线性表示，即
??L(x1,x2,,xm,y1,y2,,ys)
所以
V1?V2?L(x1,x2,反之???L(x1,x2,,xm,y1,y2,,ys)
,xm,y1,y2,,ys)，有
?kmxm?t1y1?t2y2??tsys
??k1x1?k2x2?其中k1,k2,km,t1,t2,,ts?F。
因为
k1x1?k2x2?t1y1?t2y2?故??V1?V2， 即
?kmxm?V1 ?tsys?V2
L(x1,x2,所以
,xm,y1,y2,,ys)?V1?V2
V1?V2?L(x1,x2,
,xm,y1,y2,,ys)
定理7 设V1,V2都是n维线性空间V(F)的子空间，则下列命题等价。 （1）V1?V2是直和；
（2）V1?V2中任一向量表达式唯一 ，即若
x?V1?V2且x?x1?x2，x1?V1，x2?V2
则x1,x2由x唯一确定；
（3）若x1,x2,,xm是V1的基，y1,y2,,xm,y1,y2,,ys
,ys是V2的基，则
x1,x2,是V1?V2的基；
（4）dimV1?dimV2?dim(V1?V2)。
证明 (1)?(2)：设V1?V2是直和，则V1V2?{?}。设
１６
z?V1?V2，z?u1?u2，z?v1?v2，u1,v1?V1，u2,v2?V2
所以u1?v1?v2?u2?V2，又因为u1?v1?V1，所以u1?v1?V1V2，即u1?v1??，所以u1?v1。同理，u2?v2，故z的表达式唯一。
(2)?(3)：由定理6知
V1?V2?L(x1,x2,只要证明x1,x2,,xm,y1,y2,,ys)
,xm,y1,y2,k1x1?k2x2?,ys线性无关即可知定理成立。令 ?kmxm?t1y1?t2y2??tsys??
其中k1,k2,
km,t1,t2,,ts?F。
因为??V1?V2，所以?的表达式唯一，即?????，所以
k1x1?k2x2?t1y1?t2y2?由已知x1,x2,?kmxm?? ?tsys??
,xm线性无关，y1,y2,k1?k2?,ys线性无关，得
?ts?0
km?t1?t2?所以x1,x2,,xm,y1,y2,,ys线性无关，即 x1,x2,,xm,y1,y2,,ys
是V1?V2的基。
(3)?(4)：显然。 (4)?(1)：设dimV1d?imV2dim?(V1)?V2，x1,x2,,xm是V1的基，y1,y2,,ys是V2的基。
用反证法，假设V1V2?{?}，则???V1V2,???，所以存在不全为零的
k1,k2,,km?F使得
??k1x1?k2x2??kmxm
１７
存在不全为零的t1,t2,,ts?F使得
??t1y1?t2y2?故有
?tsys
k1x1?k2x2?所以x1,x2,?kmxm?t1y1?t2y2??tsys??
,xm,y1,y2,,ys线性相关。由定理6得 V1?V2?L(x1,x2,,xm,y1,y2,,ys)
又由x1,x2,,xm,y1,y2,,ys线性相关得
,xm,y1,y2,,ys)?m?s
dim(V1?V2)?dimL(x1,x2,即
dim(V1?V2)?dimV1?dimV2
矛盾，故V1V2?{?}，即V1?V2是直和。
定理8（子空间维数定理）设V1,V2都是n维线性空间V(F)的子空间，则
dimV1?dimV2?dim(V1?V2)?dim(V1V2)
证明
设dimV1?m，dimV2?s，dim(V1V2)?r，只要证明
dim(V1?V2)?m?s?r
即可。
若r?0，则V1V2?{?}，即V1?V2是直和，由定理7命题已证。 若r?0，设z1,z2,由基的扩充定理（定理4），将z1,z2,,zr是V1V2的基。
,zr扩充为V1的基
z1,z2,将z1,z2,,zr,xr?1,xr?2,,xm
,zr扩充为V2的基
z1,z2,下证z1,z2,,zr,yr?1,yr?2,,ys
,zr,xr?1,xr?2,,xm,yr?1,yr?2,?r,ys是V1?V2的基。令 k2?rx2? kmx?m k1z1?k2z2?
?rkrz??rk1?rx1?１８
?tr?1yr?1?tr?2yr?2?其中k1,k2,?tsys?? （1） ,km,tr?1,tr?2,?ts ys2,kr,kr?1,kr?2,,ts?F，则
tr?1yr?1?tr?2yr?2? ??(k1z1?kz2?2所以
?krzr?kr?xr1kr?xr?2???1?kmxm)?V
tr?1yr?1?tr?2yr?2?所以?l1,l2,?tsys?V1V2
,lr?F，使得
tr?1yr?1?tr?2yr?2?因为z1,z2,?tsys?l1z1?l2z2??lrzr
,zr,yr?1,yr?2,,ys线性无关，所以 ?ts?1l??l2??rl0 （2）
tr?1?tr?2?（2）代入（1）中，得
k1z1?k2z2?又因为z1,z2,?krzr?kr?1xr?1?kr?2xr?2?，得 ,xm线性无关及（2）
?kmxm??
,zr,xr?1,xr?2,k1?k2?所以z1,z2,
?kr?kr?1?kr?2?,xm,yr?1,yr?2,?km?tr?1?tr?2?,ys线性无关。
?ts?0
,zr,xr?1,xr?2,由定理6知
V1?V2?L(z1,z2, ?L(z1,z2,所以
,zr,xr?1,xr?2,,xm,z1,z2,m,zr,yr?1,yr?2,?r2,ys) ),rz,r?x1,r?x2,,x?r,y1,y, sy,z1,z2,是V1?V2的基，故
,zr,xr?1,xr?2,,xm,yr?1,yr?2,,ys
dim(V1?V2)?m?s?r
即
dimV1?dimV2?dim(V1?V2)?dim(V1V2)
推论1 设V1是n维线性空间V(F)的子空间，则存在V(F)的另一个子空间V2，
１９
使得V?V1?V2。
证明 若V1是V的平凡子空间，则命题显然。 若V1是V的真子空间，设x1,x2,,xm是V1的基，则V1?L(x1,x2,,xm)。由基
的扩充定理，将x1,x2,,xm扩充为V的基
x1,x2,,xm,xm?1,,xn
令V2?L(xm?1,,xn)，所以由定理6得
V1?V2?L(x1,x2,,xm,xm?1,,xn)
所以
dim(V1?V2)?dimL(x1,x2,由基的维数定理得
,xm,xm?1,,xn)?n
dim(V1V2)?0
所以V?V1?V2。
推论2 设x1,x2,,xn是n维线性空间V的基，则
?L(xn)
V?L(x1)?L(x2)?
证明 由推论1易得。
这里需要指出的是线性空间分解为两个子空间的直和并不唯一，例如
R2?L(?)?L(?)?L(?)?L(?)?L(?)?L(?)
?1??1??1?其中????,????，????。
?0??1??2?
２０