电流密度。
解以球心为坐标原点，转轴(一宜径)为轴。设球面上任一点得位置矢呈为，且与轴得夹角为, 则点得线速度为球而得上电荷而密度为故
2、5两点电荷位于轴上处，位于轴上处，求处得电场强度。解电荷在处产生得电场为
电荷在处产生得电场为故处得电场为
2、6 一个半圆环上均匀分布线电荷，求垂直于圆平面得轴线上处得电场强度，设半圆环得
半
径也为，如题2、6图所示0
解半圆环上得电荷元在轴线上处得电场强度为
在半圆环上对上式积分,得到轴线上处得电场强度为
2、7三根长度均为，均匀带电荷密度分別为、与地线电荷构成等边三角形。
设，讣算三角形中心处得电场强度。
解建立题2、7图所示得坐标系。三角形中心到齐边得距离为
故等边三角形中心处得电场强度为
2、8 —点电荷位于处，另一点电荷位于处，空间有没有电场强度得
点？
解电荷在处产生得电场为
电荷在处产生得电场为
处得电场则为。令，则有
由上式两端对应分量相等,可得到
当或时，将式②或式③代入式①，得。所以,当或时无解; 当且
时，由式①，有
但不合题意,故仅在处电场强度。
2.9 一个很薄得无限大导电带电而，电荷而密度为。证明:垂直于平而得轴上处得
电场强度中，有一半就是有平而上半径为得圆内得电荷产生得。
解半径为、电荷线密度为得带电细圆环在轴上处得电场强度为
故整个导电带电而在轴上处得电场强度为
题2、10
而半径为得圆内得电荷产生在轴上处得电场强度为
"2厶0 ' 4%
2
2、10 —个半径为得导体球带电荷量为，当球体以均匀角速度绕一个直径旋转，如题2、10 图所示。求球心处得磁感应强度。
解球而上得电荷面密度为当球体以均匀角速度绕一个宜径旅转时■球而上位置矢量点处得电流面密度为
将球而划分为无数个宽度为得细圆环，则球而上任一个宽度为细圆环得电流为
细圆环得半径为，圆环平面到球心得距离,利用电流圆环得轴线上得磁场公式，则该细圆环电流在球心处产生得磁场为故整个球而电流在球心处产生得磁场为
2、11两个半径为、同轴得相冋线圈,^$有匝,相互隔开距离为,如题2、H图所示。电流以相同得方向流过这两个线圈。
(1)求这两个线圈中心点处得磁感应强度；
(2)证明:在中点处等于零；
(3)求出与之间得关系,使中点处也等于零。
解(1)由细圆环电流在其轴线上得磯感应强度
得到两个线圈中心点处得磁感应强度为
(2)两线圈得电流在其轴线上处得磁感应强度为
所以
故在中点处?有
G)
令，有
即故解
得
2. 12 一条扁平得直导体带，宽为，中心线与轴重
合，通过得电流为。证明在第一象限内得碱感应强度为
中、与如题2. 12图所示。
解将导体带划分为无数个宽度为得细条带，每一细条带得电流。由
安培环路定理,可得位于处得细条带得电流在点处得磁场为
所以
2、13如题2、13图所示，有一个电矩为得电偶极子，位于坐标原点上,另一个电矩为得电偶极子，位于矢径为得某一点上。试证明两偶极子之间相互作用力为
式中"就是两个平而与间得夹角。并问两个偶极子在怎样得相对取向下这个力值最大? 解电偶极子在矢径为得点上产生得电场为
所以与之间得柑互作用能为
因为"则
又因为就是两个平而与间得夹角,所以有
列一方而,利用矢量恒等式可得
因此
于就是得到 ()
故两偶极子之间得相互作用力为
()
由上式可见，当时，即两个偶极子共线时，相互作用力值最大0
2、14两平行无限长直线电流与,相距为，求每根导线单位长度受到得安培力。解无限长直线电流产生得磁场为直线电流毎单位长度受到得安培力为式中就是由电流指向电流得单位矢量。
同理可得，直线电流每单位长度受到得安培力为
2、15 一根通电流得无限长直导线与一个通电流得圆环在同一平而上，鬪心与导线得距离为，如题2、15图所示。证明:两电流间柑互作用得安培力为这里就是圆环在直线最接近圆环得点所张得角。
题2、15
解无限长直线电流产生得磁场为圆环上得电流元受到得安培力为
由题2、15图可知
所以
2
、
16证明在不均匀得电场中，某一电偶极子绕坐标原点所受到得力矩为。如题2、16
图所示，设，则电偶极子绕坐标原点所受到得力矩为
d/ d/ (I dZ dZ
</fx[£(r + y)-£(r-y)] + ^dZx[£(r + y) + £(r-y)]
当时，有
故得到
三章习题解答
真空中半径为得一个球而，球得两极点处分别设置点电荷
与，试il算球赤道平而上电通密度得通量（如题3. 1图所示）。
3、1
解由点电荷与共同产生得电通密度为
则球赤道平面上电通密度得通量
3、2 1911年卢瑟福在实验中使用得就是半径为得球体原子模型,尖球体
内均匀分布有总电荷量为得电子云，在球心有一正电荷（就是原子序数,就是质
子电荷量人通过实验得到球体内得电通量密度表达式为，试证明之。
解位于球心得正电荷球体内产生得电通量密度为
原子内电子云得电荷体密度为
厂一、电子云在原子内产生得电通量密度则为
/\ k*、、故原子内总得电通量密度为
題3、3图
3、3电荷均匀分布于两圆柱而间得区域中，体密度为.两圆柱而半径分别为与,轴线相距为, 如题3、3图所示。求空间各部分得电场。
解由于两圆柱而间得电荷不就是轴对称分布，不能a 接用高斯定律求解。但可把半径为得 小圆柱而内瞧作同时具有体密度分别为得两种电荷分布，这样在半径为得整个圆柱体内具有体密 度为得均匀电荷分布，而在半径为得整个圆柱体内则具有体密度为得均匀电荷分布，如题3、3图所 示。空间任一点得电场就是这两种电荷所产生得电场得叠加。
在区域中，由高斯世律，可求得大、小圆柱中得正、 点处总得电场为
题3、3图
在且区威中，同理可求得大、小圆柱中得正、负电荷在点产生得电场分别为 点处总得电场为
小 k 得空腔区域中，大、小圆柱中得正、负电荷在点产生得电场分别为