第一章 线性空间与线性映射
线性空间是研究矩阵理论的重要基础，本章主要讨论线性空间及其子空间的性质、线性映射与矩阵的关系等。
§1.1 数 域
定义1 设F是至少包含两个数的数集，如果?a,b?F均有
aa?b,ab,(b?0)?F，则称F是数域。
b 例1 全体实数构成实数域，记为R。全体复数构成复数域，记为C。全体有
理数构成有理数域，记为Q。
例2 全体整数不够成数域，因为对除法不封闭。 例3 设F?{a?2b|a?Q,b?Q}，证明F是数域。
证明 ??,??F，则?a1,b1,a2,b2?Q，使得??a1?2b1,??a2?2b2，易证
???,??, 知
?(??0)?F。 ?例4 证明任何数域F都包含有理数域。
证明 因为F中至少包含两个不同元素，所以?a?F,a?0，由运算的封闭性
?F，所以F包含
a?1?F，1?1?2,1?2?3?F, 1?2??1,1?3??2a了全体整数，又由除法封闭性知F包含有理数域。
和号：aij?F,??ai?1j?1mnij???aij
j?1i?1nm§1.2 线 性 空 间
在线性代数中Rn是n维实向量空间，在本节中将此概念推广到一般向量空间。
定义1 设V是一个非空集合，F是一个数域。在集合V的元素之间定义一种称之为加法的运算，且V关于加法封闭，即?x,y?V,有唯一的x?y?V。在F与
１
V之间定义一种运算称之为数乘，即???F,x?V有唯一确定的???x?V与之
对应，如果以上两种运算满足以下八条运算规则，则称V为数域F上的线性空间，
V中元素也称为V中的向量，也记V?V(F)。
1.x?y?y?x?x,y?V
?x,y,z?V
2.(x?y)?z?x?(y?z)3.???V使x???x,?x?V，称?为零元素，也记为0。
4.?x?V,?y?V，使x?y??（记y??x） 5.(???)x??x??x ??,??F ?x?V 6.?(x?y)??x??y ???F ?x,y?V 7.?(?x)?(??)x ??,??F ?x?V 8.1x?x?x?V
例1 设F为数域，则Fn?{[a1a2an]T|a1,a2,,an?F}按通常的n维向量加
法与数乘，不难证明Fn为F上的向量空间。
例2 记Fm?n为数域F上的m?n矩阵的全体，按通常的矩阵加法与数乘构成
F上的向量空间，其中??Om?n。
例3 C[a,b]为区间[a,b]上一切一元连续实函数，按通常的实函数加法和数
乘，构成了实数域R上的线性空间，其中??0。
例4 P[x]n为不超过n?1次的实多项式及零多项式的全体，是实数域R上线
性空间。
例5 复数域C是实数域R上的线性空间，而R却不是C上的线性空间. 以下为线性空间的简单性质。
性质1 线性空间V(F)中零元素唯一。
证明 设有零元素?1,?2?V(F)，则?1??1??2??2。
性质2 ?x?V(F),?y?V(F)使得x?y??,则y唯一，称为x的负元素。 证明 设x?y1??,x?y2??，则
２
y1?y1???y1?(x?y2) ?(y1?x)?y2???y2?y2
性质3 0x??,(??)x???x,???? 证明 0x?(0?0)x?0x?0x，所以0x??。
因为?x?(??)x?[??(??)]x?0x??，所以(??)x???x。 因为?x?????(x??)??x，所以????。
性质4 若?x??其中??F,x?V(F)，则??0或x??。 证明 若??0命题显然成立，不妨设??0，则
11x?(?x)????
