中考数学专项训练之函数综合精选附参考答案
1. 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（-4，0），点B的坐标是（0，b）（b＞0）．P是直线AB上的一个动点，作PC⊥x轴，垂足为C．记点P关于y轴的对称点为P′（点P′不在y轴上），连接PP′，P′A，P′C．设点P的横坐标为a． （1）当b=3时， ①求直线AB的解析式；②若点P′的坐标是（-1，m），求m的值； （2）若点P在第一象限，记直线AB与P′C的交点为D．当P′D：DC=1：3时，求a的值； （3）是否同时存在a，b，使△P′CA为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的a，b的值；若不存在，请说明理由． 【考点】相似三角形的判定与性质；待定系数法求一次函数解析式；等腰直角三角形． 【专题】综合题 【分析】（1）①利用待定系数法即可求得函数的解析式； ②把（-1，m）代入函数解析式即可求得m的值； （2）可以证明△PP′D∽△ACD，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解； （3）分P在第一，二，三象限，三种情况进行讨论．利用相似三角形的性质即可求解． 【解答】解：（1）①设直线AB的解析式为y=kx+3， 把x=-4，y=0代入得：-4k+3=0，∴k=∴直线的解析式是：y=3， 43 x+3， 4②由已知得点P的坐标是（1，m），∴m? 315?1?3?；44 非常实用优秀的教育电子word文档
（2）∵PP′∥AC，△PP′D∽△ACD，∴ （3）以下分三种情况讨论． 4P?DP?P2a1??，∴a= ； ，即5DCCAa?43①当点P在第一象限时，1）若∠AP′C=90°，P′A=P′C（如图1） 过点P′作P′H⊥x轴于点H．∴PP′=CH=AH=P′H= 11 AC．∴2a=（a+4） 2241 ∵P′H=PC= AC，△ACP∽△APB 32b1OBPC1??，即?，∴b=2 ∴42OAAC2∴a=2）若∠P′AC=90°，P′A=CA则PP′=AC ∴2a=a+4∴a=6 ∵P′A=PC=AC，△ACP∽△AOB ∴bOBPC??1，即?1 ∴b=4 4OAAC3）若∠P′CA=90°， 则点P′，P都在第一象限内，这与条件矛盾． ∴△P′CA不可能是以C为直角顶点的等腰直角三角形． ②当点P在第二象限时，∠PC′A为钝角（如图3），此时△P′CA不可能是等腰直角三角形；③当P在第三象限时，∠PC′A为钝角（如图3），此时△P′CA不可能是等腰直角三角形． 4?a??a?4?∴所有满足条件的a，b的值为?或 3??b?4?b?2?非常实用优秀的教育电子word文档
【点评】本题主要考查了梯形的性质，相似三角形的判定和性质以及一次函数的综合应用，要注意的是（3）中，要根据P点的不同位置进行分类求解．
2. 已知二次函数的图象经过A（2，0）、C（0，12） 两点，且对称轴为直线x＝4．设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B． （1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；
（2）如图1，在直线 y＝2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒2个单位长度的速度由点P向点O 运动，过点M作直线MN∥x轴，交PB于点N．将△PMN沿直线MN对折，得到△P1MN．在动点M的运动过程中，设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒．求S关于t的函数关系式．
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考点：二次函数综合题。 专题：综合题。
分析：（1）利用对称轴公式，A、C两点坐标，列方程组求a、b、c的值即可；
（2）存在．由（1）可求直线PB解析式为y＝2x－12，可知PB∥OD，利用BD＝PO，列方程求解，注意排除平行四边形的情形；
（3）由P（4，－4）可知直线OP解析式为y＝－x，当P1落在x轴上时，M、N的纵坐标为－2，此时t＝2，按照0＜t≤2，2＜t＜4两种情形，分别表示重合部分面积． 解答：解：（1）设二次函数的解析式为y＝ax＋bx＋c
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?b?a?1??2a?4??由题意得?c?12，解得?b??8，
?c?12?4a?2b?c?0???∴二次函数的解析式为y＝x－8x＋12，（2分） 点P的坐标为（4，－4）；（3分）
（2）存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形．理由如下： 当y＝0时，x－8x＋12＝0， ∴x1＝2，x2＝6， ∴点B的坐标为（6，0），
2
2
设直线BP的解析式为y＝kx＋m 则??6k?m?0?k?2，解得?
?4k?m??4?m??12非常实用优秀的教育电子word文档
∴直线BP的解析式为y＝2x－12 ∴直线OD∥BP（4分）
∵顶点坐标P（4，－4）∴OP＝42 设D（x，2x）则BD＝（2x）＋（6－x） 当BD＝OP时，（2x）＋（6－x）＝32， 解得：x1＝
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2
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2，x2＝2，（6分） 5当x2＝2时，OD＝BP＝25，四边形OPBD为平行四边形，舍去，
2时四边形OPBD为等腰梯形，（7分） 524∴当D（，）时，四边形OPBD为等腰梯形；（8分）
55∴当x＝
（3）①当0＜t≤2时，
∵运动速度为每秒2个单位长度，运动时间为t秒，则MP＝2t， ∴PH＝t，MH＝t，HN＝∴MN＝
1t， 23t， 23132
∴S＝t?t?＝t（10分），
224②当2＜t＜4时，P1G＝2t－4，P1H＝t， ∵MN∥OB∴△P1EF∽△P1MN，
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∴
S?p1EFS?P1MN?P1G????PH??， ?1?2S?p1EF?2t?4?2∴???，
32?t?t4∴S?PEF＝3t－12t＋12，
12
∴S＝
32922
t－（3t－12t＋12）＝－t＋12t－12， 442
∴当0＜t≤2时，S＝t，
当2＜t＜4时，S＝－
92
t＋12t－12．（12分） 4
点评：本题考查了二次函数的综合运用．求出二次函数解析式，研究二次函数的顶点坐标及相关图形的特点，是解题的关键．
3. 已知直线y＝kx＋3（k＜0）分别交x轴、y轴于A、B两点，线段OA上有一动点P由原
点O向点A运动，速度为每秒1个单位长度，过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，设运动时间为t秒．
（1）当k＝－1时，线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动，它与点P以相同速度同
时出发，当点P到达点A时两点同时停止运动（如图1）． ①直接写出t＝1秒时C、Q两点的坐标；
②若以Q、C、A为顶点的三角形与△AOB相似，求t的值．
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（2）当k＝?（如图2），
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时，设以C为顶点的抛物线y＝（x＋m）＋n与直线AB的另一交点为D4①求CD的长；
②设△COD的OC边上的高为h，当t为何值时，h的值最大？