C．2 答案 D
D．3
解析 因为f′(x)＝cosx－cosx＋xsinx＝xsinx，当x∈[0，π]时，f′(x)≥0，故f(x)在[0，π]上是增函数，所以f(x)≥f(0)＝0，所以①正确；令g(x)＝
sinxx，则g′(x)＝
xcosx－sinx，由①知，当x∈(0，π)时，g′(x)≤0，所以g(x)在[0，π]上是减函数，所
x2
以
sinx1sinx2x1sinx1
>，即<，所以②正确； x1x2x2sinx2
sinx当x>0时，“>a”等价于“sinx－ax>0”，
x令g(x)＝sinx－cx，则g′(x)＝cosx－c， π??0，当c≤0时，g(x)>0对x∈?恒成立；
2???
?π?当c≥1时，因为对?x∈?0，?. 2??
g′(x)＝cosx－c<0，
?π?所以g(x)在区间?0，?上单调递减，
2???π?从而，g(x) 2?? ?π?当0 若x∈(0，x0)时，g(x0)>0，g(x)在(0，x0)上单调递增，且g(x)>g(0)＝0； π?π???若x∈?x0，?时，g′(x0)<0，g(x)在?x0，?上单调递减， 2?2???π??0，要使g(x)＝sinx－cx>0在??上恒成立， 2?? πππ2?π?必须使g??＝sin－c＝1－c≥0恒成立，即0 2?π? ?π?当c≥1时，g(x)<0，对?x∈?0，?恒成立， 2?? sinx?π?所以若a< x?? 2 则a的最大值为，b的最小值为1，所以③正确，故选D. π二、填空题 13．从编号为001,002，?，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本编号从小到大依次为007,032，?，则样本中最大的编号应该为________． 答案 482 11 解析 由题意可知，系统抽样的每组元素个数为32－7＝25个，共20个组，故样本中最大的编号应该为500－25＋7＝482. 122 14．[2016·辽宁五校联考]抛物线x＝y在第一象限内图象上一点(ai,2ai)处的切线与x2轴交点的横坐标记为ai＋1，其中i∈N，若a2＝32，则a2＋a4＋a6等于________． 答案 42 解析 令y＝f(x)＝2x，则切线斜率k＝f′(ai)＝4ai，切线方程为y－2ai＝4ai(x－ai)，1 令y＝0得x＝ai＋1＝ai，由a2＝32得a4＝8，a6＝2，所以a2＋a4＋a6＝42. 2 15．已知a，b是正数，且满足2 2 2 2 2 * ?4?答案 ?，16? ?5? 解析 作出不等式表示的平面区域，如图阴影部分所示(不包括边界)，O到直线a＋2b＝2的距离d＝2 4222222 ，|OB|＝4，显然d 55 16．[2016·湖南长郡模拟] 如图，在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝b＋c＋bc，a＝3，S为△ABC的面积，圆O是△ABC的外接圆，P是圆O上一动点，→→ 当S＋3cosBcosC取得最大值时，PA·PB的最大值为________． 2 2 2 12 答案 33＋ 2 2 2 2 解析 本题考查余弦定理、正弦定理、平面向量的运算．在△ABC中，由a＝b＋c＋bcb2＋c2－a213 得b＋c－a＝－bc，则cosA＝＝－，所以sinA＝，则由正弦定理得△ABC的 2bc22 2 2 2 1a13 外接圆的半径为r＝×＝×＝1，则b＝2rsinB＝2sinB，c＝2rsinC＝2sinC，所以 2sinA23 2 S＋3cosBcosC＝bcsinA＋3cosBcosC＝ π6 123 ×2sinB×2sinC＋3cosBcosC＝3cos(B－4 C)，则当B＝C＝时，S＋3cosBcosC取得最大值．以O为原点，OA所在的直线为y轴， 过O点垂直于OA的直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(0,1)，B?