??定义2 设W?V(F)，若W在数域F上也是线性空间，则称W(F)为V(F)的
子空间（按原来的两种运算）。
若W是线性空间V的非空子集，则在线性空间定义的八个条件中除3,4条外，W显然满足其余条件。而如果封闭性满足了，3,4条就成立了。这是因为
?x,y?W,x?y?W,?x?W(???F)，则0x???W,?x?(?1)x?W，因此有
下面的定理。
定理1 设V(F)是线性空间，W为V的非空子集，按原来的两种运算W是线
性空间?W按原来两种运算封闭。
例6 数域F上的n阶对称阵的全体构成了Fn?n的一个子空间。
定义3 设?1,?2,?,?t是数域F上的线性空间V中的向量，则不难证明
?1,?2,?,?t的线性组合的全体构成了V的一个子空间，记为L(?1,?2,?,?t)或 span[?1,?2,,?t]，称为?1,?2,?,?t生成或张成子空间。
零向量集合及V本身都是的V子空间，称为平凡子空间。若W是V的子空间，且不是平凡子空间，则称W是V的真子空间。
§1.3 线性空间的基
与Rn中一样，我们在V(F)中也要讨论线性相关性及向量组的秩和极大无关
３
组，向量组的等价性，线性空间和线性子空间的基底，维数以及向量在一组基下的坐标及相关性质。
一、线性空间的基
定义1 设xi?V(F),ai?Fi?1,2,?,m，若
x?a1x1?a2x2?则称x可由x1,x2,
?amxm
,xm的线性组合。
,xm线性表示，或称x为x1,x2,,xm，B:y1,y2,定义2 设A:x1,x2,,ys是线性空间V(F)中的两个向量组，
如果A中的任一个向量可由向量组B线性表示，则称向量组A可由向量组B线性表示。如果向量组A与B可以互相线性表示，则称向量组A与B等价。 使
定义3 设x1,x2,,xm?V(F)，如果存在一组不全为0的常数a1,a2,,am?Fa1x1?则称向量组x1,x2,
定义4 设x1,x2,?amxm??
,xm线性无关。
,xm中有r个向量线性
,xm线性相关，否则称x1,x2,如果x1,x2,,xm是V(F)中的向量组，
无关，而所有的r?1个向量（如果有的话）都线性相关，则称此r个向量为向量组x1,x2,,xm的极大无关组，称r为向量组x1,x2,,xm]。规定只含零向量的向量组秩为零。
,xm的秩，记为
rank[x1,x2,与Rn类似，在线性空间V(F)中下列命题成立：
命题1 设m?2，则V(F)中向量组x1,x2,,xm线性相关?其中有某个向量
可由其余的向量线性表示。
命题2 若V(F)中向量组的某一子向量组线性相关，则该向量组线性相关。 命题3 若V(F)中向量组x1,x2,,xm线性无关，则其任意非空子向量组也线
性无关。
命题4 设x?V(F)，则x线性无关?x??。 命题5 设x1,x2,,xm,y?V(F)，若x1,x2,,xm唯一线性表示。
４
,xm线性无关，x1,x2,,xm,y线性
相关，则y可由x1,x2,
定义5 线性空间V中的向量x1,x2,，如果,xn称为V的基向量组或基（底）
有 1.
x1,x2,,xn线性无关；
,xn线性表示。
2.V(F)中任一向量可由x1,x2,称n为V的维数，记dimV?n。
如果对?n均可在V(F)中找到n个线性无关的向量，则称V(F)为无限维的向量空间（例如实数域上全体多项式的集合）。只含零向量的线性空间维数规定为
0。
命题6 若x1,x2,则?x?V(F)，x可由x1,x2,,xn为线性空间V(F)的基，
,xn唯一线性表示。
命题7 若x1,x2,定义6 设x1,x2,,xn为线性空间V(F)的基，则V(F)?L[x1,x2,,xn]。
,xn为V(F)的基，则?x?V(F)，有唯一的表达式
?a1??a?,xn]?2?,ai?F,i?1,2,??????an??x??aixi?[x1,x2i?1n,n
称a1,a2,?a1??a?2,an或??为x在基x1,x2,??????an??,xn下的坐标。
注：基不唯一，例如在Rn中
?1??0??0??1?e1???,e2???，
????????0???0?和
?1??1??1??1?????,e2????，e1?????????1??0??0??0?，en???
?????1??1??0????? ，en?????0? ５