函数得旋度表示？
(2)求出这些矢量得源分布0
解(1)在球坐标系中
-^―(r" sin&cos0) + —? ---- (sin 0 cos cos 0) + —! --- (-sin 0)=
厂dr r sin & 60 r sin & 6。
故矢量既可以由一个标量函数得梯度表示，也可以由一个矢量函数得旋度表示; 在圆柱坐标系中
VxJS = —
坐标系中
=0
故矢量可以由一个矢量函数得旋度表示。
(2)这些矢量得源分布为
K 24利用直角坐标，证明
解在宜角坐标中
dA 0人dA df df df
衬+式)+(煜+人于比亠
K 25证明
解根据算子得微分运算性质，有
式中表示只对矢量作微分运算,表示只对矢量作微分运算。曲可得
同理故有
26利用直角坐标，证明
在直角坐标中
八心曲券一讐)+7等一券g(讐一斜
dz
所以
27利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍得意义下证明及，试证明之。
(1)对于任意闭合曲线为边界得任意曲而，由斯托克斯定理有
由于曲而就是任意得?故有
(2)对于任意闭合曲而为边界得体积,由散度定理有
Jv.(VxA)dr = «^(VxA).dS=J(VxA).dS + J(VxA)<lS
其中与如题1. 27图所示0由斯托克斯定理，有
由题1、27图可知与就是方向相反得同一回路，则有所以得到
由于体积就是任意得，故有
二章习题解答
2、1 一个平行板真空二极管内得电荷体密度为，式中阴极板位于，阳
极板位于，极间电压为。如果、、横截而，求:(1)?与区域内得总电荷
量;(2)?与区域内得总电荷量。
解(1)
(2)
2. 2 一个体密度为得质子束，通过得电压加速后形成等速得质子束，
质子朿内得电荷均匀分布，束直径为，束外没有电荷分布，试求电流密度与电流。
解质子得质量、电量。由
2、3 —个半径为得球体内均匀分布总电荷量为得电荷，球体以匀角速度绕一个直径旋转，
求球内得电流密度。
解以球心为坐标原点，转轴(一宜径)为轴。设球内任一点得位鱼矢量为，且与轴得夹角为，则点得线速度为球内得电荷体密度为故
2、4 一个半径为得导体球带总电荷量为，同样以匀角速度绕一个直径旋转，求球表而得面