－sinθ)， 3131??→→2 则PA·PB＝(－cosθ，1－sinθ)·?－－cosθ，－sinθ?＝cosθ＋cosθ＋－22?2?23?π2 sinθ＋sinθ＝3sin?－θ2?6 一、选择题 1．设全集U＝R，A＝{x|x(x－2)<0}，B＝{x|1－x>0}，则A∩(?UB)等于( ) A．{x|x≥1} C．{x|0 解析 由题意可得A＝(0,2)，B＝(－∞，1)，则A∩(?UB)＝[1,2)． 2．已知实数a，b满足(a＋i)(1－i)＝3＋bi，则复数a＋bi的模为( ) A.2 C.5 答案 C ??a＋1＝3， 解析 依题意，(a＋i)－(a＋i)i＝3＋bi，因此? ?1－a＝b，? 22? ?31? ，?，设P(cosθ，22? ?＋3，?π－θ 所以当sin?2?6?? (三) 3→→?＝1时， PA·PB取得最大值3＋. ?2? B．{x|1≤x<2} D．{x|x≤1} B．2 D．5 解得a＝2，b＝－1，所 以a＋bi＝2－i，|a＋bi|＝|2－i|＝2＋?－1?＝5，选C. 3．下列函数为奇函数的是( ) A．y＝x＋3x C．y＝xsinx 答案 D 解析 依题意，对于选项A，注意到当x＝－1时，y＝2；当x＝1时，y＝4，因此函数y 13 3 2 e＋e B．y＝ 23－xD．y＝log2 3＋xx－xe＋e ＝x＋3x不是奇函数．对于选项B，注意到当x＝0时，y＝1≠0，因此函数y＝不是 2 3 2 x－xππππ 奇函数．对于选项C，注意到当x＝－时，y＝；当x＝时，y＝，因此函数y＝xsinx22223－x3－x不是奇函数．对于选项D，由>0得－3 3＋x3＋x该数集是关于原点对称的集合，且log2 3－?－x?3－x＋log2＝log21＝0，即有 3＋?－x?3＋x3－?－x?3－x3－xlog2＝－log2，因此函数y＝log2是奇函数．综上所述，选D. 3＋?－x?3＋x3＋x4．设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内的任意一点，→→→→ 则OA＋OB＋OC＋OD等于( ) →A.OM →C．3OM 答案 D →→→→→→ 解析 因为M是平行四边形ABCD对角线AC、BD的交点，所以OA＋OC＝2OM，OB＋OD＝2OM，→→→→→ 所以OA＋OB＋OC＋OD＝4OM，故选D. →B．2OM →D．4OM x2y2 5．若双曲线C1：－＝1与C2：2－2＝1(a>0，b>0)的渐近线相同，且双曲线C2的焦 28ab距为45，则b＝( ) A．2 C．6 答案 B 解析 由题意得，＝2?b＝2a，C2的焦距2c＝45?c＝a＋b＝25?b＝4，故选B. 2014 6．运行下面的程序，如果输出的S＝，那么判断框内是( ) 2015 B．4 D．8 x2y2 ba22 14 A．k≤2013? C．k≥2013? 答案 B 1111 解析 当判断框内是k≤n？时，S＝＋＋?＋＝1－，若S＝ 1×22×3n×?n＋1?n＋12014 ，则n＝2014. 2015 π?π?7．[2016·郑州质检]将函数f(x)＝sin?2x－?的图象向右平移个单位后得到函数2?4? B．k≤2014? D．k≥2014? g(x)的图象，则g(x)具有性质( ) π A．最大值为1，图象关于直线x＝对称 2 ?π?B．在?0，?上单调递减，为奇函数 4???3ππ?C．在?－，?上单调递增，为偶函数 8??8 D．周期为π，图象关于点?答案 B ?3π，0?对称 ? ?8? ??π?π?解析 由题意得，g(x)＝sin?2?x－?－?＝sin(2x－π)＝－sin2x，对于A，最大值 4?2??? π?π??π?为1正确，而g??＝0，图象不关于直线x＝对称，故A错误；对于B，当x∈?0，?时， 4?2?2?? 15